Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumpropd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem gsumpropd 16593
 Description: The group sum depends only on the base set and additive operation. Note that for entirely unrestricted functions, there can be dependency on out-of-domain values of the operation, so this is somewhat weaker than mndpropd 16640 etc. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumpropd.f
gsumpropd.g
gsumpropd.h
gsumpropd.b
gsumpropd.p
Assertion
Ref Expression
gsumpropd g g

Proof of Theorem gsumpropd
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumpropd.b . . . . 5
2 gsumpropd.p . . . . . . . . 9
32oveqd 6325 . . . . . . . 8
43eqeq1d 2473 . . . . . . 7
52oveqd 6325 . . . . . . . 8
65eqeq1d 2473 . . . . . . 7
74, 6anbi12d 725 . . . . . 6
81, 7raleqbidv 2987 . . . . 5
91, 8rabeqbidv 3026 . . . 4
109sseq2d 3446 . . 3
11 eqidd 2472 . . . 4
122oveqdr 6332 . . . 4
1311, 1, 12grpidpropd 16582 . . 3
142seqeq2d 12258 . . . . . . . . . 10
1514fveq1d 5881 . . . . . . . . 9
1615eqeq2d 2481 . . . . . . . 8
1716anbi2d 718 . . . . . . 7
1817rexbidv 2892 . . . . . 6
1918exbidv 1776 . . . . 5
2019iotabidv 5574 . . . 4
219difeq2d 3540 . . . . . . . . . . . 12
2221imaeq2d 5174 . . . . . . . . . . 11
2322fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
2423oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
25 f1oeq2 5819 . . . . . . . . 9
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8
27 f1oeq3 5820 . . . . . . . . 9
2822, 27syl 17 . . . . . . . 8
2926, 28bitrd 261 . . . . . . 7
302seqeq2d 12258 . . . . . . . . 9
3130, 23fveq12d 5885 . . . . . . . 8
3231eqeq2d 2481 . . . . . . 7
3329, 32anbi12d 725 . . . . . 6
3433exbidv 1776 . . . . 5
3534iotabidv 5574 . . . 4
3620, 35ifeq12d 3892 . . 3
3710, 13, 36ifbieq12d 3899 . 2
38 eqid 2471 . . 3
39 eqid 2471 . . 3
40 eqid 2471 . . 3
41 eqid 2471 . . 3
42 eqidd 2472 . . 3
43 gsumpropd.g . . 3
44 gsumpropd.f . . 3
45 eqidd 2472 . . 3
4638, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45gsumvalx 16591 . 2 g
47 eqid 2471 . . 3
48 eqid 2471 . . 3
49 eqid 2471 . . 3
50 eqid 2471 . . 3
51 eqidd 2472 . . 3
52 gsumpropd.h . . 3
5347, 48, 49, 50, 51, 52, 44, 45gsumvalx 16591 . 2 g
5437, 46, 533eqtr4d 2515 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   cdif 3387   wss 3390  cif 3872  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840  cima 4842   ccom 4843  cio 5551  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308  c1 9558  cuz 11182  cfz 11810   cseq 12251  chash 12553  cbs 15199   cplusg 15268  c0g 15416   g cgsu 15417 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-seq 12252  df-0g 15418  df-gsum 15419 This theorem is referenced by:  psropprmul  18908  ply1coe  18966  ply1coeOLD  18967  frlmgsum  19407  matgsum  19539  tsmspropd  21224
 Copyright terms: Public domain W3C validator