MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfidmsplitres Structured version   Unicode version

Theorem gsummptfidmsplitres 17149
Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite domain into two parts using restrictions. (Contributed by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfidmsplit.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsummptfidmsplit.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsummptfidmsplit.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsummptfidmsplit.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsummptfidmsplit.y  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Y  e.  B )
gsummptfidmsplit.i  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
gsummptfidmsplit.u  |-  ( ph  ->  A  =  ( C  u.  D ) )
gsummptfidmsplitres.f  |-  F  =  ( k  e.  A  |->  Y )
Assertion
Ref Expression
gsummptfidmsplitres  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  C ) )  .+  ( G 
gsumg  ( F  |`  D ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    C, k    D, k    ph, k
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    F( k)    G( k)    Y( k)

Proof of Theorem gsummptfidmsplitres
StepHypRef Expression
1 gsummptfidmsplit.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2454 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsummptfidmsplit.p . 2  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 gsummptfidmsplit.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 gsummptfidmsplit.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 gsummptfidmsplit.y . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Y  e.  B )
7 gsummptfidmsplitres.f . . 3  |-  F  =  ( k  e.  A  |->  Y )
86, 7fmptd 6031 . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
9 fvex 5858 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
109a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  _V )
117, 5, 6, 10fsuppmptdm 7832 . 2  |-  ( ph  ->  F finSupp  ( 0g `  G ) )
12 gsummptfidmsplit.i . 2  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  D
)  =  (/) )
13 gsummptfidmsplit.u . 2  |-  ( ph  ->  A  =  ( C  u.  D ) )
141, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13gsumsplit 17145 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( ( G  gsumg  ( F  |`  C ) )  .+  ( G 
gsumg  ( F  |`  D ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    u. cun 3459    i^i cin 3460   (/)c0 3783    |-> cmpt 4497    |` cres 4990   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   0gc0g 14929    gsumg cgsu 14930  CMndccmn 16997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-cntz 16554  df-cmn 16999
This theorem is referenced by:  mdetralt  19277  gsumpr  33204
  Copyright terms: Public domain W3C validator