Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumptOLD Structured version   Unicode version

Theorem gsumptOLD 16858
 Description: Sum of a family that is nonzero at at most one point. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) Obsolete version of gsumpt 16857 as of 6-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumptOLD.b
gsumptOLD.z
gsumptOLD.g
gsumptOLD.a
gsumptOLD.x
gsumptOLD.f
gsumptOLD.s
Assertion
Ref Expression
gsumptOLD g

Proof of Theorem gsumptOLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumptOLD.f . . . 4
2 gsumptOLD.x . . . . 5
32snssd 4156 . . . 4
41, 3feqresmpt 5908 . . 3
54oveq2d 6293 . 2 g g
6 gsumptOLD.b . . 3
7 gsumptOLD.z . . 3
8 eqid 2441 . . 3 Cntz Cntz
9 gsumptOLD.g . . 3
10 gsumptOLD.a . . 3
111, 2ffvelrnd 6013 . . . . . . . 8
12 eqidd 2442 . . . . . . . 8
13 eqid 2441 . . . . . . . . . 10
146, 13, 8elcntzsn 16232 . . . . . . . . 9 Cntz
1511, 14syl 16 . . . . . . . 8 Cntz
1611, 12, 15mpbir2and 920 . . . . . . 7 Cntz
1716snssd 4156 . . . . . 6 Cntz
18 eqid 2441 . . . . . . 7 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
19 eqid 2441 . . . . . . 7 s mrClsSubMnd s mrClsSubMnd
208, 18, 19cntzspan 16719 . . . . . 6 Cntz s mrClsSubMnd CMnd
219, 17, 20syl2anc 661 . . . . 5 s mrClsSubMnd CMnd
226submacs 15865 . . . . . . . 8 SubMnd ACS
23 acsmre 14921 . . . . . . . 8 SubMnd ACS SubMnd Moore
249, 22, 233syl 20 . . . . . . 7 SubMnd Moore
2511snssd 4156 . . . . . . 7
2618mrccl 14880 . . . . . . 7 SubMnd Moore mrClsSubMnd SubMnd
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . 6 mrClsSubMnd SubMnd
2819, 8submcmn2 16716 . . . . . 6 mrClsSubMnd SubMnd s mrClsSubMnd CMnd mrClsSubMnd CntzmrClsSubMnd
2927, 28syl 16 . . . . 5 s mrClsSubMnd CMnd mrClsSubMnd CntzmrClsSubMnd
3021, 29mpbid 210 . . . 4 mrClsSubMnd CntzmrClsSubMnd
31 ffn 5717 . . . . . . 7
321, 31syl 16 . . . . . 6
33 simpr 461 . . . . . . . . . 10
3433fveq2d 5856 . . . . . . . . 9
3524, 18, 25mrcssidd 14894 . . . . . . . . . . 11 mrClsSubMnd
36 fvex 5862 . . . . . . . . . . . 12
3736snss 4135 . . . . . . . . . . 11 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
3835, 37sylibr 212 . . . . . . . . . 10 mrClsSubMnd
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 mrClsSubMnd
4034, 39eqeltrd 2529 . . . . . . . 8 mrClsSubMnd
41 eldifsn 4136 . . . . . . . . . . 11
42 gsumptOLD.s . . . . . . . . . . . 12
431, 42suppssrOLD 6002 . . . . . . . . . . 11
4441, 43sylan2br 476 . . . . . . . . . 10
457subm0cl 15852 . . . . . . . . . . . 12 mrClsSubMnd SubMnd mrClsSubMnd
4627, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11 mrClsSubMnd
4746adantr 465 . . . . . . . . . 10 mrClsSubMnd
4844, 47eqeltrd 2529 . . . . . . . . 9 mrClsSubMnd
4948anassrs 648 . . . . . . . 8 mrClsSubMnd
5040, 49pm2.61dane 2759 . . . . . . 7 mrClsSubMnd
5150ralrimiva 2855 . . . . . 6 mrClsSubMnd
52 ffnfv 6038 . . . . . 6 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
5332, 51, 52sylanbrc 664 . . . . 5 mrClsSubMnd
54 frn 5723 . . . . 5 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
5553, 54syl 16 . . . 4 mrClsSubMnd
568cntzidss 16244 . . . 4 mrClsSubMnd CntzmrClsSubMnd mrClsSubMnd Cntz
5730, 55, 56syl2anc 661 . . 3 Cntz
58 snfi 7594 . . . 4
59 ssfi 7738 . . . 4
6058, 42, 59sylancr 663 . . 3
616, 7, 8, 9, 10, 1, 57, 42, 60gsumzresOLD 16787 . 2 g g
62 fveq2 5852 . . . 4
636, 62gsumsn 16850 . . 3 g
649, 2, 11, 63syl3anc 1227 . 2 g
655, 61, 643eqtr3d 2490 1 g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1381   wcel 1802   wne 2636  wral 2791  cvv 3093   cdif 3455   wss 3458  csn 4010   cmpt 4491  ccnv 4984   crn 4986   cres 4987  cima 4988   wfn 5569  wf 5570  cfv 5574  (class class class)co 6277  cfn 7514  cbs 14504   ↾s cress 14505   cplusg 14569  c0g 14709   g cgsu 14710  Moorecmre 14851  mrClscmrc 14852  ACScacs 14854  cmnd 15788  SubMndcsubmnd 15834  Cntzccntz 16222  CMndccmn 16667 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-oi 7933  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-hash 12380  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669 This theorem is referenced by:  dprdfidOLD  16932
 Copyright terms: Public domain W3C validator