MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummulg Structured version   Unicode version

Theorem gsummulg 16753
Description: Nonnegative multiple of a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummulg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsummulg.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummulg.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
gsummulg.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsummulg.f  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsummulg.w  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  X ) finSupp  .0.  )
gsummulg.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsummulg.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
gsummulg  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( N  .x.  X
) ) )  =  ( N  .x.  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N    ph, k    .x. , k
Allowed substitution hints:    G( k)    V( k)    X( k)    .0. ( k)

Proof of Theorem gsummulg
StepHypRef Expression
1 gsummulg.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsummulg.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsummulg.t . 2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
4 gsummulg.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 gsummulg.f . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
6 gsummulg.w . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  X ) finSupp  .0.  )
7 gsummulg.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
8 gsummulg.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
98nn0zd 10960 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
108olcd 393 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Abel  \/  N  e.  NN0 )
)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10gsummulglem 16752 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( N  .x.  X
) ) )  =  ( N  .x.  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   finSupp cfsupp 7825   NN0cn0 10791   Basecbs 14483   0gc0g 14688    gsumg cgsu 14689  .gcmg 15724  CMndccmn 16591   Abelcabl 16592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-hash 12368  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-mnd 15725  df-mhm 15774  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-mulg 15858  df-ghm 16057  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-abl 16594
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator