MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsn Structured version   Unicode version

Theorem gsumsn 16765
Description: Group sum of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumsn.s  |-  ( k  =  M  ->  A  =  C )
Assertion
Ref Expression
gsumsn  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
Distinct variable groups:    B, k    C, k    k, G    k, M    k, V
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem gsumsn
StepHypRef Expression
1 nfcv 2622 . 2  |-  F/_ k C
2 gsumsn.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 gsumsn.s . 2  |-  ( k  =  M  ->  A  =  C )
41, 2, 3gsumsnf 16764 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   {csn 4020    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479    gsumg cgsu 14685   Mndcmnd 15715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-hash 12361  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mnd 15721  df-mulg 15854  df-cntz 16143
This theorem is referenced by:  gsumpt  16772  gsumptOLD  16773  dpjidcl  16890  dpjidclOLD  16897  srgbinomlem3  16974  srgbinomlem4  16975  srgbinom  16977  psrlidm  17820  psrlidmOLD  17821  psrridm  17822  psrridmOLD  17823  mplmonmul  17890  ply1coe  18101  ply1coeOLD  18102  islindf4  18633  mat1dimmul  18738  mdet0pr  18854  m1detdiag  18859  mdetdiaglem  18860  mdetrlin  18864  mdetrsca  18865  m2detleib  18893  chfacfscmulgsum  19121  chfacfpmmulgsum  19125  tmdgsum  20322  tsmsxplem1  20383  tsmsxplem2  20384  imasdsf1olem  20604  tdeglem4  22186  tdeglem2  22187  amgm  23041  wilthlem2  23064  gsumle  27419  signstf0  28151  gsumpr  31889  lincvalsng  31965  snlindsntor  32020
  Copyright terms: Public domain W3C validator