MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummulc1 Structured version   Unicode version

Theorem gsummulc1 17570
Description: A finite ring sum multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummulc1.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
gsummulc1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsummulc1.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
gsummulc1.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
gsummulc1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
gsummulc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsummulc1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
gsummulc1.x  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsummulc1.n  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  X ) finSupp  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsummulc1  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .x.  Y ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    .x. , k    k, Y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    R( k)    V( k)    X( k)    .0. ( k)

Proof of Theorem gsummulc1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummulc1.b . 2  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 gsummulc1.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 gsummulc1.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 ringcmn 17547 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6 ringmnd 17525 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
73, 6syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
8 gsummulc1.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
9 gsummulc1.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
10 gsummulc1.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
111, 10ringrghm 17569 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R ) )
123, 9, 11syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y
) )  e.  ( R  GrpHom  R ) )
13 ghmmhm 16599 . . 3  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y ) )  e.  ( R 
GrpHom  R )  ->  (
x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y ) )  e.  ( R MndHom  R ) )
1412, 13syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( x  .x.  Y
) )  e.  ( R MndHom  R ) )
15 gsummulc1.x . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
16 gsummulc1.n . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  X ) finSupp  .0.  )
17 oveq1 6284 . 2  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .x.  Y )  =  ( X  .x.  Y ) )
18 oveq1 6284 . 2  |-  ( x  =  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  ->  ( x  .x.  Y )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .x.  Y ) )
191, 2, 5, 7, 8, 14, 15, 16, 17, 18gsummhm2 17282 1  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  .x.  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   finSupp cfsupp 7862   Basecbs 14839   +g cplusg 14907   .rcmulr 14908   0gc0g 15052    gsumg cgsu 15053   Mndcmnd 16241   MndHom cmhm 16286    GrpHom cghm 16586  CMndccmn 17120   Ringcrg 17516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-plusg 14920  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-ghm 16587  df-cntz 16677  df-cmn 17122  df-abl 17123  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518
This theorem is referenced by:  gsumdixp  17576  psrass1  18378  mamuass  19194  mavmulass  19341
  Copyright terms: Public domain W3C validator