MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummulc2 Structured version   Unicode version

Theorem gsummulc2 17037
Description: A finite ring sum multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummulc1.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
gsummulc1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsummulc1.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
gsummulc1.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
gsummulc1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
gsummulc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsummulc1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
gsummulc1.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsummulc1.n  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  X ) finSupp  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsummulc2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( Y  .x.  X
) ) )  =  ( Y  .x.  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    .x. , k    k, Y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    R( k)    V( k)    X( k)    .0. ( k)

Proof of Theorem gsummulc2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummulc1.b . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 gsummulc1.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 gsummulc1.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 rngcmn 17016 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6 rngmnd 16995 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
73, 6syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
8 gsummulc1.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 gsummulc1.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
10 gsummulc1.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
111, 10rnglghm 17034 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B )  ->  (
x  e.  B  |->  ( Y  .x.  x ) )  e.  ( R 
GrpHom  R ) )
123, 9, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Y  .x.  x
) )  e.  ( R  GrpHom  R ) )
13 ghmmhm 16072 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( Y  .x.  x ) )  e.  ( R 
GrpHom  R )  ->  (
x  e.  B  |->  ( Y  .x.  x ) )  e.  ( R MndHom  R ) )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Y  .x.  x
) )  e.  ( R MndHom  R ) )
15 gsummulc1.x . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
16 gsummulc1.n . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  X ) finSupp  .0.  )
17 oveq2 6290 . 2  |-  ( x  =  X  ->  ( Y  .x.  x )  =  ( Y  .x.  X
) )
18 oveq2 6290 . 2  |-  ( x  =  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  ->  ( Y  .x.  x )  =  ( Y  .x.  ( R 
gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) ) ) )
191, 2, 5, 7, 8, 14, 15, 16, 17, 18gsummhm2 16752 1  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( Y  .x.  X
) ) )  =  ( Y  .x.  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   finSupp cfsupp 7825   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   .rcmulr 14552   0gc0g 14691    gsumg cgsu 14692   Mndcmnd 15722   MndHom cmhm 15775    GrpHom cghm 16059  CMndccmn 16594   Ringcrg 16986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-hash 12370  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-plusg 14564  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-mnd 15728  df-mhm 15777  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-ghm 16060  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-abl 16597  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988
This theorem is referenced by:  gsumdixp  17042  psrass1  17831  psrass23l  17834  psrass23  17836  frlmphl  18579  mamuass  18671  mamuvs1  18674  mamuvs2  18675  mavmulass  18818  mdetrsca  18872  cpmadugsumlemB  19142  cpmadugsumlemC  19143  amgmlem  23047
  Copyright terms: Public domain W3C validator