Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumncl Structured version   Unicode version

Theorem gsumncl 28756
Description: Closure of a group sum in a non-commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumncl.k  |-  K  =  ( Base `  M
)
gsumncl.w  |-  ( ph  ->  M  e.  Mnd )
gsumncl.p  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= `  N ) )
gsumncl.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( N ... P ) )  ->  B  e.  K )
Assertion
Ref Expression
gsumncl  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( k  e.  ( N ... P ) 
|->  B ) )  e.  K )
Distinct variable groups:    k, K    k, N    P, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    M( k)

Proof of Theorem gsumncl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumncl.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  M
)
2 eqid 2454 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
3 gsumncl.w . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  Mnd )
4 gsumncl.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= `  N ) )
5 gsumncl.b . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( N ... P ) )  ->  B  e.  K )
6 eqid 2454 . . . 4  |-  ( k  e.  ( N ... P )  |->  B )  =  ( k  e.  ( N ... P
)  |->  B )
75, 6fmptd 6031 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( N ... P ) 
|->  B ) : ( N ... P ) --> K )
81, 2, 3, 4, 7gsumval2 16106 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( k  e.  ( N ... P ) 
|->  B ) )  =  (  seq N ( ( +g  `  M
) ,  ( k  e.  ( N ... P )  |->  B ) ) `  P ) )
97ffvelrnda 6007 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N ... P ) )  ->  ( (
k  e.  ( N ... P )  |->  B ) `  x )  e.  K )
103adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  M  e.  Mnd )
11 simprl 754 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  x  e.  K )
12 simprr 755 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
y  e.  K )
131, 2mndcl 16128 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  K )
1410, 11, 12, 13syl3anc 1226 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( x ( +g  `  M ) y )  e.  K )
154, 9, 14seqcl 12109 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq N ( ( +g  `  M
) ,  ( k  e.  ( N ... P )  |->  B ) ) `  P )  e.  K )
168, 15eqeltrd 2542 1  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( k  e.  ( N ... P ) 
|->  B ) )  e.  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675    seqcseq 12089   Basecbs 14716   +g cplusg 14784    gsumg cgsu 14930   Mndcmnd 16118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-seq 12090  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120
This theorem is referenced by:  signstcl  28786  signstf  28787
  Copyright terms: Public domain W3C validator