Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumpt Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem gsumpt 17672
 Description: Sum of a family that is nonzero at at most one point. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumpt.b
gsumpt.z
gsumpt.g
gsumpt.a
gsumpt.x
gsumpt.f
gsumpt.s supp
Assertion
Ref Expression
gsumpt g

Proof of Theorem gsumpt
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumpt.f . . . 4
2 gsumpt.x . . . . 5
32snssd 4108 . . . 4
41, 3feqresmpt 5933 . . 3
54oveq2d 6324 . 2 g g
6 gsumpt.b . . 3
7 gsumpt.z . . 3
8 eqid 2471 . . 3 Cntz Cntz
9 gsumpt.g . . 3
10 gsumpt.a . . 3
111, 2ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8
12 eqidd 2472 . . . . . . . 8
13 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
146, 13, 8elcntzsn 17057 . . . . . . . . 9 Cntz
1511, 14syl 17 . . . . . . . 8 Cntz
1611, 12, 15mpbir2and 936 . . . . . . 7 Cntz
1716snssd 4108 . . . . . 6 Cntz
18 eqid 2471 . . . . . . 7 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
19 eqid 2471 . . . . . . 7 s mrClsSubMnd s mrClsSubMnd
208, 18, 19cntzspan 17560 . . . . . 6 Cntz s mrClsSubMnd CMnd
219, 17, 20syl2anc 673 . . . . 5 s mrClsSubMnd CMnd
226submacs 16690 . . . . . . . 8 SubMnd ACS
23 acsmre 15636 . . . . . . . 8 SubMnd ACS SubMnd Moore
249, 22, 233syl 18 . . . . . . 7 SubMnd Moore
2511snssd 4108 . . . . . . 7
2618mrccl 15595 . . . . . . 7 SubMnd Moore mrClsSubMnd SubMnd
2724, 25, 26syl2anc 673 . . . . . 6 mrClsSubMnd SubMnd
2819, 8submcmn2 17557 . . . . . 6 mrClsSubMnd SubMnd s mrClsSubMnd CMnd mrClsSubMnd CntzmrClsSubMnd
2927, 28syl 17 . . . . 5 s mrClsSubMnd CMnd mrClsSubMnd CntzmrClsSubMnd
3021, 29mpbid 215 . . . 4 mrClsSubMnd CntzmrClsSubMnd
31 ffn 5739 . . . . . . 7
321, 31syl 17 . . . . . 6
33 simpr 468 . . . . . . . . . 10
3433fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
3524, 18, 25mrcssidd 15609 . . . . . . . . . . 11 mrClsSubMnd
36 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12
3736snss 4087 . . . . . . . . . . 11 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
3835, 37sylibr 217 . . . . . . . . . 10 mrClsSubMnd
3938ad2antrr 740 . . . . . . . . 9 mrClsSubMnd
4034, 39eqeltrd 2549 . . . . . . . 8 mrClsSubMnd
41 eldifsn 4088 . . . . . . . . . . 11
42 gsumpt.s . . . . . . . . . . . 12 supp
43 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . 14
447, 43eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . 13
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
461, 42, 10, 45suppssr 6965 . . . . . . . . . . 11
4741, 46sylan2br 484 . . . . . . . . . 10
487subm0cl 16677 . . . . . . . . . . . 12 mrClsSubMnd SubMnd mrClsSubMnd
4927, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 mrClsSubMnd
5049adantr 472 . . . . . . . . . 10 mrClsSubMnd
5147, 50eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9 mrClsSubMnd
5251anassrs 660 . . . . . . . 8 mrClsSubMnd
5340, 52pm2.61dane 2730 . . . . . . 7 mrClsSubMnd
5453ralrimiva 2809 . . . . . 6 mrClsSubMnd
55 ffnfv 6064 . . . . . 6 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
5632, 54, 55sylanbrc 677 . . . . 5 mrClsSubMnd
57 frn 5747 . . . . 5 mrClsSubMnd mrClsSubMnd
5856, 57syl 17 . . . 4 mrClsSubMnd
598cntzidss 17069 . . . 4 mrClsSubMnd CntzmrClsSubMnd mrClsSubMnd Cntz
6030, 58, 59syl2anc 673 . . 3 Cntz
61 ffun 5742 . . . . 5
621, 61syl 17 . . . 4
63 snfi 7668 . . . . 5
64 ssfi 7810 . . . . 5 supp supp
6563, 42, 64sylancr 676 . . . 4 supp
66 fex 6155 . . . . . 6
671, 10, 66syl2anc 673 . . . . 5
68 isfsupp 7905 . . . . 5 finSupp supp
6967, 45, 68syl2anc 673 . . . 4 finSupp supp
7062, 65, 69mpbir2and 936 . . 3 finSupp
716, 7, 8, 9, 10, 1, 60, 42, 70gsumzres 17621 . 2 g g
72 fveq2 5879 . . . 4
736, 72gsumsn 17665 . . 3 g
749, 2, 11, 73syl3anc 1292 . 2 g
755, 71, 743eqtr3d 2513 1 g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  cvv 3031   cdif 3387   wss 3390  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   crn 4840   cres 4841   wfun 5583   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   supp csupp 6933  cfn 7587   finSupp cfsupp 7901  cbs 15199   ↾s cress 15200   cplusg 15268  c0g 15416   g cgsu 15417  Moorecmre 15566  mrClscmrc 15567  ACScacs 15569  cmnd 16613  SubMndcsubmnd 16659  Cntzccntz 17047  CMndccmn 17508 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510 This theorem is referenced by:  gsummpt1n0  17675  dprdfid  17728  evlslem3  18814  evlslem1  18815  coe1tmmul2  18946  coe1tmmul  18947  uvcresum  19428  frlmup2  19434  mamulid  19543  mamurid  19544  coe1mul3  23127  tayl0  23396  jensen  23993  linc1  40726
 Copyright terms: Public domain W3C validator