MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummulglem Structured version   Unicode version

Theorem gsummulglem 16459
Description: Lemma for gsummulg 16460 and gsummulgz 16461. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummulg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsummulg.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummulg.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
gsummulg.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsummulg.f  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsummulg.w  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  X ) finSupp  .0.  )
gsummulglem.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsummulglem.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
gsummulglem.o  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Abel  \/  N  e.  NN0 )
)
Assertion
Ref Expression
gsummulglem  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( N  .x.  X
) ) )  =  ( N  .x.  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N    ph, k    .x. , k
Allowed substitution hints:    G( k)    V( k)    X( k)    .0. ( k)

Proof of Theorem gsummulglem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummulg.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsummulg.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsummulglem.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 cmnmnd 16313 . . 3  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
6 gsummulg.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
7 gsummulglem.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
8 gsummulg.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  (.g
`  G )
91, 8mulgghm 16337 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( G 
GrpHom  G ) )
10 ghmmhm 15778 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( G 
GrpHom  G )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( G MndHom  G ) )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( G MndHom  G ) )
1211expcom 435 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( G  e.  Abel  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( G MndHom  G ) ) )
137, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Abel  -> 
( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x
) )  e.  ( G MndHom  G ) ) )
141, 8mulgmhm 16336 . . . . 5  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( G MndHom  G ) )
1514ex 434 . . . 4  |-  ( G  e. CMnd  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x ) )  e.  ( G MndHom  G ) ) )
163, 15syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x
) )  e.  ( G MndHom  G ) ) )
17 gsummulglem.o . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Abel  \/  N  e.  NN0 )
)
1813, 16, 17mpjaod 381 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( N  .x.  x
) )  e.  ( G MndHom  G ) )
19 gsummulg.f . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
20 gsummulg.w . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  X ) finSupp  .0.  )
21 oveq2 6120 . 2  |-  ( x  =  X  ->  ( N  .x.  x )  =  ( N  .x.  X
) )
22 oveq2 6120 . 2  |-  ( x  =  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  ->  ( N  .x.  x )  =  ( N  .x.  ( G 
gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) ) ) )
231, 2, 3, 5, 6, 18, 19, 20, 21, 22gsummhm2 16456 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( N  .x.  X
) ) )  =  ( N  .x.  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   finSupp cfsupp 7641   NN0cn0 10600   ZZcz 10667   Basecbs 14195   0gc0g 14399    gsumg cgsu 14400   Mndcmnd 15430  .gcmg 15435   MndHom cmhm 15483    GrpHom cghm 15765  CMndccmn 16298   Abelcabel 16299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-oi 7745  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-hash 12125  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-mnd 15436  df-mhm 15485  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-mulg 15569  df-ghm 15766  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-abl 16301
This theorem is referenced by:  gsummulg  16460  gsummulgz  16461
  Copyright terms: Public domain W3C validator