Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptshft Structured version   Unicode version

Theorem gsummptshft 16829
 Description: Index shift of a finite group sum over a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptshft.b
gsummptshft.z
gsummptshft.g CMnd
gsummptshft.k
gsummptshft.m
gsummptshft.n
gsummptshft.a
gsummptshft.c
Assertion
Ref Expression
gsummptshft g g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem gsummptshft
StepHypRef Expression
1 gsummptshft.b . . 3
2 gsummptshft.z . . 3
3 gsummptshft.g . . 3 CMnd
4 ovex 6320 . . . 4
54a1i 11 . . 3
6 gsummptshft.a . . . 4
7 eqid 2467 . . . 4
86, 7fmptd 6056 . . 3
9 fzfid 12063 . . . 4
10 fvex 5882 . . . . . 6
112, 10eqeltri 2551 . . . . 5
1211a1i 11 . . . 4
137, 9, 6, 12fsuppmptdm 7852 . . 3 finSupp
14 gsummptshft.k . . . 4
15 gsummptshft.m . . . 4
16 gsummptshft.n . . . 4
1714, 15, 16mptfzshft 13573 . . 3
181, 2, 3, 5, 8, 13, 17gsumf1o 16797 . 2 g g
19 elfzelz 11700 . . . . . . . . . 10
2019zcnd 10979 . . . . . . . . 9
2114zcnd 10979 . . . . . . . . 9
22 npcan 9841 . . . . . . . . 9
2320, 21, 22syl2anr 478 . . . . . . . 8
24 simpr 461 . . . . . . . 8
2523, 24eqeltrd 2555 . . . . . . 7
2615, 16jca 532 . . . . . . . . 9
2726adantr 465 . . . . . . . 8
2819adantl 466 . . . . . . . . 9
2914adantr 465 . . . . . . . . 9
3028, 29zsubcld 10983 . . . . . . . 8
31 fzaddel 11730 . . . . . . . 8
3227, 30, 29, 31syl12anc 1226 . . . . . . 7
3325, 32mpbird 232 . . . . . 6
3433ralrimiva 2881 . . . . 5
35 eqidd 2468 . . . . 5
36 eqidd 2468 . . . . 5
3734, 35, 36fmptcos 6067 . . . 4
38 nfv 1683 . . . . . . 7
39 nfv 1683 . . . . . . 7
4038, 39nfan 1875 . . . . . 6
41 nfcv 2629 . . . . . . 7
4241a1i 11 . . . . . 6
43 ovex 6320 . . . . . . 7
4443a1i 11 . . . . . 6
45 gsummptshft.c . . . . . . 7
4645adantl 466 . . . . . 6
4740, 42, 44, 46csbiedf 3461 . . . . 5
4847mpteq2dva 4539 . . . 4
4937, 48eqtrd 2508 . . 3
5049oveq2d 6311 . 2 g g
5118, 50eqtrd 2508 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wnfc 2615  cvv 3118  csb 3440   cmpt 4511   ccom 5009  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc 9502   caddc 9507   cmin 9817  cz 10876  cfz 11684  cbs 14507  c0g 14712   g cgsu 14713  CMndccmn 16671 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-cntz 16227  df-cmn 16673 This theorem is referenced by:  srgbinomlem4  17066  cpmadugsumlemF  19246
 Copyright terms: Public domain W3C validator