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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > gsumpropd | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The group sum depends only on the base set and additive operation. Note that for entirely unrestricted functions, there can be dependency on out-of-domain values of the operation, so this is somewhat weaker than mndpropd 16640 etc. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.) |
Ref | Expression |
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gsumpropd.f |
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gsumpropd.g |
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gsumpropd.h |
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gsumpropd.b |
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gsumpropd.p |
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Ref | Expression |
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gsumpropd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | gsumpropd.b |
. . . . 5
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2 | gsumpropd.p |
. . . . . . . . 9
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3 | 2 | oveqd 6325 |
. . . . . . . 8
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4 | 3 | eqeq1d 2473 |
. . . . . . 7
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5 | 2 | oveqd 6325 |
. . . . . . . 8
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6 | 5 | eqeq1d 2473 |
. . . . . . 7
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7 | 4, 6 | anbi12d 725 |
. . . . . 6
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8 | 1, 7 | raleqbidv 2987 |
. . . . 5
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9 | 1, 8 | rabeqbidv 3026 |
. . . 4
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10 | 9 | sseq2d 3446 |
. . 3
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11 | eqidd 2472 |
. . . 4
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12 | 2 | oveqdr 6332 |
. . . 4
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13 | 11, 1, 12 | grpidpropd 16582 |
. . 3
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14 | 2 | seqeq2d 12258 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 14 | fveq1d 5881 |
. . . . . . . . 9
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16 | 15 | eqeq2d 2481 |
. . . . . . . 8
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17 | 16 | anbi2d 718 |
. . . . . . 7
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18 | 17 | rexbidv 2892 |
. . . . . 6
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19 | 18 | exbidv 1776 |
. . . . 5
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20 | 19 | iotabidv 5574 |
. . . 4
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21 | 9 | difeq2d 3540 |
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22 | 21 | imaeq2d 5174 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | 22 | fveq2d 5883 |
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24 | 23 | oveq2d 6324 |
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25 | f1oeq2 5819 |
. . . . . . . . 9
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26 | 24, 25 | syl 17 |
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27 | f1oeq3 5820 |
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31 | 30, 23 | fveq12d 5885 |
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36 | 20, 35 | ifeq12d 3892 |
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38 | eqid 2471 |
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40 | eqid 2471 |
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41 | eqid 2471 |
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42 | eqidd 2472 |
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45 | eqidd 2472 |
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46 | 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45 | gsumvalx 16591 |
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47 | eqid 2471 |
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48 | eqid 2471 |
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49 | eqid 2471 |
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50 | eqid 2471 |
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51 | eqidd 2472 |
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52 | gsumpropd.h |
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53 | 47, 48, 49, 50, 51, 52, 44, 45 | gsumvalx 16591 |
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54 | 37, 46, 53 | 3eqtr4d 2515 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-ral 2761 df-rex 2762 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-op 3966 df-uni 4191 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-id 4754 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-seq 12252 df-0g 15418 df-gsum 15419 |
This theorem is referenced by: psropprmul 18908 ply1coe 18966 ply1coeOLD 18967 frlmgsum 19407 matgsum 19539 tsmspropd 21224 |
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