MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumresOLD Structured version   Unicode version

Theorem gsumresOLD 17124
Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) Obsolete version of gsumres 17120 as of 3-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumclOLD.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumclOLD.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumclOLD.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumclOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumclOLD.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumresOLD.s  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  W )
gsumresOLD.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
gsumresOLD  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  W ) )  =  ( G 
gsumg  F ) )

Proof of Theorem gsumresOLD
StepHypRef Expression
1 gsumclOLD.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumclOLD.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2454 . 2  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
4 gsumclOLD.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 cmnmnd 17012 . . 3  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
7 gsumclOLD.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8 gsumclOLD.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
91, 3, 4, 8cntzcmnf 17050 . 2  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  F ) )
10 gsumresOLD.s . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  W )
11 gsumresOLD.w . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
121, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11gsumzresOLD 17117 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  |`  W ) )  =  ( G 
gsumg  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    C_ wss 3461   {csn 4016   `'ccnv 4987    |` cres 4990   "cima 4991   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   Basecbs 14716   0gc0g 14929    gsumg cgsu 14930   Mndcmnd 16118  Cntzccntz 16552  CMndccmn 16997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-cntz 16554  df-cmn 16999
This theorem is referenced by:  gsum2dOLD  17196  psrlidmOLD  18252  psrridmOLD  18254  mplcoe2OLD  18328  tsmsgsumOLD  20806  tsmsresOLD  20811
  Copyright terms: Public domain W3C validator