MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsnd Structured version   Unicode version

Theorem gsumsnd 16449
Description: Group sum of a singleton, deduction form. (Contributed by AV, 2-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsnd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumsnd.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
gsumsnd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
gsumsnd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
gsumsnd.s  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  C )
Assertion
Ref Expression
gsumsnd  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
Distinct variable groups:    B, k    C, k    k, G    k, M    ph, k
Allowed substitution hints:    A( k)    V( k)

Proof of Theorem gsumsnd
StepHypRef Expression
1 elsni 3901 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { M }  ->  k  =  M )
2 gsumsnd.s . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  C )
31, 2sylan2 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  A  =  C )
43mpteq2dva 4377 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  { M }  |->  A )  =  ( k  e. 
{ M }  |->  C ) )
54oveq2d 6106 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) ) )
6 gsumsnd.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
7 snfi 7389 . . . . 5  |-  { M }  e.  Fin
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { M }  e.  Fin )
9 gsumsnd.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
10 gsumsnd.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
11 eqid 2442 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
1210, 11gsumconst 16426 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  { M }  e.  Fin  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) )  =  ( ( # `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
136, 8, 9, 12syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) )  =  ( (
# `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
145, 13eqtrd 2474 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  ( (
# `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
15 gsumsnd.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
16 hashsng 12135 . . . 4  |-  ( M  e.  V  ->  ( # `
 { M }
)  =  1 )
1715, 16syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  { M } )  =  1 )
1817oveq1d 6105 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  { M } ) (.g `  G
) C )  =  ( 1 (.g `  G
) C ) )
1910, 11mulg1 15633 . . 3  |-  ( C  e.  B  ->  (
1 (.g `  G ) C )  =  C )
209, 19syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1 (.g `  G
) C )  =  C )
2114, 18, 203eqtrd 2478 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {csn 3876    e. cmpt 4349   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Fincfn 7309   1c1 9282   #chash 12102   Basecbs 14173    gsumg cgsu 14378   Mndcmnd 15408  .gcmg 15413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-oi 7723  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-seq 11806  df-hash 12103  df-0g 14379  df-gsum 14380  df-mnd 15414  df-mulg 15547  df-cntz 15834
This theorem is referenced by:  gsumzunsnd  16450  gsumunsnd  16451  gsumdifsnd  30760  telescfzgsumlem  30807  telescfzgsum  30808
  Copyright terms: Public domain W3C validator