MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfsadd Structured version   Unicode version

Theorem gsummptfsadd 17492
Description: The sum of two group sums expressed as mappings. (Contributed by AV, 4-Apr-2019.) (Revised by AV, 9-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfsadd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsummptfsadd.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummptfsadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsummptfsadd.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsummptfsadd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsummptfsadd.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  B )
gsummptfsadd.d  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  B )
gsummptfsadd.f  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
gsummptfsadd.h  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  A  |->  D ) )
gsummptfsadd.w  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
gsummptfsadd.v  |-  ( ph  ->  H finSupp  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsummptfsadd  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  ( C  .+  D
) ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x    x,  .+
Allowed substitution hints:    C( x)    D( x)    F( x)    G( x)    H( x)    V( x)    .0. ( x)

Proof of Theorem gsummptfsadd
StepHypRef Expression
1 gsummptfsadd.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2 gsummptfsadd.c . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  B )
3 gsummptfsadd.d . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  D  e.  B )
4 gsummptfsadd.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
5 gsummptfsadd.h . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  =  ( x  e.  A  |->  D ) )
61, 2, 3, 4, 5offval2 6562 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  oF  .+  H )  =  ( x  e.  A  |->  ( C  .+  D
) ) )
76eqcomd 2437 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( C  .+  D
) )  =  ( F  oF  .+  H ) )
87oveq2d 6321 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  ( C  .+  D
) ) )  =  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) ) )
9 gsummptfsadd.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
10 gsummptfsadd.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
11 gsummptfsadd.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
12 gsummptfsadd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
13 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
142, 13fmptd 6061 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> B )
154feq1d 5732 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F : A --> B 
<->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> B ) )
1614, 15mpbird 235 . . 3  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
17 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  D )  =  ( x  e.  A  |->  D )
183, 17fmptd 6061 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  D ) : A --> B )
195feq1d 5732 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H : A --> B 
<->  ( x  e.  A  |->  D ) : A --> B ) )
2018, 19mpbird 235 . . 3  |-  ( ph  ->  H : A --> B )
21 gsummptfsadd.w . . 3  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
22 gsummptfsadd.v . . 3  |-  ( ph  ->  H finSupp  .0.  )
239, 10, 11, 12, 1, 16, 20, 21, 22gsumadd 17491 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( F  oF  .+  H ) )  =  ( ( G 
gsumg  F )  .+  ( G  gsumg  H ) ) )
248, 23eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  ( C  .+  D
) ) )  =  ( ( G  gsumg  F ) 
.+  ( G  gsumg  H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    oFcof 6543   finSupp cfsupp 7889   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   0gc0g 15297    gsumg cgsu 15298  CMndccmn 17365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-hash 12513  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-cntz 16922  df-cmn 17367
This theorem is referenced by:  gsummptfidmadd  17493  frlmphl  19270  pm2mpghm  19771  lincsum  38982
  Copyright terms: Public domain W3C validator