MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfzcl Structured version   Unicode version

Theorem gsummptfzcl 16565
Description: Closure of a finite group sum over a finite set of sequential integers as map. (Contributed by AV, 14-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfzcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsummptfzcl.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
gsummptfzcl.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
gsummptfzcl.i  |-  ( ph  ->  I  =  ( M ... N ) )
gsummptfzcl.e  |-  ( ph  ->  A. i  e.  I  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
gsummptfzcl  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  I  |->  X ) )  e.  B )
Distinct variable groups:    i, I    B, i
Allowed substitution hints:    ph( i)    G( i)    M( i)    N( i)    X( i)

Proof of Theorem gsummptfzcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummptfzcl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2451 . . 3  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 gsummptfzcl.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
4 gsummptfzcl.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
5 gsummptfzcl.e . . . 4  |-  ( ph  ->  A. i  e.  I  X  e.  B )
6 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( i  e.  I  |->  X )  =  ( i  e.  I  |->  X )
76fmpt 5963 . . . . 5  |-  ( A. i  e.  I  X  e.  B  <->  ( i  e.  I  |->  X ) : I --> B )
8 gsummptfzcl.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  =  ( M ... N ) )
98feq2d 5645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  I  |->  X ) : I --> B  <->  ( i  e.  I  |->  X ) : ( M ... N ) --> B ) )
107, 9syl5bb 257 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. i  e.  I  X  e.  B  <->  ( i  e.  I  |->  X ) : ( M ... N ) --> B ) )
115, 10mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I  |->  X ) : ( M ... N ) --> B )
121, 2, 3, 4, 11gsumval2 15615 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  I  |->  X ) )  =  (  seq M ( ( +g  `  G
) ,  ( i  e.  I  |->  X ) ) `  N ) )
135adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  A. i  e.  I  X  e.  B )
1413, 7sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( i  e.  I  |->  X ) : I --> B )
158eqcomd 2459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  =  I )
1615eleq2d 2521 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( M ... N )  <-> 
x  e.  I ) )
1716biimpa 484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  x  e.  I )
1814, 17ffvelrnd 5943 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( M ... N ) )  ->  ( (
i  e.  I  |->  X ) `  x )  e.  B )
193adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  G  e.  Mnd )
20 simprl 755 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  e.  B )
21 simprr 756 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
221, 2mndcl 15522 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  B )
2319, 20, 21, 22syl3anc 1219 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  B )
244, 18, 23seqcl 11927 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq M ( ( +g  `  G
) ,  ( i  e.  I  |->  X ) ) `  N )  e.  B )
2512, 24eqeltrd 2539 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( i  e.  I  |->  X ) )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795    |-> cmpt 4448   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   ZZ>=cuz 10962   ...cfz 11538    seqcseq 11907   Basecbs 14276   +g cplusg 14340    gsumg cgsu 14481   Mndcmnd 15511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539  df-seq 11908  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-mnd 15517
This theorem is referenced by:  m2detleiblem2  18550
  Copyright terms: Public domain W3C validator