MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfzsplitl Structured version   Unicode version

Theorem gsummptfzsplitl 16932
Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite set of sequential integers as domain into two parts, , extracting a singleton from the left. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfzsplit.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsummptfzsplit.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsummptfzsplit.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsummptfzsplit.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
gsummptfzsplitl.y  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  Y  e.  B )
Assertion
Ref Expression
gsummptfzsplitl  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  Y ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  Y ) )  .+  ( G 
gsumg  ( k  e.  {
0 }  |->  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    B, k    k, N    ph, k
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    G( k)    Y( k)

Proof of Theorem gsummptfzsplitl
StepHypRef Expression
1 gsummptfzsplit.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsummptfzsplit.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
3 gsummptfzsplit.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 fzfid 12065 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
5 gsummptfzsplitl.y . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  Y  e.  B )
6 incom 3676 . . . 4  |-  ( ( 1 ... N )  i^i  { 0 } )  =  ( { 0 }  i^i  (
1 ... N ) )
76a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... N )  i^i  {
0 } )  =  ( { 0 }  i^i  ( 1 ... N ) ) )
8 1e0p1 11014 . . . . . 6  |-  1  =  ( 0  +  1 )
98oveq1i 6291 . . . . 5  |-  ( 1 ... N )  =  ( ( 0  +  1 ) ... N
)
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  =  ( ( 0  +  1 ) ... N ) )
1110ineq2d 3685 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { 0 }  i^i  ( 1 ... N ) )  =  ( { 0 }  i^i  ( ( 0  +  1 ) ... N ) ) )
12 gsummptfzsplit.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
13 elnn0uz 11129 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
1413biimpi 194 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
15 fzpreddisj 11740 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( {
0 }  i^i  (
( 0  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
1612, 14, 153syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { 0 }  i^i  ( ( 0  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
177, 11, 163eqtrd 2488 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... N )  i^i  {
0 } )  =  (/) )
18 fzpred 11739 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 0 ... N )  =  ( { 0 }  u.  ( ( 0  +  1 ) ... N ) ) )
1912, 14, 183syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( { 0 }  u.  (
( 0  +  1 ) ... N ) ) )
20 uncom 3633 . . . 4  |-  ( { 0 }  u.  (
( 0  +  1 ) ... N ) )  =  ( ( ( 0  +  1 ) ... N )  u.  { 0 } )
21 0p1e1 10654 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
2221oveq1i 6291 . . . . 5  |-  ( ( 0  +  1 ) ... N )  =  ( 1 ... N
)
2322uneq1i 3639 . . . 4  |-  ( ( ( 0  +  1 ) ... N )  u.  { 0 } )  =  ( ( 1 ... N )  u.  { 0 } )
2420, 23eqtri 2472 . . 3  |-  ( { 0 }  u.  (
( 0  +  1 ) ... N ) )  =  ( ( 1 ... N )  u.  { 0 } )
2519, 24syl6eq 2500 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( ( 1 ... N )  u.  { 0 } ) )
261, 2, 3, 4, 5, 17, 25gsummptfidmsplit 16929 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... N ) 
|->  Y ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  Y ) )  .+  ( G 
gsumg  ( k  e.  {
0 }  |->  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    u. cun 3459    i^i cin 3460   (/)c0 3770   {csn 4014    |-> cmpt 4495   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498   NN0cn0 10802   ZZ>=cuz 11092   ...cfz 11683   Basecbs 14614   +g cplusg 14679    gsumg cgsu 14820  CMndccmn 16777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-hash 12388  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-cntz 16334  df-cmn 16779
This theorem is referenced by:  srgbinomlem4  17173  chfacfscmulgsum  19339  chfacfpmmulgsum  19343  cpmadugsumlemF  19355
  Copyright terms: Public domain W3C validator