MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumresOLD Structured version   Unicode version

Theorem gsumresOLD 16512
Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) Obsolete version of gsumres 16508 as of 3-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumclOLD.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumclOLD.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumclOLD.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumclOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumclOLD.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumresOLD.s  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  W )
gsumresOLD.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
gsumresOLD  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  W ) )  =  ( G 
gsumg  F ) )

Proof of Theorem gsumresOLD
StepHypRef Expression
1 gsumclOLD.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumclOLD.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2451 . 2  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
4 gsumclOLD.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 cmnmnd 16405 . . 3  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
7 gsumclOLD.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8 gsumclOLD.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
91, 3, 4, 8cntzcmnf 16440 . 2  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  F ) )
10 gsumresOLD.s . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  W )
11 gsumresOLD.w . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
121, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11gsumzresOLD 16505 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  W ) )  =  ( G 
gsumg  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3071    \ cdif 3426    C_ wss 3429   {csn 3978   `'ccnv 4940    |` cres 4943   "cima 4944   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   Fincfn 7413   Basecbs 14285   0gc0g 14489    gsumg cgsu 14490   Mndcmnd 15520  Cntzccntz 15944  CMndccmn 16390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-hash 12214  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-mnd 15526  df-cntz 15946  df-cmn 16392
This theorem is referenced by:  gsum2dOLD  16578  psrlidmOLD  17590  psrridmOLD  17592  mplcoe2OLD  17666  tsmsgsumOLD  19837  tsmsresOLD  19842
  Copyright terms: Public domain W3C validator