Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumncl Structured version   Unicode version

Theorem gsumncl 27073
Description: Closure of a group sum in a non-commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumncl.k  |-  K  =  ( Base `  M
)
gsumncl.w  |-  ( ph  ->  M  e.  Mnd )
gsumncl.p  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= `  N ) )
gsumncl.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( N ... P ) )  ->  B  e.  K )
Assertion
Ref Expression
gsumncl  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( k  e.  ( N ... P ) 
|->  B ) )  e.  K )
Distinct variable groups:    k, K    k, N    P, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    M( k)

Proof of Theorem gsumncl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumncl.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  M
)
2 eqid 2451 . . 3  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
3 gsumncl.w . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  Mnd )
4 gsumncl.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= `  N ) )
5 gsumncl.b . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( N ... P ) )  ->  B  e.  K )
6 eqid 2451 . . . 4  |-  ( k  e.  ( N ... P )  |->  B )  =  ( k  e.  ( N ... P
)  |->  B )
75, 6fmptd 5969 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( N ... P ) 
|->  B ) : ( N ... P ) --> K )
81, 2, 3, 4, 7gsumval2 15624 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( k  e.  ( N ... P ) 
|->  B ) )  =  (  seq N ( ( +g  `  M
) ,  ( k  e.  ( N ... P )  |->  B ) ) `  P ) )
97ffvelrnda 5945 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( N ... P ) )  ->  ( (
k  e.  ( N ... P )  |->  B ) `  x )  e.  K )
103adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  M  e.  Mnd )
11 simprl 755 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K ) )  ->  x  e.  K )
12 simprr 756 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
y  e.  K )
131, 2mndcl 15531 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  x  e.  K  /\  y  e.  K )  ->  ( x ( +g  `  M ) y )  e.  K )
1410, 11, 12, 13syl3anc 1219 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  y  e.  K ) )  -> 
( x ( +g  `  M ) y )  e.  K )
154, 9, 14seqcl 11936 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq N ( ( +g  `  M
) ,  ( k  e.  ( N ... P )  |->  B ) ) `  P )  e.  K )
168, 15eqeltrd 2539 1  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( k  e.  ( N ... P ) 
|->  B ) )  e.  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    |-> cmpt 4451   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   ZZ>=cuz 10965   ...cfz 11547    seqcseq 11916   Basecbs 14285   +g cplusg 14349    gsumg cgsu 14490   Mndcmnd 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-seq 11917  df-0g 14491  df-gsum 14492  df-mnd 15526
This theorem is referenced by:  signstcl  27103  signstf  27104
  Copyright terms: Public domain W3C validator