MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfzsplitl Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem gsummptfzsplitl 17644
Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite set of sequential integers as domain into two parts, , extracting a singleton from the left. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfzsplit.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsummptfzsplit.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsummptfzsplit.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsummptfzsplit.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
gsummptfzsplitl.y  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
gsummptfzsplitl  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  Y ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  Y ) )  .+  ( G 
gsumg  ( k  e.  {
0 }  |->  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    k, N    ph, k
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    G( k)    Y( k)

Proof of Theorem gsummptfzsplitl
StepHypRef Expression
1 gsummptfzsplit.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsummptfzsplit.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 gsummptfzsplit.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 fzfid 12224 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
5 gsummptfzsplitl.y . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  Y  e.  B )
6 incom 3616 . . . 4  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { 0 } )  =  ( { 0 }  i^i  (
1 ... N ) )
76a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... N )  i^i  {
0 } )  =  ( { 0 }  i^i  ( 1 ... N ) ) )
8 1e0p1 11102 . . . . . 6  |-  1  =  ( 0  +  1 )
98oveq1i 6318 . . . . 5  |-  ( 1 ... N )  =  ( ( 0  +  1 ) ... N
)
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  =  ( ( 0  +  1 ) ... N ) )
1110ineq2d 3625 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { 0 }  i^i  ( 1 ... N ) )  =  ( { 0 }  i^i  ( ( 0  +  1 ) ... N ) ) )
12 gsummptfzsplit.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
13 elnn0uz 11220 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
1413biimpi 199 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
15 fzpreddisj 11871 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( {
0 }  i^i  (
( 0  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
1612, 14, 153syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { 0 }  i^i  ( ( 0  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
177, 11, 163eqtrd 2509 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... N )  i^i  {
0 } )  =  (/) )
18 fzpred 11870 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 0 ... N )  =  ( { 0 }  u.  ( ( 0  +  1 ) ... N ) ) )
1912, 14, 183syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( { 0 }  u.  (
( 0  +  1 ) ... N ) ) )
20 uncom 3569 . . . 4  |-  ( { 0 }  u.  (
( 0  +  1 ) ... N ) )  =  ( ( ( 0  +  1 ) ... N )  u.  { 0 } )
21 0p1e1 10743 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
2221oveq1i 6318 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 ) ... N )  =  ( 1 ... N
)
2322uneq1i 3575 . . . 4  |-  ( ( ( 0  +  1 ) ... N )  u.  { 0 } )  =  ( ( 1 ... N )  u.  { 0 } )
2420, 23eqtri 2493 . . 3  |-  ( { 0 }  u.  (
( 0  +  1 ) ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  { 0 } )
2519, 24syl6eq 2521 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( ( 1 ... N )  u.  { 0 } ) )
261, 2, 3, 4, 5, 17, 25gsummptfidmsplit 17641 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  Y ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  Y ) )  .+  ( G 
gsumg  ( k  e.  {
0 }  |->  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    u. cun 3388    i^i cin 3389   (/)c0 3722   {csn 3959    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   NN0cn0 10893   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   Basecbs 15199   +g cplusg 15268    gsumg cgsu 15417  CMndccmn 17508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-cntz 17049  df-cmn 17510
This theorem is referenced by:  srgbinomlem4  17854  chfacfscmulgsum  19961  chfacfpmmulgsum  19965  cpmadugsumlemF  19977
  Copyright terms: Public domain W3C validator