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Theorem gsumpropd2lem 15818
Description: Lemma for gsumpropd2 15819 (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumpropd2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
gsumpropd2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  W )
gsumpropd2.h  |-  ( ph  ->  H  e.  X )
gsumpropd2.b  |-  ( ph  ->  ( Base `  G
)  =  ( Base `  H ) )
gsumpropd2.c  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
s ( +g  `  G
) t )  e.  ( Base `  G
) )
gsumpropd2.e  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
s ( +g  `  G
) t )  =  ( s ( +g  `  H ) t ) )
gsumpropd2.n  |-  ( ph  ->  Fun  F )
gsumpropd2.r  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Base `  G ) )
gsumprop2dlem.1  |-  A  =  ( `' F "
( _V  \  {
s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } ) )
gsumprop2dlem.2  |-  B  =  ( `' F "
( _V  \  {
s  e.  ( Base `  H )  |  A. t  e.  ( Base `  H ) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } ) )
Assertion
Ref Expression
gsumpropd2lem  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( H  gsumg  F ) )
Distinct variable groups:    t, s, F    G, s, t    H, s, t    ph, s, t
Allowed substitution hints:    A( t, s)    B( t, s)    V( t, s)    W( t, s)    X( t, s)

Proof of Theorem gsumpropd2lem
Dummy variables  a 
b  f  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumpropd2.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  G
)  =  ( Base `  H ) )
21adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( Base `  G )  =  (
Base `  H )
)
3 gsumpropd2.e . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
s ( +g  `  G
) t )  =  ( s ( +g  `  H ) t ) )
43eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
( s ( +g  `  G ) t )  =  t  <->  ( s
( +g  `  H ) t )  =  t ) )
53proplem 14941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  G
)  /\  b  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  =  ( a ( +g  `  H ) b ) )
65proplem 14941 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( t  e.  ( Base `  G
)  /\  s  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
t ( +g  `  G
) s )  =  ( t ( +g  `  H ) s ) )
76ancom2s 800 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
t ( +g  `  G
) s )  =  ( t ( +g  `  H ) s ) )
87eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
( t ( +g  `  G ) s )  =  t  <->  ( t
( +g  `  H ) s )  =  t ) )
94, 8anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t )  <->  ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) ) )
109anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t )  <->  ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) ) )
112, 10raleqbidva 3074 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t )  <->  A. t  e.  ( Base `  H
) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) ) )
121, 11rabeqbidva 3109 . . . 4  |-  ( ph  ->  { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) }  =  {
s  e.  ( Base `  H )  |  A. t  e.  ( Base `  H ) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } )
1312sseq2d 3532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ran  F  C_  { s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) }  <->  ran  F  C_  { s  e.  ( Base `  H )  |  A. t  e.  ( Base `  H ) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } ) )
14 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  G
)  =  ( Base `  G ) )
1514, 1, 3grpidpropd 15760 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  =  ( 0g
`  H ) )
16 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)
17 gsumpropd2.r . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  ( Base `  G ) )
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  ran  F  C_  ( Base `  G )
)
19 gsumpropd2.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Fun  F )
2019ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  Fun  F )
21 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  s  e.  ( m ... n
) )
22 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  dom  F  =  ( m ... n
) )
2321, 22eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  s  e.  dom  F )
24 fvelrn 6015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  F  /\  s  e.  dom  F )  -> 
( F `  s
)  e.  ran  F
)
2520, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  ( F `  s )  e.  ran  F )
2618, 25sseldd 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  s  e.  ( m ... n ) )  ->  ( F `  s )  e.  (
Base `  G )
)
27 gsumpropd2.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
s ( +g  `  G
) t )  e.  ( Base `  G
) )
2827adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
s ( +g  `  G
) t )  e.  ( Base `  G
) )
293adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  /\  ( s  e.  ( Base `  G
)  /\  t  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
s ( +g  `  G
) t )  =  ( s ( +g  `  H ) t ) )
3016, 26, 28, 29seqfeq4 12120 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  ->  (  seq m ( ( +g  `  G ) ,  F
) `  n )  =  (  seq m
( ( +g  `  H
) ,  F ) `
 n ) )
3130eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( ZZ>= `  m )  /\  dom  F  =  ( m ... n ) ) )  ->  (
x  =  (  seq m ( ( +g  `  G ) ,  F
) `  n )  <->  x  =  (  seq m
( ( +g  `  H
) ,  F ) `
 n ) ) )
3231anassrs 648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  /\  dom  F  =  ( m ... n
) )  ->  (
x  =  (  seq m ( ( +g  `  G ) ,  F
) `  n )  <->  x  =  (  seq m
( ( +g  `  H
) ,  F ) `
 n ) ) )
3332pm5.32da 641 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  ( ( dom  F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  G ) ,  F
) `  n )
)  <->  ( dom  F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq m
( ( +g  `  H
) ,  F ) `
 n ) ) ) )
3433rexbidva 2970 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  G ) ,  F ) `  n ) )  <->  E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  H ) ,  F ) `  n ) ) ) )
3534exbidv 1690 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( dom 
F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  G ) ,  F
) `  n )
)  <->  E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  H ) ,  F ) `  n ) ) ) )
3635iotabidv 5570 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( iota x E. m E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) ( dom  F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  G ) ,  F ) `  n ) ) )  =  ( iota x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  H ) ,  F ) `  n ) ) ) )
3712difeq2d 3622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( _V  \  {
s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } )  =  ( _V  \  { s  e.  (
Base `  H )  |  A. t  e.  (
Base `  H )
( ( s ( +g  `  H ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H ) s )  =  t ) } ) )
3837imaeq2d 5335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {
s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } ) )  =  ( `' F " ( _V 
\  { s  e.  ( Base `  H
)  |  A. t  e.  ( Base `  H
) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } ) ) )
39 gsumprop2dlem.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A  =  ( `' F "
( _V  \  {
s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } ) )
40 gsumprop2dlem.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  ( `' F "
( _V  \  {
s  e.  ( Base `  H )  |  A. t  e.  ( Base `  H ) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } ) )
4138, 39, 403eqtr4g 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  =  B )
4241fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( # `  A
)  =  ( # `  B ) )
4342fveq2d 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) )
4443adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) )
45 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ( # `  B
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
4617ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ran  F  C_  ( Base `  G )
)
47 f1ofun 5816 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  Fun  f )
4847ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  Fun  f )
49 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )
50 f1odm 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  dom  f  =  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )
5150ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  dom  f  =  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )
5242oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( # `
 A ) )  =  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
5352ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( 1 ... ( # `  A
) )  =  ( 1 ... ( # `  B ) ) )
5451, 53eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  dom  f  =  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )
5549, 54eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  a  e.  dom  f )
56 fvco 5941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  f  /\  a  e.  dom  f )  -> 
( ( F  o.  f ) `  a
)  =  ( F `
 ( f `  a ) ) )
5748, 55, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  a )  =  ( F `  ( f `
 a ) ) )
5819ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  Fun  F )
59 difpreima 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( _V  \  { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) } ) )  =  ( ( `' F " _V )  \  ( `' F " { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) } ) ) )
6019, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {
s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } ) )  =  ( ( `' F " _V )  \  ( `' F " { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) } ) ) )
6139, 60syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( `' F " _V )  \  ( `' F " { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) } ) ) )
62 difss 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( `' F " _V )  \  ( `' F " { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) } ) ) 
C_  ( `' F " _V )
6361, 62syl6eqss 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  C_  ( `' F " _V ) )
64 dfdm4 5193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  F  =  ran  `' F
65 dfrn4 5465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ran  `' F  =  ( `' F " _V )
6664, 65eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  dom  F  =  ( `' F " _V )
6763, 66syl6sseqr 3551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  C_  dom  F )
6867ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  A  C_  dom  F )
69 f1of 5814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
7069ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
7149, 53eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  a  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )
7270, 71ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( f `  a )  e.  A
)
7368, 72sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( f `  a )  e.  dom  F )
74 fvelrn 6015 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  (
f `  a )  e.  dom  F )  -> 
( F `  (
f `  a )
)  e.  ran  F
)
7558, 73, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( F `  ( f `  a
) )  e.  ran  F )
7657, 75eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  a )  e.  ran  F )
7746, 76sseldd 3505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  a  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )  ->  ( ( F  o.  f ) `  a )  e.  (
Base `  G )
)
78 simpll 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  ph )
7927caovclg 6449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  G
)  /\  b  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  e.  ( Base `  G
) )
8078, 79sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  ( a  e.  ( Base `  G
)  /\  b  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  e.  ( Base `  G
) )
8178, 5sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  /\  ( a  e.  ( Base `  G
)  /\  b  e.  ( Base `  G )
) )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  =  ( a ( +g  `  H ) b ) )
8245, 77, 80, 81seqfeq4 12120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) )
83 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
84 1z 10890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ZZ
85 seqfn 12083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) )  Fn  ( ZZ>= ` 
1 ) )
86 fndm 5678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) )  Fn  ( ZZ>= ` 
1 )  ->  dom  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) )  =  ( ZZ>= ` 
1 ) )
8784, 85, 86mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) )  =  ( ZZ>= ` 
1 )
8887eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  B )  e.  dom  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( F  o.  f ) )  <-> 
( # `  B )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
8983, 88sylnibr 305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  -.  ( # `
 B )  e. 
dom  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) )
90 ndmfv 5888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( # `  B
)  e.  dom  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) )  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (/) )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (/) )
92 seqfn 12083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) )  Fn  ( ZZ>= ` 
1 ) )
93 fndm 5678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) )  Fn  ( ZZ>= ` 
1 )  ->  dom  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) )  =  ( ZZ>= ` 
1 ) )
9484, 92, 93mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) )  =  ( ZZ>= ` 
1 )
9594eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  B )  e.  dom  seq 1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) )  <-> 
( # `  B )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
9683, 95sylnibr 305 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  -.  ( # `
 B )  e. 
dom  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) )
97 ndmfv 5888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( # `  B
)  e.  dom  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) )  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (/) )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (/) )
9991, 98eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  -.  ( # `
 B )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) )
10099adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )  /\  -.  ( # `  B )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) )
10182, 100pm2.61dan 789 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) )
10244, 101eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) )
103102eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( x  =  (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  <->  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) ) )
104103pm5.32da 641 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) )  <->  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) ) ) )
105 f1oeq2 5806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... ( # `  A ) )  =  ( 1 ... ( # `
 B ) )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  <-> 
f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> A ) )
10652, 105syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> A ) )
107 f1oeq3 5807 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  B  ->  (
f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> A  <->  f : ( 1 ... ( # `  B ) ) -1-1-onto-> B ) )
10841, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( f : ( 1 ... ( # `  B ) ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )
109106, 108bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )
110109anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) )  <->  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) ) ) )
111104, 110bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) )  <->  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  B
) ) ) ) )
112111exbidv 1690 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( F  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... ( # `  B ) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) ) ) )
113112iotabidv 5570 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) )  =  ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) ) ) )
11436, 113ifeq12d 3959 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( dom  F  e.  ran  ... ,  ( iota
x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( dom 
F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  G ) ,  F
) `  n )
) ) ,  ( iota x E. f
( f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) ) )  =  if ( dom  F  e. 
ran  ... ,  ( iota
x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ( dom 
F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  H ) ,  F
) `  n )
) ) ,  ( iota x E. f
( f : ( 1 ... ( # `  B ) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) ) ) ) )
11513, 15, 114ifbieq12d 3966 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ran  F  C_ 
{ s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) } ,  ( 0g `  G ) ,  if ( dom 
F  e.  ran  ... ,  ( iota x E. m E. n  e.  (
ZZ>= `  m ) ( dom  F  =  ( m ... n )  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  G ) ,  F ) `  n ) ) ) ,  ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) ) ) )  =  if ( ran  F  C_  { s  e.  ( Base `  H
)  |  A. t  e.  ( Base `  H
) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } , 
( 0g `  H
) ,  if ( dom  F  e.  ran  ...
,  ( iota x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  H ) ,  F ) `  n ) ) ) ,  ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) ) ) ) ) )
116 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
117 eqid 2467 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
118 eqid 2467 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
119 eqid 2467 . . 3  |-  { s  e.  ( Base `  G
)  |  A. t  e.  ( Base `  G
) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) }  =  { s  e.  (
Base `  G )  |  A. t  e.  (
Base `  G )
( ( s ( +g  `  G ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G ) s )  =  t ) }
12039a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( `' F " ( _V 
\  { s  e.  ( Base `  G
)  |  A. t  e.  ( Base `  G
) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } ) ) )
121 gsumpropd2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  W )
122 gsumpropd2.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
123 eqidd 2468 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  F  =  dom  F )
124116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123gsumvalx 15815 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  if ( ran  F  C_  { s  e.  ( Base `  G )  |  A. t  e.  ( Base `  G ) ( ( s ( +g  `  G
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  G
) s )  =  t ) } , 
( 0g `  G
) ,  if ( dom  F  e.  ran  ...
,  ( iota x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  G ) ,  F ) `  n ) ) ) ,  ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) ) ) ) ) )
125 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  H )  =  (
Base `  H )
126 eqid 2467 . . 3  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
127 eqid 2467 . . 3  |-  ( +g  `  H )  =  ( +g  `  H )
128 eqid 2467 . . 3  |-  { s  e.  ( Base `  H
)  |  A. t  e.  ( Base `  H
) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) }  =  { s  e.  (
Base `  H )  |  A. t  e.  (
Base `  H )
( ( s ( +g  `  H ) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H ) s )  =  t ) }
12940a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( `' F " ( _V 
\  { s  e.  ( Base `  H
)  |  A. t  e.  ( Base `  H
) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } ) ) )
130 gsumpropd2.h . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  X )
131125, 126, 127, 128, 129, 130, 122, 123gsumvalx 15815 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  F )  =  if ( ran  F  C_  { s  e.  ( Base `  H )  |  A. t  e.  ( Base `  H ) ( ( s ( +g  `  H
) t )  =  t  /\  ( t ( +g  `  H
) s )  =  t ) } , 
( 0g `  H
) ,  if ( dom  F  e.  ran  ...
,  ( iota x E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m )
( dom  F  =  ( m ... n
)  /\  x  =  (  seq m ( ( +g  `  H ) ,  F ) `  n ) ) ) ,  ( iota x E. f ( f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B  /\  x  =  (  seq 1 ( ( +g  `  H ) ,  ( F  o.  f ) ) `  ( # `  B ) ) ) ) ) ) )
132115, 124, 1313eqtr4d 2518 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( H  gsumg  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002    o. ccom 5003   iotacio 5547   Fun wfun 5580    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   1c1 9489   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668    seqcseq 12071   #chash 12369   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   0gc0g 14691    gsumg cgsu 14692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-seq 12072  df-0g 14693  df-gsum 14694
This theorem is referenced by:  gsumpropd2  15819
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