Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsummptnn0fzv Structured version   Unicode version

Theorem gsummptnn0fzv 30982
Description: A final group sum over a function over the nonnegative integers (given as mapping) is equal to a final group sum over a finite interval of nonnegative integers. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptnn0fzv.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsummptnn0fzv.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummptnn0fzv.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsummptnn0fzv.f  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  C  e.  B )
gsummptnn0fzv.s  |-  ( ph  ->  S  e.  NN0 )
gsummptnn0fzv.u  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( S  <  k  ->  C  =  .0.  )
)
Assertion
Ref Expression
gsummptnn0fzv  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  C ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... S ) 
|->  C ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    S, k    .0. , k    ph, k
Allowed substitution hints:    C( k)    G( k)

Proof of Theorem gsummptnn0fzv
StepHypRef Expression
1 nfv 1674 . 2  |-  F/ k
ph
2 gsummptnn0fzv.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 gsummptnn0fzv.0 . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
4 gsummptnn0fzv.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 gsummptnn0fzv.f . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  C  e.  B )
6 gsummptnn0fzv.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  NN0 )
7 gsummptnn0fzv.u . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( S  <  k  ->  C  =  .0.  )
)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7gsummptnn0fz 30981 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  C ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... S ) 
|->  C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   0cc0 9397    < clt 9533   NN0cn0 10694   ...cfz 11558   Basecbs 14296   0gc0g 14501    gsumg cgsu 14502  CMndccmn 16402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7839  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-hash 12225  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-mnd 15538  df-cntz 15958  df-cmn 16404
This theorem is referenced by:  gsummptnn0fzfv  30983  telescgsum  30989  mp2pm2mplem4  31319
  Copyright terms: Public domain W3C validator