Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsummptres Structured version   Unicode version

Theorem gsummptres 28549
Description: Extend a finite group sum by padding outside with zeroes. Proof generated using OpenAI's proof assistant. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptres.0  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsummptres.1  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummptres.2  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsummptres.3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsummptres.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  B )
gsummptres.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  D ) )  ->  C  =  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsummptres  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( A  i^i  D ) 
|->  C ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, D    x, G    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    .0. ( x)

Proof of Theorem gsummptres
StepHypRef Expression
1 gsummptres.0 . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsummptres.1 . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2423 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 gsummptres.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 gsummptres.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 gsummptres.4 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  B )
7 eqid 2423 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
8 fvex 5889 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
92, 8eqeltri 2507 . . . . 5  |-  .0.  e.  _V
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
117, 5, 6, 10fsuppmptdm 7898 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) finSupp  .0.  )
12 inindif 28143 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  D )  i^i  ( A  \  D ) )  =  (/)
1312a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  i^i  D )  i^i  ( A 
\  D ) )  =  (/) )
14 inundif 3874 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  D )  u.  ( A  \  D ) )  =  A
1514eqcomi 2436 . . . 4  |-  A  =  ( ( A  i^i  D )  u.  ( A 
\  D ) )
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( A  i^i  D )  u.  ( A  \  D ) ) )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 13, 16gsumsplit2 17555 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( A  i^i  D )  |->  C ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( x  e.  ( A  \  D )  |->  C ) ) ) )
18 gsummptres.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  D ) )  ->  C  =  .0.  )
1918mpteq2dva 4508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  \  D ) 
|->  C )  =  ( x  e.  ( A 
\  D )  |->  .0.  ) )
2019oveq2d 6319 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( A  \  D ) 
|->  C ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( A  \  D ) 
|->  .0.  ) ) )
21 cmnmnd 17438 . . . . . . 7  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
224, 21syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
23 diffi 7807 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  D )  e. 
Fin )
245, 23syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  \  D
)  e.  Fin )
252gsumz 16614 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( A  \  D )  e.  Fin )  -> 
( G  gsumg  ( x  e.  ( A  \  D ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
2622, 24, 25syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( A  \  D ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
2720, 26eqtrd 2464 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( A  \  D ) 
|->  C ) )  =  .0.  )
2827oveq2d 6319 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( A  i^i  D )  |->  C ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( x  e.  ( A  \  D )  |->  C ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( A  i^i  D ) 
|->  C ) ) ( +g  `  G )  .0.  ) )
29 infi 7799 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  i^i  D )  e. 
Fin )
305, 29syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  D
)  e.  Fin )
31 inss1 3683 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  D )  C_  A
3231sseli 3461 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  i^i  D )  ->  x  e.  A )
3332, 6sylan2 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  i^i  D ) )  ->  C  e.  B )
3433ralrimiva 2840 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A  i^i  D ) C  e.  B )
351, 4, 30, 34gsummptcl 17592 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  ( A  i^i  D ) 
|->  C ) )  e.  B )
361, 3, 2mndrid 16551 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( G  gsumg  ( x  e.  ( A  i^i  D ) 
|->  C ) )  e.  B )  ->  (
( G  gsumg  ( x  e.  ( A  i^i  D ) 
|->  C ) ) ( +g  `  G )  .0.  )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( A  i^i  D ) 
|->  C ) ) )
3722, 35, 36syl2anc 666 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( A  i^i  D )  |->  C ) ) ( +g  `  G
)  .0.  )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( A  i^i  D ) 
|->  C ) ) )
3828, 37eqtrd 2464 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( x  e.  ( A  i^i  D )  |->  C ) ) ( +g  `  G
) ( G  gsumg  ( x  e.  ( A  \  D )  |->  C ) ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( A  i^i  D ) 
|->  C ) ) )
3917, 38eqtrd 2464 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( G  gsumg  ( x  e.  ( A  i^i  D ) 
|->  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    u. cun 3435    i^i cin 3436   (/)c0 3762    |-> cmpt 4480   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   Fincfn 7575   Basecbs 15114   +g cplusg 15183   0gc0g 15331    gsumg cgsu 15332   Mndcmnd 16528  CMndccmn 17423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-oi 8029  df-card 8376  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-hash 12517  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-cntz 16964  df-cmn 17425
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator