Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumsndf Structured version   Unicode version

Theorem gsumsndf 30775
Description: Group sum of a singleton, deduction form. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsndf.k  |-  F/_ k C
gsumsndf.n  |-  F/ k
ph
gsumsndf.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumsndf.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
gsumsndf.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
gsumsndf.c  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
gsumsndf.s  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  C )
Assertion
Ref Expression
gsumsndf  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
Distinct variable groups:    B, k    k, G    k, M
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    C( k)    V( k)

Proof of Theorem gsumsndf
StepHypRef Expression
1 gsumsndf.n . . . . 5  |-  F/ k
ph
2 elsni 3914 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { M }  ->  k  =  M )
3 gsumsndf.s . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  C )
42, 3sylan2 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  A  =  C )
51, 4mpteq2da 4389 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  { M }  |->  A )  =  ( k  e. 
{ M }  |->  C ) )
65oveq2d 6119 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) ) )
7 gsumsndf.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
8 snfi 7402 . . . . 5  |-  { M }  e.  Fin
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { M }  e.  Fin )
10 gsumsndf.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
11 gsumsndf.k . . . . 5  |-  F/_ k C
12 gsumsndf.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
13 eqid 2443 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
1411, 12, 13gsumconstf 16440 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  { M }  e.  Fin  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) )  =  ( ( # `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
157, 9, 10, 14syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) )  =  ( (
# `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
166, 15eqtrd 2475 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  ( (
# `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
17 gsumsndf.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
18 hashsng 12148 . . . 4  |-  ( M  e.  V  ->  ( # `
 { M }
)  =  1 )
1917, 18syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  { M } )  =  1 )
2019oveq1d 6118 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  { M } ) (.g `  G
) C )  =  ( 1 (.g `  G
) C ) )
2112, 13mulg1 15646 . . 3  |-  ( C  e.  B  ->  (
1 (.g `  G ) C )  =  C )
2210, 21syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1 (.g `  G
) C )  =  C )
2316, 20, 223eqtrd 2479 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   F/wnf 1589    e. wcel 1756   F/_wnfc 2575   {csn 3889    e. cmpt 4362   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Fincfn 7322   1c1 9295   #chash 12115   Basecbs 14186    gsumg cgsu 14391   Mndcmnd 15421  .gcmg 15426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-oi 7736  df-card 8121  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819  df-hash 12116  df-0g 14392  df-gsum 14393  df-mnd 15427  df-mulg 15560  df-cntz 15847
This theorem is referenced by:  gsumdifsndf  30777
  Copyright terms: Public domain W3C validator