MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsn Structured version   Unicode version

Theorem gsumsn 17300
Description: Group sum of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Proof shortened by AV, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumsn.s  |-  ( k  =  M  ->  A  =  C )
Assertion
Ref Expression
gsumsn  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
Distinct variable groups:    B, k    C, k    k, G    k, M    k, V
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem gsumsn
StepHypRef Expression
1 nfcv 2564 . 2  |-  F/_ k C
2 gsumsn.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 gsumsn.s . 2  |-  ( k  =  M  ->  A  =  C )
41, 2, 3gsumsnf 17299 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   {csn 3971    |-> cmpt 4452   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Basecbs 14839    gsumg cgsu 15053   Mndcmnd 16241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mulg 16382  df-cntz 16677
This theorem is referenced by:  gsumpt  17307  gsumptOLD  17308  dpjidcl  17425  dpjidclOLD  17432  srgbinomlem3  17511  srgbinomlem4  17512  srgbinom  17514  psrlidm  18374  psrlidmOLD  18375  psrridm  18376  psrridmOLD  18377  mplmonmul  18444  ply1coe  18655  ply1coeOLD  18656  islindf4  19163  mat1dimmul  19268  mdet0pr  19384  m1detdiag  19389  mdetdiaglem  19390  mdetrlin  19394  mdetrsca  19395  m2detleib  19423  chfacfscmulgsum  19651  chfacfpmmulgsum  19655  tmdgsum  20884  tsmsxplem1  20945  tsmsxplem2  20946  imasdsf1olem  21166  tdeglem4  22748  tdeglem2  22749  amgm  23644  wilthlem2  23722  gsumle  28207  signstf0  29017  gsumpr  38442  lincvalsng  38509  snlindsntor  38564
  Copyright terms: Public domain W3C validator