Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumply1subr Structured version   Unicode version

Theorem gsumply1subr 18402
 Description: Evaluate a group sum in a polynomial ring over a subring. (Contributed by AV, 22-Sep-2019.) (Proof shortened by AV, 31-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
subrgply1.s Poly1
subrgply1.h s
subrgply1.u Poly1
subrgply1.b
gsumply1subr.s SubRing
gsumply1subr.a
gsumply1subr.f
Assertion
Ref Expression
gsumply1subr g g

Proof of Theorem gsumply1subr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumply1subr.a . . 3
2 gsumply1subr.s . . . 4 SubRing
3 subrgply1.s . . . . 5 Poly1
4 subrgply1.h . . . . 5 s
5 subrgply1.u . . . . 5 Poly1
6 subrgply1.b . . . . 5
73, 4, 5, 6subrgply1 18401 . . . 4 SubRing SubRing
8 subrgsubg 17562 . . . . 5 SubRing SubGrp
9 subgsubm 16350 . . . . 5 SubGrp SubMnd
108, 9syl 16 . . . 4 SubRing SubMnd
112, 7, 103syl 20 . . 3 SubMnd
12 gsumply1subr.f . . 3
13 eqid 2457 . . 3 s s
141, 11, 12, 13gsumsubm 16131 . 2 g s g
15 fex 6146 . . . 4
1612, 1, 15syl2anc 661 . . 3
17 ovex 6324 . . . 4 s
1817a1i 11 . . 3 s
19 fvex 5882 . . . . 5 Poly1
205, 19eqeltri 2541 . . . 4
2120a1i 11 . . 3
22 eqid 2457 . . . . 5
236oveq2i 6307 . . . . 5 s s
243, 4, 5, 22, 2, 23ressply1bas 18397 . . . 4 s
2524eqcomd 2465 . . 3 s
2613subrgring 17559 . . . . 5 SubRing s
277, 26syl 16 . . . 4 SubRing s
28 ringmgm 17335 . . . 4 s s Mgm
292, 27, 283syl 20 . . 3 s Mgm
30 simpl 457 . . . . 5 s s
313, 4, 5, 6, 2, 13ressply1bas 18397 . . . . . . . . . 10 s
3231eqcomd 2465 . . . . . . . . 9 s
3332eleq2d 2527 . . . . . . . 8 s
3433biimpcd 224 . . . . . . 7 s
3534adantr 465 . . . . . 6 s s
3635impcom 430 . . . . 5 s s
3732eleq2d 2527 . . . . . . . 8 s
3837biimpcd 224 . . . . . . 7 s
3938adantl 466 . . . . . 6 s s
4039impcom 430 . . . . 5 s s
413, 4, 5, 6, 2, 13ressply1add 18398 . . . . 5 s
4230, 36, 40, 41syl12anc 1226 . . . 4 s s s
4342eqcomd 2465 . . 3 s s s
44 ffun 5739 . . . 4
4512, 44syl 16 . . 3
46 frn 5743 . . . . 5
4712, 46syl 16 . . . 4
4847, 31sseqtrd 3535 . . 3 s
4916, 18, 21, 25, 29, 43, 45, 48gsummgmpropd 16029 . 2 s g g
5014, 49eqtrd 2498 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  cvv 3109   wss 3471   crn 5009   wfun 5588  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  cbs 14644   ↾s cress 14645   cplusg 14712   g cgsu 14858  Mgmcmgm 15997  SubMndcsubmnd 16092  SubGrpcsubg 16322  crg 17325  SubRingcsubrg 17552  Poly1cpl1 18343 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-tset 14731  df-ple 14732  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-ghm 16392  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-subrg 17554  df-psr 18132  df-mpl 18134  df-opsr 18136  df-psr1 18346  df-ply1 18348 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator