MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfsadd Structured version   Unicode version

Theorem gsummptfsadd 16743
Description: The sum of two group sums expressed as mappings. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Revised by AV, 9-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfsadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsummptfsadd.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummptfsadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsummptfsadd.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsummptfsadd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsummptfsadd.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  B )
gsummptfsadd.d  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  B )
gsummptfsadd.f  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
gsummptfsadd.h  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  A  |->  D ) )
gsummptfsadd.w  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
gsummptfsadd.v  |-  ( ph  ->  H finSupp  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsummptfsadd  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  ( C  .+  D
) ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x    x,  .+
Allowed substitution hints:    C( x)    D( x)    F( x)    G( x)    H( x)    V( x)    .0. ( x)

Proof of Theorem gsummptfsadd
StepHypRef Expression
1 gsummptfsadd.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 gsummptfsadd.c . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  B )
3 gsummptfsadd.d . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  B )
4 gsummptfsadd.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
5 gsummptfsadd.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  A  |->  D ) )
61, 2, 3, 4, 5offval2 6540 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  oF  .+  H )  =  ( x  e.  A  |->  ( C  .+  D
) ) )
76eqcomd 2475 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  .+  D
) )  =  ( F  oF  .+  H ) )
87oveq2d 6300 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  ( C  .+  D
) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) ) )
9 gsummptfsadd.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
10 gsummptfsadd.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
11 gsummptfsadd.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
12 gsummptfsadd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
13 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
142, 13fmptd 6045 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> B )
154feq1d 5717 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F : A --> B 
<->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> B ) )
1614, 15mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
17 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  D )  =  ( x  e.  A  |->  D )
183, 17fmptd 6045 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  D ) : A --> B )
195feq1d 5717 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H : A --> B 
<->  ( x  e.  A  |->  D ) : A --> B ) )
2018, 19mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
21 gsummptfsadd.w . . 3  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
22 gsummptfsadd.v . . 3  |-  ( ph  ->  H finSupp  .0.  )
239, 10, 11, 12, 1, 16, 20, 21, 22gsumadd 16741 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
248, 23eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  ( C  .+  D
) ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    oFcof 6522   finSupp cfsupp 7829   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   0gc0g 14695    gsumg cgsu 14696  CMndccmn 16604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-cntz 16160  df-cmn 16606
This theorem is referenced by:  gsummptfidmadd  16745  srgbinomlem  16997  frlmphl  18607  pm2mpghm  19112  lincsum  32129
  Copyright terms: Public domain W3C validator