Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumsn2 Unicode version

Theorem gsumsn2 23393
Description: Group sum of a singleton. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsn2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumsn2.g  |-  G  e. 
Mnd
gsumsn2.s  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  C )
gsumsn2.m  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
gsumsn2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
Assertion
Ref Expression
gsumsn2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
Distinct variable groups:    B, k    C, k    k, G    k, M    ph, k
Allowed substitution hints:    A( k)    V( k)

Proof of Theorem gsumsn2
StepHypRef Expression
1 elsni 3677 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { M }  ->  k  =  M )
2 gsumsn2.s . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  C )
31, 2sylan2 460 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { M } )  ->  A  =  C )
43mpteq2dva 4122 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  { M }  |->  A )  =  ( k  e. 
{ M }  |->  C ) )
54oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) ) )
6 gsumsn2.g . . . . 5  |-  G  e. 
Mnd
76a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
8 snfi 6957 . . . . 5  |-  { M }  e.  Fin
98a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  { M }  e.  Fin )
10 gsumsn2.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
11 gsumsn2.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
12 eqid 2296 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
1311, 12gsumconst 15225 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  { M }  e.  Fin  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) )  =  ( ( # `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
147, 9, 10, 13syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) )  =  ( (
# `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
155, 14eqtrd 2328 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  ( (
# `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
16 gsumsn2.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
17 hashsng 11372 . . . 4  |-  ( M  e.  V  ->  ( # `
 { M }
)  =  1 )
1816, 17syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  { M } )  =  1 )
1918oveq1d 5889 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  { M } ) (.g `  G
) C )  =  ( 1 (.g `  G
) C ) )
2011, 12mulg1 14590 . . 3  |-  ( C  e.  B  ->  (
1 (.g `  G ) C )  =  C )
2110, 20syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1 (.g `  G
) C )  =  C )
2215, 19, 213eqtrd 2332 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {csn 3653    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   1c1 8754   #chash 11353   Basecbs 13164    gsumg cgsu 13417   Mndcmnd 14377  .gcmg 14382
This theorem is referenced by:  esumsn  23452
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-mulg 14508  df-cntz 14809
  Copyright terms: Public domain W3C validator