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Theorem gsumpropd2lem 16528
Description: Lemma for gsumpropd2 16529. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumpropd2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
gsumpropd2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  W )
gsumpropd2.h  |-  ( ph  ->  H  e.  X )
gsumpropd2.b  |-  ( ph  ->  ( Base `  G
)  =  ( Base `  H ) )
gsumpropd2.c  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
s ( +g  `  G
) t )  e.  ( Base `  G
) )
gsumpropd2.e  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
s ( +g  `  G
) t )  =  ( s ( +g  `  H ) t ) )
gsumpropd2.n  |-  ( ph  ->  Fun  F )
gsumpropd2.r  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Base `  G ) )
gsumprop2dlem.1  |-  A  =  ( `' F "
( _V  \  {
s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } ) )
gsumprop2dlem.2  |-  B  =  ( `' F "
( _V  \  {
s  e.  ( Base `  H )  |  A. t  e.  ( Base `  H ) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } ) )
Assertion
Ref Expression
gsumpropd2lem  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( H  gsumg  F ) )
Distinct variable groups:    t, s, F    G, s, t    H, s, t    ph, s, t
Allowed substitution hints:    A( t, s)    B( t, s)    V( t, s)    W( t, s)    X( t, s)

Proof of Theorem gsumpropd2lem
Dummy variables  a 
b  f  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumpropd2.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  G
)  =  ( Base `  H ) )
21adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( Base `  G )  =  (
Base `  H )
)
3 gsumpropd2.e . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
s ( +g  `  G
) t )  =  ( s ( +g  `  H ) t ) )
43eqeq1d 2455 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
( s ( +g  `  G ) t )  =  t  <->  ( s
( +g  `  H ) t )  =  t ) )
53oveqrspc2v 6318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  G
)  /\  b  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  =  ( a ( +g  `  H ) b ) )
65oveqrspc2v 6318 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( Base `  G
)  /\  s  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
t ( +g  `  G
) s )  =  ( t ( +g  `  H ) s ) )
76ancom2s 812 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
t ( +g  `  G
) s )  =  ( t ( +g  `  H ) s ) )
87eqeq1d 2455 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
( t ( +g  `  G ) s )  =  t  <->  ( t
( +g  `  H ) s )  =  t ) )
94, 8anbi12d 718 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t )  <->  ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) ) )
109anassrs 654 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t )  <->  ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) ) )
112, 10raleqbidva 3005 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t )  <->  A. t  e.  ( Base `  H
) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) ) )
121, 11rabeqbidva 3043 . . . 4  |-  ( ph  ->  { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) }  =  {
s  e.  ( Base `  H )  |  A. t  e.  ( Base `  H ) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } )
1312sseq2d 3462 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ran  F  C_  { s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) }  <->  ran  F  C_  { s  e.  ( Base `  H )  |  A. t  e.  ( Base `  H ) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } ) )
14 eqidd 2454 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  G
)  =  ( Base `  G ) )
1514, 1, 3grpidpropd 16516 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  =  ( 0g
`  H ) )
16 simprl 765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)
17 gsumpropd2.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Base `  G ) )
1817ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  ran  F  C_  ( Base `  G )
)
19 gsumpropd2.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Fun  F )
2019ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  Fun  F )
21 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  s  e.  ( m ... n
) )
22 simplrr 772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  dom  F  =  ( m ... n
) )
2321, 22eleqtrrd 2534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  s  e.  dom  F )
24 fvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  s  e.  dom  F )  -> 
( F `  s
)  e.  ran  F
)
2520, 23, 24syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  ( F `  s )  e.  ran  F )
2618, 25sseldd 3435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  ( F `  s )  e.  (
Base `  G )
)
27 gsumpropd2.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
s ( +g  `  G
) t )  e.  ( Base `  G
) )
2827adantlr 722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
s ( +g  `  G
) t )  e.  ( Base `  G
) )
293adantlr 722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
s ( +g  `  G
) t )  =  ( s ( +g  `  H ) t ) )
3016, 26, 28, 29seqfeq4 12269 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  ->  (  seq m ( ( +g  `  G ) ,  F
) `  n )  =  (  seq m
( ( +g  `  H
) ,  F ) `
 n ) )
3130eqeq2d 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  ->  (
x  =  (  seq m ( ( +g  `  G ) ,  F
) `  n )  <->  x  =  (  seq m
( ( +g  `  H
) ,  F ) `
 n ) ) )
3231anassrs 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  /\  dom  F  =  ( m ... n
) )  ->  (
x  =  (  seq m ( ( +g  `  G ) ,  F
) `  n )  <->  x  =  (  seq m
( ( +g  `  H
) ,  F ) `
 n ) ) )
3332pm5.32da 647 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( ( dom  F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  G ) ,  F
) `  n )
)  <->  ( dom  F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq m
( ( +g  `  H
) ,  F ) `
 n ) ) ) )
3433rexbidva 2900 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  G ) ,  F ) `  n ) )  <->  E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  H ) ,  F ) `  n ) ) ) )
3534exbidv 1770 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( dom 
F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  G ) ,  F
) `  n )
)  <->  E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  H ) ,  F ) `  n ) ) ) )
3635iotabidv 5570 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( iota x E. m E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) ( dom  F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  G ) ,  F ) `  n ) ) )  =  ( iota x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  H ) ,  F ) `  n ) ) ) )
3712difeq2d 3553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _V  \  {
s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } )  =  ( _V  \  { s  e.  (
Base `  H )  |  A. t  e.  (
Base `  H )
( ( s ( +g  `  H ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H ) s )  =  t ) } ) )
3837imaeq2d 5171 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {
s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } ) )  =  ( `' F " ( _V 
\  { s  e.  ( Base `  H
)  |  A. t  e.  ( Base `  H
) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } ) ) )
39 gsumprop2dlem.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  =  ( `' F "
( _V  \  {
s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } ) )
40 gsumprop2dlem.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( `' F "
( _V  \  {
s  e.  ( Base `  H )  |  A. t  e.  ( Base `  H ) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } ) )
4138, 39, 403eqtr4g 2512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  =  B )
4241fveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) )
4342fveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) )
4443adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) )
45 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( # `  B
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
4617ad3antrrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ran  F  C_  ( Base `  G )
)
47 f1ofun 5821 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  Fun  f )
4847ad3antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  Fun  f )
49 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )
50 f1odm 5823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  dom  f  =  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )
5150ad3antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  dom  f  =  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )
5242oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( # `
 A ) )  =  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
5352ad3antrrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( 1 ... ( # `  A
) )  =  ( 1 ... ( # `  B ) ) )
5451, 53eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  dom  f  =  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )
5549, 54eleqtrrd 2534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  a  e.  dom  f )
56 fvco 5946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  f  /\  a  e.  dom  f )  -> 
( ( F  o.  f ) `  a
)  =  ( F `
 ( f `  a ) ) )
5748, 55, 56syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  a )  =  ( F `  ( f `
 a ) ) )
5819ad3antrrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  Fun  F )
59 difpreima 6013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( _V  \  { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) } ) )  =  ( ( `' F " _V )  \  ( `' F " { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) } ) ) )
6019, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {
s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } ) )  =  ( ( `' F " _V )  \  ( `' F " { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) } ) ) )
6139, 60syl5eq 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( `' F " _V )  \  ( `' F " { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) } ) ) )
62 difss 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( `' F " _V )  \  ( `' F " { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) } ) ) 
C_  ( `' F " _V )
6361, 62syl6eqss 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  C_  ( `' F " _V ) )
64 dfdm4 5030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  F  =  ran  `' F
65 dfrn4 5299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ran  `' F  =  ( `' F " _V )
6664, 65eqtri 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  F  =  ( `' F " _V )
6763, 66syl6sseqr 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  F )
6867ad3antrrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  A  C_  dom  F )
69 f1of 5819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
7069ad3antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
7149, 53eleqtrrd 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  a  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )
7270, 71ffvelrnd 6028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( f `  a )  e.  A
)
7368, 72sseldd 3435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( f `  a )  e.  dom  F )
74 fvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  (
f `  a )  e.  dom  F )  -> 
( F `  (
f `  a )
)  e.  ran  F
)
7558, 73, 74syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( F `  ( f `  a
) )  e.  ran  F )
7657, 75eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  a )  e.  ran  F )
7746, 76sseldd 3435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  a )  e.  (
Base `  G )
)
78 simpll 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ph )
7927caovclg 6466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  G
)  /\  b  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  e.  ( Base `  G
) )
8078, 79sylan 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  ( a  e.  ( Base `  G
)  /\  b  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  e.  ( Base `  G
) )
8178, 5sylan 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  ( a  e.  ( Base `  G
)  /\  b  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  =  ( a ( +g  `  H ) b ) )
8245, 77, 80, 81seqfeq4 12269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) )
83 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
84 1z 10974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ZZ
85 seqfn 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) )  Fn  ( ZZ>= ` 
1 ) )
86 fndm 5680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) )  Fn  ( ZZ>= ` 
1 )  ->  dom  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) )  =  ( ZZ>= ` 
1 ) )
8784, 85, 86mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) )  =  ( ZZ>= ` 
1 )
8887eleq2i 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  B )  e.  dom  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( F  o.  f ) )  <-> 
( # `  B )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
8983, 88sylnibr 307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  -.  ( # `
 B )  e. 
dom  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) )
90 ndmfv 5894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( # `  B
)  e.  dom  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) )  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (/) )
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (/) )
92 seqfn 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) )  Fn  ( ZZ>= ` 
1 ) )
93 fndm 5680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) )  Fn  ( ZZ>= ` 
1 )  ->  dom  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) )  =  ( ZZ>= ` 
1 ) )
9484, 92, 93mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) )  =  ( ZZ>= ` 
1 )
9594eleq2i 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  B )  e.  dom  seq 1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) )  <-> 
( # `  B )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
9683, 95sylnibr 307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  -.  ( # `
 B )  e. 
dom  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) )
97 ndmfv 5894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( # `  B
)  e.  dom  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) )  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (/) )
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (/) )
9991, 98eqtr4d 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) )
10099adantlr 722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  -.  ( # `  B )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) )
10182, 100pm2.61dan 801 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) )
10244, 101eqtrd 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) )
103102eqeq2d 2463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( x  =  (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  <->  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) ) )
104103pm5.32da 647 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) )  <->  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) ) ) )
105 f1oeq2 5811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... ( # `  A ) )  =  ( 1 ... ( # `
 B ) )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  <-> 
f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> A ) )
10652, 105syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> A ) )
107 f1oeq3 5812 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  B  ->  (
f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> A  <->  f : ( 1 ... ( # `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )
10841, 107syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( f : ( 1 ... ( # `  B ) ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )
109106, 108bitrd 257 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )
110109anbi1d 712 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) )  <->  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) ) ) )
111104, 110bitrd 257 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) )  <->  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) ) ) )
112111exbidv 1770 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... ( # `  B ) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) ) ) )
113112iotabidv 5570 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) )  =  ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) ) ) )
11436, 113ifeq12d 3903 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( dom  F  e.  ran  ... ,  ( iota
x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( dom 
F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  G ) ,  F
) `  n )
) ) ,  ( iota x E. f
( f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) ) )  =  if ( dom  F  e. 
ran  ... ,  ( iota
x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( dom 
F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  H ) ,  F
) `  n )
) ) ,  ( iota x E. f
( f : ( 1 ... ( # `  B ) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) ) ) ) )
11513, 15, 114ifbieq12d 3910 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ran  F  C_ 
{ s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) } ,  ( 0g `  G ) ,  if ( dom 
F  e.  ran  ... ,  ( iota x E. m E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) ( dom  F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  G ) ,  F ) `  n ) ) ) ,  ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) ) ) )  =  if ( ran  F  C_  { s  e.  ( Base `  H
)  |  A. t  e.  ( Base `  H
) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } , 
( 0g `  H
) ,  if ( dom  F  e.  ran  ...
,  ( iota x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  H ) ,  F ) `  n ) ) ) ,  ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) ) ) ) ) )
116 eqid 2453 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
117 eqid 2453 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
118 eqid 2453 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
119 eqid 2453 . . 3  |-  { s  e.  ( Base `  G
)  |  A. t  e.  ( Base `  G
) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) }  =  { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) }
12039a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( `' F " ( _V 
\  { s  e.  ( Base `  G
)  |  A. t  e.  ( Base `  G
) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } ) ) )
121 gsumpropd2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  W )
122 gsumpropd2.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
123 eqidd 2454 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  F  =  dom  F )
124116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123gsumvalx 16525 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  if ( ran  F  C_  { s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } , 
( 0g `  G
) ,  if ( dom  F  e.  ran  ...
,  ( iota x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  G ) ,  F ) `  n ) ) ) ,  ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) ) ) ) )
125 eqid 2453 . . 3  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
126 eqid 2453 . . 3  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
127 eqid 2453 . . 3  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
128 eqid 2453 . . 3  |-  { s  e.  ( Base `  H
)  |  A. t  e.  ( Base `  H
) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) }  =  { s  e.  (
Base `  H )  |  A. t  e.  (
Base `  H )
( ( s ( +g  `  H ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H ) s )  =  t ) }
12940a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( `' F " ( _V 
\  { s  e.  ( Base `  H
)  |  A. t  e.  ( Base `  H
) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } ) ) )
130 gsumpropd2.h . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  X )
131125, 126, 127, 128, 129, 130, 122, 123gsumvalx 16525 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  F )  =  if ( ran  F  C_  { s  e.  ( Base `  H )  |  A. t  e.  ( Base `  H ) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } , 
( 0g `  H
) ,  if ( dom  F  e.  ran  ...
,  ( iota x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  H ) ,  F ) `  n ) ) ) ,  ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) ) ) ) ) )
132115, 124, 1313eqtr4d 2497 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( H  gsumg  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446   E.wex 1665    e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   {crab 2743   _Vcvv 3047    \ cdif 3403    C_ wss 3406   (/)c0 3733   ifcif 3883   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840    o. ccom 4841   iotacio 5547   Fun wfun 5579    Fn wfn 5580   -->wf 5581   -1-1-onto->wf1o 5584   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   1c1 9545   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791    seqcseq 12220   #chash 12522   Basecbs 15133   +g cplusg 15202   0gc0g 15350    gsumg cgsu 15351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-seq 12221  df-0g 15352  df-gsum 15353
This theorem is referenced by:  gsumpropd2  16529
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