Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumpr Structured version   Unicode version

Theorem gsumpr 32429
Description: Group sum of a pair. (Contributed by AV, 6-Dec-2018.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumpr.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumpr.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumpr.s  |-  ( k  =  M  ->  A  =  C )
gsumpr.t  |-  ( k  =  N  ->  A  =  D )
Assertion
Ref Expression
gsumpr  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M ,  N }  |->  A ) )  =  ( C  .+  D
) )
Distinct variable groups:    B, k    C, k    D, k    k, G   
k, M    k, N    k, V    k, W
Allowed substitution hints:    A( k)    .+ ( k)

Proof of Theorem gsumpr
StepHypRef Expression
1 gsumpr.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumpr.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 simp1 996 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
) )  ->  G  e. CMnd )
4 prfi 7807 . . . 4  |-  { M ,  N }  e.  Fin
54a1i 11 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
) )  ->  { M ,  N }  e.  Fin )
6 vex 3121 . . . . . 6  |-  k  e. 
_V
76elpr 4051 . . . . 5  |-  ( k  e.  { M ,  N }  <->  ( k  =  M  \/  k  =  N ) )
8 gsumpr.s . . . . . . 7  |-  ( k  =  M  ->  A  =  C )
9 eleq1a 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  B  ->  ( A  =  C  ->  A  e.  B ) )
109adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  ( A  =  C  ->  A  e.  B
) )
11103ad2ant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
) )  ->  ( A  =  C  ->  A  e.  B ) )
128, 11syl5com 30 . . . . . 6  |-  ( k  =  M  ->  (
( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N
)  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B ) )  ->  A  e.  B )
)
13 gsumpr.t . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  A  =  D )
14 eleq1a 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  B  ->  ( A  =  D  ->  A  e.  B ) )
1514adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  ( A  =  D  ->  A  e.  B
) )
16153ad2ant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
) )  ->  ( A  =  D  ->  A  e.  B ) )
1713, 16syl5com 30 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  (
( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N
)  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B ) )  ->  A  e.  B )
)
1812, 17jaoi 379 . . . . 5  |-  ( ( k  =  M  \/  k  =  N )  ->  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N
)  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B ) )  ->  A  e.  B )
)
197, 18sylbi 195 . . . 4  |-  ( k  e.  { M ,  N }  ->  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
) )  ->  A  e.  B ) )
2019impcom 430 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N
)  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B ) )  /\  k  e.  { M ,  N } )  ->  A  e.  B )
21 disjsn2 4095 . . . . 5  |-  ( M  =/=  N  ->  ( { M }  i^i  { N } )  =  (/) )
22213ad2ant3 1019 . . . 4  |-  ( ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  -> 
( { M }  i^i  { N } )  =  (/) )
23223ad2ant2 1018 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
) )  ->  ( { M }  i^i  { N } )  =  (/) )
24 df-pr 4036 . . . 4  |-  { M ,  N }  =  ( { M }  u.  { N } )
2524a1i 11 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
) )  ->  { M ,  N }  =  ( { M }  u.  { N } ) )
26 eqid 2467 . . 3  |-  ( k  e.  { M ,  N }  |->  A )  =  ( k  e. 
{ M ,  N }  |->  A )
271, 2, 3, 5, 20, 23, 25, 26gsummptfidmsplitres 16824 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M ,  N }  |->  A ) )  =  ( ( G  gsumg  ( ( k  e.  { M ,  N }  |->  A )  |`  { M } ) )  .+  ( G 
gsumg  ( ( k  e. 
{ M ,  N }  |->  A )  |`  { N } ) ) ) )
28 snsspr1 4182 . . . . . 6  |-  { M }  C_  { M ,  N }
29 resmpt 5329 . . . . . 6  |-  ( { M }  C_  { M ,  N }  ->  (
( k  e.  { M ,  N }  |->  A )  |`  { M } )  =  ( k  e.  { M }  |->  A ) )
3028, 29mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
) )  ->  (
( k  e.  { M ,  N }  |->  A )  |`  { M } )  =  ( k  e.  { M }  |->  A ) )
3130oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
) )  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e. 
{ M ,  N }  |->  A )  |`  { M } ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) ) )
32 cmnmnd 16686 . . . . 5  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
33 simp1 996 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  ->  M  e.  V )
34 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  C  e.  B )
351, 8gsumsn 16854 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  V  /\  C  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
3632, 33, 34, 35syl3an 1270 . . . 4  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  A ) )  =  C )
3731, 36eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
) )  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e. 
{ M ,  N }  |->  A )  |`  { M } ) )  =  C )
38 snsspr2 4183 . . . . . 6  |-  { N }  C_  { M ,  N }
39 resmpt 5329 . . . . . 6  |-  ( { N }  C_  { M ,  N }  ->  (
( k  e.  { M ,  N }  |->  A )  |`  { N } )  =  ( k  e.  { N }  |->  A ) )
4038, 39mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
) )  ->  (
( k  e.  { M ,  N }  |->  A )  |`  { N } )  =  ( k  e.  { N }  |->  A ) )
4140oveq2d 6311 . . . 4  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
) )  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e. 
{ M ,  N }  |->  A )  |`  { N } ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  { N }  |->  A ) ) )
42 simp2 997 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  ->  N  e.  W )
43 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  B  /\  D  e.  B )  ->  D  e.  B )
441, 13gsumsn 16854 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  W  /\  D  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { N }  |->  A ) )  =  D )
4532, 42, 43, 44syl3an 1270 . . . 4  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { N }  |->  A ) )  =  D )
4641, 45eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
) )  ->  ( G  gsumg  ( ( k  e. 
{ M ,  N }  |->  A )  |`  { N } ) )  =  D )
4737, 46oveq12d 6313 . 2  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
) )  ->  (
( G  gsumg  ( ( k  e. 
{ M ,  N }  |->  A )  |`  { M } ) ) 
.+  ( G  gsumg  ( ( k  e.  { M ,  N }  |->  A )  |`  { N } ) ) )  =  ( C  .+  D ) )
4827, 47eqtrd 2508 1  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  V  /\  N  e.  W  /\  M  =/=  N )  /\  ( C  e.  B  /\  D  e.  B
) )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M ,  N }  |->  A ) )  =  ( C  .+  D
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    u. cun 3479    i^i cin 3480    C_ wss 3481   (/)c0 3790   {csn 4033   {cpr 4035    |-> cmpt 4511    |` cres 5007   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   Basecbs 14507   +g cplusg 14572    gsumg cgsu 14713   Mndcmnd 15793  CMndccmn 16671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673
This theorem is referenced by:  lincvalpr  32501  zlmodzxzldeplem3  32585
  Copyright terms: Public domain W3C validator