MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsnd Structured version   Unicode version

Theorem gsumsnd 16853
Description: Group sum of a singleton, deduction form. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsnd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumsnd.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
gsumsnd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
gsumsnd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
gsumsnd.s  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  C )
Assertion
Ref Expression
gsumsnd  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
Distinct variable groups:    k, M    C, k    ph, k
Allowed substitution hints:    A( k)    B( k)    G( k)    V( k)

Proof of Theorem gsumsnd
StepHypRef Expression
1 gsumsnd.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumsnd.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
3 gsumsnd.m . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
4 gsumsnd.c . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
5 gsumsnd.s . 2  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  C )
6 nfv 1694 . 2  |-  F/ k
ph
7 nfcv 2605 . 2  |-  F/_ k C
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7gsumsnfd 16852 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   {csn 4014    |-> cmpt 4495   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Basecbs 14509    gsumg cgsu 14715   Mndcmnd 15793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mulg 15934  df-cntz 16229
This theorem is referenced by:  gsumzunsnd  16856  gsumdifsnd  16861  telgsumfzslem  16891  telgsumfzs  16892  mat1mhm  18859  pmatcollpw3fi1lem1  19160  cpmadugsumlemF  19250  gsumle  27643  esumsn  27945
  Copyright terms: Public domain W3C validator