Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummulc1OLD Structured version   Unicode version

Theorem gsummulc1OLD 17466
 Description: A finite ring sum multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) Obsolete version of gsummulc1 17464 as of 10-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummulc1OLD.b
gsummulc1OLD.z
gsummulc1OLD.p
gsummulc1OLD.t
gsummulc1OLD.r
gsummulc1OLD.a
gsummulc1OLD.y
gsummulc1OLD.x
gsummulc1OLD.n
Assertion
Ref Expression
gsummulc1OLD g g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem gsummulc1OLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummulc1OLD.b . 2
2 gsummulc1OLD.z . 2
3 gsummulc1OLD.r . . 3
4 ringcmn 17441 . . 3 CMnd
53, 4syl 17 . 2 CMnd
6 ringmnd 17419 . . 3
73, 6syl 17 . 2
8 gsummulc1OLD.a . 2
9 gsummulc1OLD.y . . . 4
10 gsummulc1OLD.t . . . . 5
111, 10ringrghm 17463 . . . 4
123, 9, 11syl2anc 659 . . 3
13 ghmmhm 16493 . . 3 MndHom
1412, 13syl 17 . 2 MndHom
15 gsummulc1OLD.x . 2
16 gsummulc1OLD.n . 2
17 oveq1 6241 . 2
18 oveq1 6241 . 2 g g
191, 2, 5, 7, 8, 14, 15, 16, 17, 18gsummhm2OLD 17177 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  cvv 3058   cdif 3410  csn 3971   cmpt 4452  ccnv 4941  cima 4945  cfv 5525  (class class class)co 6234  cfn 7474  cbs 14733   cplusg 14801  cmulr 14802  c0g 14946   g cgsu 14947  cmnd 16135   MndHom cmhm 16180   cghm 16480  CMndccmn 17014  crg 17410 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-oi 7889  df-card 8272  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062  df-hash 12360  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-plusg 14814  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-mhm 16182  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-ghm 16481  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-abl 17017  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412 This theorem is referenced by:  gsumdixpOLD  17469
 Copyright terms: Public domain W3C validator