MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsn Structured version   Unicode version

Theorem gsumsn 16449
Description: Group sum of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumsn.s  |-  ( k  =  M  ->  A  =  C )
Assertion
Ref Expression
gsumsn  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
Distinct variable groups:    B, k    C, k    k, G    k, M
Allowed substitution hints:    A( k)    V( k)

Proof of Theorem gsumsn
StepHypRef Expression
1 elsni 3902 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { M }  ->  k  =  M )
2 gsumsn.s . . . . . 6  |-  ( k  =  M  ->  A  =  C )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( k  e.  { M }  ->  A  =  C )
43mpteq2ia 4374 . . . 4  |-  ( k  e.  { M }  |->  A )  =  ( k  e.  { M }  |->  C )
54oveq2i 6102 . . 3  |-  ( G 
gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) )
6 snfi 7390 . . . . 5  |-  { M }  e.  Fin
7 gsumsn.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
8 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
97, 8gsumconst 16427 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  { M }  e.  Fin  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) )  =  ( ( # `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
106, 9mp3an2 1302 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) )  =  ( (
# `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
11103adant2 1007 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  C ) )  =  ( (
# `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
125, 11syl5eq 2487 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  ( (
# `  { M } ) (.g `  G
) C ) )
13 hashsng 12136 . . . 4  |-  ( M  e.  V  ->  ( # `
 { M }
)  =  1 )
14133ad2ant2 1010 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  C  e.  B )  ->  ( # `  { M } )  =  1 )
1514oveq1d 6106 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  C  e.  B )  ->  ( ( # `  { M } ) (.g `  G
) C )  =  ( 1 (.g `  G
) C ) )
167, 8mulg1 15634 . . 3  |-  ( C  e.  B  ->  (
1 (.g `  G ) C )  =  C )
17163ad2ant3 1011 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  C  e.  B )  ->  ( 1 (.g `  G
) C )  =  C )
1812, 15, 173eqtrd 2479 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {csn 3877    e. cmpt 4350   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   1c1 9283   #chash 12103   Basecbs 14174    gsumg cgsu 14379   Mndcmnd 15409  .gcmg 15414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-hash 12104  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-mnd 15415  df-mulg 15548  df-cntz 15835
This theorem is referenced by:  gsumpt  16454  gsumptOLD  16455  dpjidcl  16557  dpjidclOLD  16564  srgbinomlem3  16640  srgbinomlem4  16641  srgbinom  16643  psrlidm  17474  psrlidmOLD  17475  psrridm  17476  psrridmOLD  17477  mplmonmul  17543  ply1coe  17746  ply1coeOLD  17747  islindf4  18267  mdet0pr  18403  mdet1  18408  mdetrlin  18409  mdetrsca  18410  m2detleib  18437  tmdgsum  19666  tsmsxplem1  19727  tsmsxplem2  19728  imasdsf1olem  19948  tdeglem4  21529  tdeglem2  21530  amgm  22384  wilthlem2  22407  gsumle  26246  signstf0  26969  gsumpr  30758  mat1dimmul  30872  m1detdiag  30934  mdetdiaglem  30935  lincvalsng  30950  snlindsntor  31005
  Copyright terms: Public domain W3C validator