MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummulc1OLD Structured version   Unicode version

Theorem gsummulc1OLD 17466
Description: A finite ring sum multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) Obsolete version of gsummulc1 17464 as of 10-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummulc1OLD.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
gsummulc1OLD.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsummulc1OLD.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
gsummulc1OLD.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
gsummulc1OLD.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
gsummulc1OLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsummulc1OLD.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
gsummulc1OLD.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsummulc1OLD.n  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
gsummulc1OLD  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .x.  Y ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    .x. , k    k, Y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    R( k)    V( k)    X( k)    .0. ( k)

Proof of Theorem gsummulc1OLD
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummulc1OLD.b . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 gsummulc1OLD.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 gsummulc1OLD.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 ringcmn 17441 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6 ringmnd 17419 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
73, 6syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
8 gsummulc1OLD.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 gsummulc1OLD.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
10 gsummulc1OLD.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
111, 10ringrghm 17463 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R ) )
123, 9, 11syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y
) )  e.  ( R  GrpHom  R ) )
13 ghmmhm 16493 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y ) )  e.  ( R MndHom  R ) )
1412, 13syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y
) )  e.  ( R MndHom  R ) )
15 gsummulc1OLD.x . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
16 gsummulc1OLD.n . 2  |-  ( ph  ->  ( `' ( k  e.  A  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
17 oveq1 6241 . 2  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .x.  Y )  =  ( X  .x.  Y ) )
18 oveq1 6241 . 2  |-  ( x  =  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  ->  ( x  .x.  Y )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .x.  Y ) )
191, 2, 5, 7, 8, 14, 15, 16, 17, 18gsummhm2OLD 17177 1  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .x.  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    \ cdif 3410   {csn 3971    |-> cmpt 4452   `'ccnv 4941   "cima 4945   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Fincfn 7474   Basecbs 14733   +g cplusg 14801   .rcmulr 14802   0gc0g 14946    gsumg cgsu 14947   Mndcmnd 16135   MndHom cmhm 16180    GrpHom cghm 16480  CMndccmn 17014   Ringcrg 17410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-oi 7889  df-card 8272  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062  df-hash 12360  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-plusg 14814  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-mhm 16182  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-ghm 16481  df-cntz 16571  df-cmn 17016  df-abl 17017  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412
This theorem is referenced by:  gsumdixpOLD  17469
  Copyright terms: Public domain W3C validator