MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummulc2OLD Structured version   Unicode version

Theorem gsummulc2OLD 16824
Description: A finite ring sum multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) Obsolete version of gsummulc1 16821 as of 10-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummulc1OLD.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
gsummulc1OLD.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsummulc1OLD.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
gsummulc1OLD.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
gsummulc1OLD.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
gsummulc1OLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsummulc1OLD.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
gsummulc1OLD.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsummulc1OLD.n  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
gsummulc2OLD  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( Y  .x.  X
) ) )  =  ( Y  .x.  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    .x. , k    k, Y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    R( k)    V( k)    X( k)    .0. ( k)

Proof of Theorem gsummulc2OLD
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummulc1OLD.b . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 gsummulc1OLD.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 gsummulc1OLD.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 rngcmn 16801 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6 rngmnd 16780 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
73, 6syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
8 gsummulc1OLD.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 gsummulc1OLD.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
10 gsummulc1OLD.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
111, 10rnglghm 16819 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B )  ->  (
x  e.  B  |->  ( Y  .x.  x ) )  e.  ( R 
GrpHom  R ) )
123, 9, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Y  .x.  x
) )  e.  ( R  GrpHom  R ) )
13 ghmmhm 15879 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( Y  .x.  x ) )  e.  ( R 
GrpHom  R )  ->  (
x  e.  B  |->  ( Y  .x.  x ) )  e.  ( R MndHom  R ) )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Y  .x.  x
) )  e.  ( R MndHom  R ) )
15 gsummulc1OLD.x . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
16 gsummulc1OLD.n . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
17 oveq2 6211 . 2  |-  ( x  =  X  ->  ( Y  .x.  x )  =  ( Y  .x.  X
) )
18 oveq2 6211 . 2  |-  ( x  =  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  ->  ( Y  .x.  x )  =  ( Y  .x.  ( R 
gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) ) ) )
191, 2, 5, 7, 8, 14, 15, 16, 17, 18gsummhm2OLD 16560 1  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( Y  .x.  X
) ) )  =  ( Y  .x.  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    \ cdif 3436   {csn 3988    |-> cmpt 4461   `'ccnv 4950   "cima 4954   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Fincfn 7423   Basecbs 14295   +g cplusg 14360   .rcmulr 14361   0gc0g 14500    gsumg cgsu 14501   Mndcmnd 15531   MndHom cmhm 15584    GrpHom cghm 15866  CMndccmn 16401   Ringcrg 16771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-plusg 14373  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-mnd 15537  df-mhm 15586  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-ghm 15867  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773
This theorem is referenced by:  gsumdixpOLD  16826
  Copyright terms: Public domain W3C validator