MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptnn0fzfv Structured version   Unicode version

Theorem gsummptnn0fzfv 16889
Description: A final group sum over a function over the nonnegative integers (given as mapping to its function values) is equal to a final group sum over a finite interval of nonnegative integers. (Contributed by AV, 10-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptnn0fzfv.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsummptnn0fzfv.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummptnn0fzfv.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsummptnn0fzfv.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( B  ^m  NN0 ) )
gsummptnn0fzfv.s  |-  ( ph  ->  S  e.  NN0 )
gsummptnn0fzfv.u  |-  ( ph  ->  A. x  e.  NN0  ( S  <  x  -> 
( F `  x
)  =  .0.  )
)
Assertion
Ref Expression
gsummptnn0fzfv  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( F `  k ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... S ) 
|->  ( F `  k
) ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    k, F, x    S, k, x    .0. , k, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    B( x)    G( x, k)

Proof of Theorem gsummptnn0fzfv
StepHypRef Expression
1 gsummptnn0fzfv.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsummptnn0fzfv.0 . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsummptnn0fzfv.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 gsummptnn0fzfv.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( B  ^m  NN0 ) )
5 elmapi 7452 . . . 4  |-  ( F  e.  ( B  ^m  NN0 )  ->  F : NN0
--> B )
6 ffvelrn 6030 . . . . 5  |-  ( ( F : NN0 --> B  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( F `  k
)  e.  B )
76ex 434 . . . 4  |-  ( F : NN0 --> B  -> 
( k  e.  NN0  ->  ( F `  k
)  e.  B ) )
84, 5, 73syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  ->  ( F `  k
)  e.  B ) )
98ralrimiv 2879 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( F `  k )  e.  B )
10 gsummptnn0fzfv.s . 2  |-  ( ph  ->  S  e.  NN0 )
11 gsummptnn0fzfv.u . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  NN0  ( S  <  x  -> 
( F `  x
)  =  .0.  )
)
12 breq2 4457 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  ( S  <  x  <->  S  <  k ) )
13 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( x  =  k  ->  ( F `  x )  =  ( F `  k ) )
1413eqeq1d 2469 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
( F `  x
)  =  .0.  <->  ( F `  k )  =  .0.  ) )
1512, 14imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  k  ->  (
( S  <  x  ->  ( F `  x
)  =  .0.  )  <->  ( S  <  k  -> 
( F `  k
)  =  .0.  )
) )
1615cbvralv 3093 . . 3  |-  ( A. x  e.  NN0  ( S  <  x  ->  ( F `  x )  =  .0.  )  <->  A. k  e.  NN0  ( S  < 
k  ->  ( F `  k )  =  .0.  ) )
1711, 16sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( S  <  k  -> 
( F `  k
)  =  .0.  )
)
181, 2, 3, 9, 10, 17gsummptnn0fzv 16888 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( F `  k ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... S ) 
|->  ( F `  k
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   0cc0 9504    < clt 9640   NN0cn0 10807   ...cfz 11684   Basecbs 14507   0gc0g 14712    gsumg cgsu 14713  CMndccmn 16671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-cntz 16227  df-cmn 16673
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator