MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptun Structured version   Unicode version

Theorem gsummptun 16777
Description: Group sum of a disjoint union, whereas sums are expressed as mappings. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptun.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
gsummptun.z  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
gsummptun.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
gsummptun.w  |-  ( ph  ->  W  e. CMnd )
gsummptun.a  |-  ( ph  ->  ( A  u.  C
)  e.  Fin )
gsummptun.d  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  C
)  =  (/) )
gsummptun.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  C
) )  ->  D  e.  B )
Assertion
Ref Expression
gsummptun  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( x  e.  ( A  u.  C ) 
|->  D ) )  =  ( ( W  gsumg  ( x  e.  A  |->  D ) )  .+  ( W 
gsumg  ( x  e.  C  |->  D ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    ph, x
Allowed substitution hints:    D( x)    .+ ( x)    W( x)    .0. ( x)

Proof of Theorem gsummptun
StepHypRef Expression
1 gsummptun.b . 2  |-  B  =  ( Base `  W
)
2 gsummptun.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 gsummptun.w . 2  |-  ( ph  ->  W  e. CMnd )
4 gsummptun.a . 2  |-  ( ph  ->  ( A  u.  C
)  e.  Fin )
5 gsummptun.1 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  u.  C
) )  ->  D  e.  B )
6 gsummptun.d . 2  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  C
)  =  (/) )
7 eqidd 2463 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  u.  C
)  =  ( A  u.  C ) )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7gsummptfidmsplit 16736 1  |-  ( ph  ->  ( W  gsumg  ( x  e.  ( A  u.  C ) 
|->  D ) )  =  ( ( W  gsumg  ( x  e.  A  |->  D ) )  .+  ( W 
gsumg  ( x  e.  C  |->  D ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    u. cun 3469    i^i cin 3470   (/)c0 3780    |-> cmpt 4500   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   Basecbs 14481   +g cplusg 14546   0gc0g 14686    gsumg cgsu 14687  CMndccmn 16589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-hash 12363  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-cntz 16145  df-cmn 16591
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator