Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumress Structured version   Unicode version

Theorem gsumress 16462
 Description: The group sum in a substructure is the same as the group sum in the original structure. The only requirement on the substructure is that it contain the identity element; neither nor need be groups. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumress.b
gsumress.o
gsumress.h s
gsumress.g
gsumress.a
gsumress.s
gsumress.f
gsumress.z
gsumress.c
Assertion
Ref Expression
gsumress g g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem gsumress
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumress.s . . . . . . . . 9
2 gsumress.z . . . . . . . . 9
31, 2sseldd 3408 . . . . . . . 8
4 gsumress.c . . . . . . . . 9
54ralrimiva 2779 . . . . . . . 8
6 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . 12
76eqeq1d 2430 . . . . . . . . . . 11
8 oveq2 6257 . . . . . . . . . . . 12
98eqeq1d 2430 . . . . . . . . . . 11
107, 9anbi12d 715 . . . . . . . . . 10
1110ralbidv 2804 . . . . . . . . 9
1211elrab 3171 . . . . . . . 8
133, 5, 12sylanbrc 668 . . . . . . 7
1413snssd 4088 . . . . . 6
15 gsumress.g . . . . . . . 8
16 gsumress.b . . . . . . . . 9
17 eqid 2428 . . . . . . . . 9
18 gsumress.o . . . . . . . . 9
19 eqid 2428 . . . . . . . . 9
2016, 17, 18, 19mgmidsssn0 16455 . . . . . . . 8
2115, 20syl 17 . . . . . . 7
2221, 13sseldd 3408 . . . . . . . . 9
23 elsni 3966 . . . . . . . . 9
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8
2524sneqd 3953 . . . . . . 7
2621, 25sseqtr4d 3444 . . . . . 6
2714, 26eqssd 3424 . . . . 5
281sselda 3407 . . . . . . . . . . 11
2928, 4syldan 472 . . . . . . . . . 10
3029ralrimiva 2779 . . . . . . . . 9
3110ralbidv 2804 . . . . . . . . . 10
3231elrab 3171 . . . . . . . . 9
332, 30, 32sylanbrc 668 . . . . . . . 8
34 gsumress.h . . . . . . . . . . 11 s
3534, 16ressbas2 15123 . . . . . . . . . 10
361, 35syl 17 . . . . . . . . 9
37 fvex 5835 . . . . . . . . . . . . . . 15
3836, 37syl6eqel 2514 . . . . . . . . . . . . . 14
3934, 18ressplusg 15182 . . . . . . . . . . . . . 14
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
4140oveqd 6266 . . . . . . . . . . . 12
4241eqeq1d 2430 . . . . . . . . . . 11
4340oveqd 6266 . . . . . . . . . . . 12
4443eqeq1d 2430 . . . . . . . . . . 11
4542, 44anbi12d 715 . . . . . . . . . 10
4636, 45raleqbidv 2978 . . . . . . . . 9
4736, 46rabeqbidv 3017 . . . . . . . 8
4833, 47eleqtrd 2508 . . . . . . 7
4948snssd 4088 . . . . . 6
50 ovex 6277 . . . . . . . . . 10 s
5134, 50eqeltri 2502 . . . . . . . . 9
5251a1i 11 . . . . . . . 8
53 eqid 2428 . . . . . . . . 9
54 eqid 2428 . . . . . . . . 9
55 eqid 2428 . . . . . . . . 9
56 eqid 2428 . . . . . . . . 9
5753, 54, 55, 56mgmidsssn0 16455 . . . . . . . 8
5852, 57syl 17 . . . . . . 7
5958, 48sseldd 3408 . . . . . . . . 9
60 elsni 3966 . . . . . . . . 9
6159, 60syl 17 . . . . . . . 8
6261sneqd 3953 . . . . . . 7
6358, 62sseqtr4d 3444 . . . . . 6
6449, 63eqssd 3424 . . . . 5
6527, 64eqtr3d 2464 . . . 4
6665sseq2d 3435 . . 3
6724, 61eqtr3d 2464 . . 3
6840seqeq2d 12170 . . . . . . . . . 10
6968fveq1d 5827 . . . . . . . . 9
7069eqeq2d 2438 . . . . . . . 8
7170anbi2d 708 . . . . . . 7
7271rexbidv 2878 . . . . . 6
7372exbidv 1762 . . . . 5
7473iotabidv 5529 . . . 4
7540seqeq2d 12170 . . . . . . . . 9
7675fveq1d 5827 . . . . . . . 8
7776eqeq2d 2438 . . . . . . 7
7877anbi2d 708 . . . . . 6
7978exbidv 1762 . . . . 5
8079iotabidv 5529 . . . 4
8174, 80ifeq12d 3874 . . 3
8266, 67, 81ifbieq12d 3881 . 2
8327difeq2d 3526 . . . 4
8483imaeq2d 5130 . . 3
85 gsumress.a . . 3
86 gsumress.f . . . 4
8786, 1fssd 5698 . . 3
8816, 17, 18, 19, 84, 15, 85, 87gsumval 16457 . 2 g
8964difeq2d 3526 . . . 4
9089imaeq2d 5130 . . 3
9136feq3d 5677 . . . 4
9286, 91mpbid 213 . . 3
9353, 54, 55, 56, 90, 52, 85, 92gsumval 16457 . 2 g
9482, 88, 933eqtr4d 2472 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437  wex 1657   wcel 1872  wral 2714  wrex 2715  crab 2718  cvv 3022   cdif 3376   wss 3379  cif 3854  csn 3941  ccnv 4795   crn 4797  cima 4799   ccom 4800  cio 5506  wf 5540  wf1o 5543  cfv 5544  (class class class)co 6249  c1 9491  cuz 11110  cfz 11735   cseq 12163  chash 12465  cbs 15064   ↾s cress 15065   cplusg 15133  c0g 15281   g cgsu 15282 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-seq 12164  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-0g 15283  df-gsum 15284 This theorem is referenced by:  gsumsubm  16563  regsumsupp  19132  frlmgsum  19272  imasdsf1olem  21330  regsumfsum  28496  esumpfinvallem  28847  sge0tsms  38073  aacllem  40143
 Copyright terms: Public domain W3C validator