MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumprval Structured version   Unicode version

Theorem gsumprval 16232
Description: Value of the group sum operation over a pair of sequential integers. (Contributed by AV, 14-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumprval.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumprval.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumprval.g  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
gsumprval.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
gsumprval.n  |-  ( ph  ->  N  =  ( M  +  1 ) )
gsumprval.f  |-  ( ph  ->  F : { M ,  N } --> B )
Assertion
Ref Expression
gsumprval  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( ( F `  M
)  .+  ( F `  N ) ) )

Proof of Theorem gsumprval
StepHypRef Expression
1 gsumprval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumprval.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 gsumprval.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  V )
4 gsumprval.m . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
5 uzid 11141 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
64, 5syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
7 peano2uz 11180 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
86, 7syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
9 gsumprval.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : { M ,  N } --> B )
10 fzpr 11790 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M ... ( M  + 
1 ) )  =  { M ,  ( M  +  1 ) } )
114, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M ... ( M  +  1 ) )  =  { M ,  ( M  + 
1 ) } )
12 gsumprval.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  =  ( M  +  1 ) )
1312eqcomd 2410 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  =  N )
1413preq2d 4058 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { M ,  ( M  +  1 ) }  =  { M ,  N } )
1511, 14eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M ... ( M  +  1 ) )  =  { M ,  N } )
1615feq2d 5701 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F : ( M ... ( M  +  1 ) ) --> B  <->  F : { M ,  N } --> B ) )
179, 16mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( M ... ( M  + 
1 ) ) --> B )
181, 2, 3, 8, 17gsumval2 16231 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  (  seq M (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) ) )
19 seqp1 12166 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  ( M  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
206, 19syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( M  + 
1 ) )  =  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) ) )
21 seq1 12164 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
224, 21syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
2313fveq2d 5853 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  ( M  +  1 ) )  =  ( F `
 N ) )
2422, 23oveq12d 6296 . 2  |-  ( ph  ->  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  M )  .+  ( F `  ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( F `  M
)  .+  ( F `  N ) ) )
2518, 20, 243eqtrd 2447 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( ( F `  M
)  .+  ( F `  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cpr 3974   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   1c1 9523    + caddc 9525   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127   ...cfz 11726    seqcseq 12151   Basecbs 14841   +g cplusg 14909    gsumg cgsu 15055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-seq 12152  df-0g 15056  df-gsum 15057
This theorem is referenced by:  gsumpr12val  16233
  Copyright terms: Public domain W3C validator