MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptf1o Structured version   Unicode version

Theorem gsummptf1o 17309
Description: Re-index a finite group sum using a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptf1o.x  |-  F/_ x H
gsummptf1o.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsummptf1o.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummptf1o.i  |-  ( x  =  E  ->  C  =  H )
gsummptf1o.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsummptf1o.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsummptf1o.d  |-  ( ph  ->  F  C_  B )
gsummptf1o.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  F )
gsummptf1o.e  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  E  e.  A )
gsummptf1o.h  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E! y  e.  D  x  =  E )
Assertion
Ref Expression
gsummptf1o  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( G  gsumg  ( y  e.  D  |->  H ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B    y, C    x, D, y    x, E    ph, x, y
Allowed substitution hints:    B( y)    C( x)    E( y)    F( x, y)    G( x, y)    H( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem gsummptf1o
StepHypRef Expression
1 gsummptf1o.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsummptf1o.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsummptf1o.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 gsummptf1o.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
5 gsummptf1o.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  C_  B )
65adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  F  C_  B )
7 gsummptf1o.f . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  F )
86, 7sseldd 3442 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  B )
9 eqid 2402 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
108, 9fmptd 6032 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> B )
11 fvex 5858 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
122, 11eqeltri 2486 . . . . 5  |-  .0.  e.  _V
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
149, 4, 8, 13fsuppmptdm 7873 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) finSupp  .0.  )
15 gsummptf1o.e . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  E  e.  A )
1615ralrimiva 2817 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  D  E  e.  A )
17 gsummptf1o.h . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E! y  e.  D  x  =  E )
1817ralrimiva 2817 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  E! y  e.  D  x  =  E )
19 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( y  e.  D  |->  E )  =  ( y  e.  D  |->  E )
2019f1ompt 6030 . . . 4  |-  ( ( y  e.  D  |->  E ) : D -1-1-onto-> A  <->  ( A. y  e.  D  E  e.  A  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  D  x  =  E ) )
2116, 18, 20sylanbrc 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  E ) : D -1-1-onto-> A
)
221, 2, 3, 4, 10, 14, 21gsumf1o 17246 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( G  gsumg  ( ( x  e.  A  |->  C )  o.  ( y  e.  D  |->  E ) ) ) )
23 eqidd 2403 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  E )  =  ( y  e.  D  |->  E ) )
24 eqidd 2403 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
2516, 23, 24fmptcos 6044 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  o.  ( y  e.  D  |->  E ) )  =  ( y  e.  D  |-> 
[_ E  /  x ]_ C ) )
26 nfv 1728 . . . . . 6  |-  F/ x
( ph  /\  y  e.  D )
27 gsummptf1o.x . . . . . . 7  |-  F/_ x H
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  F/_ x H )
29 gsummptf1o.i . . . . . . 7  |-  ( x  =  E  ->  C  =  H )
3029adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  =  E )  ->  C  =  H )
3126, 28, 15, 30csbiedf 3393 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  [_ E  /  x ]_ C  =  H )
3231mpteq2dva 4480 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |-> 
[_ E  /  x ]_ C )  =  ( y  e.  D  |->  H ) )
3325, 32eqtrd 2443 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  o.  ( y  e.  D  |->  E ) )  =  ( y  e.  D  |->  H ) )
3433oveq2d 6293 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( x  e.  A  |->  C )  o.  ( y  e.  D  |->  E ) ) )  =  ( G  gsumg  ( y  e.  D  |->  H ) ) )
3522, 34eqtrd 2443 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( G  gsumg  ( y  e.  D  |->  H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   F/_wnfc 2550   A.wral 2753   E!wreu 2755   _Vcvv 3058   [_csb 3372    C_ wss 3413    |-> cmpt 4452    o. ccom 4826   -1-1-onto->wf1o 5567   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   Fincfn 7553   Basecbs 14839   0gc0g 15052    gsumg cgsu 15053  CMndccmn 17120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-cntz 16677  df-cmn 17122
This theorem is referenced by:  gsummpt2co  28208
  Copyright terms: Public domain W3C validator