MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptf1o Structured version   Unicode version

Theorem gsummptf1o 16776
Description: Re-index a finite group sum using a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptf1o.x  |-  F/_ x H
gsummptf1o.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsummptf1o.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummptf1o.i  |-  ( x  =  E  ->  C  =  H )
gsummptf1o.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsummptf1o.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsummptf1o.d  |-  ( ph  ->  F  C_  B )
gsummptf1o.f  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  F )
gsummptf1o.e  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  E  e.  A )
gsummptf1o.h  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E! y  e.  D  x  =  E )
Assertion
Ref Expression
gsummptf1o  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( G  gsumg  ( y  e.  D  |->  H ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B    y, C    x, D, y    x, E    ph, x, y
Allowed substitution hints:    B( y)    C( x)    E( y)    F( x, y)    G( x, y)    H( x, y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem gsummptf1o
StepHypRef Expression
1 gsummptf1o.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsummptf1o.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsummptf1o.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 gsummptf1o.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
5 gsummptf1o.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  C_  B )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  F  C_  B )
7 gsummptf1o.f . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  F )
86, 7sseldd 3500 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  B )
9 eqid 2462 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
108, 9fmptd 6038 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) : A --> B )
11 fvex 5869 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
122, 11eqeltri 2546 . . . . 5  |-  .0.  e.  _V
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  _V )
149, 4, 8, 13fsuppmptdm 7831 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C ) finSupp  .0.  )
15 gsummptf1o.e . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  E  e.  A )
1615ralrimiva 2873 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  D  E  e.  A )
17 gsummptf1o.h . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E! y  e.  D  x  =  E )
1817ralrimiva 2873 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  E! y  e.  D  x  =  E )
19 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( y  e.  D  |->  E )  =  ( y  e.  D  |->  E )
2019f1ompt 6036 . . . 4  |-  ( ( y  e.  D  |->  E ) : D -1-1-onto-> A  <->  ( A. y  e.  D  E  e.  A  /\  A. x  e.  A  E! y  e.  D  x  =  E ) )
2116, 18, 20sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  E ) : D -1-1-onto-> A
)
221, 2, 3, 4, 10, 14, 21gsumf1o 16710 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( G  gsumg  ( ( x  e.  A  |->  C )  o.  ( y  e.  D  |->  E ) ) ) )
23 eqidd 2463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  E )  =  ( y  e.  D  |->  E ) )
24 eqidd 2463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
2516, 23, 24fmptcos 6049 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  o.  ( y  e.  D  |->  E ) )  =  ( y  e.  D  |-> 
[_ E  /  x ]_ C ) )
26 nfv 1678 . . . . . 6  |-  F/ x
( ph  /\  y  e.  D )
27 gsummptf1o.x . . . . . . 7  |-  F/_ x H
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  F/_ x H )
29 gsummptf1o.i . . . . . . 7  |-  ( x  =  E  ->  C  =  H )
3029adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  D )  /\  x  =  E )  ->  C  =  H )
3126, 28, 15, 30csbiedf 3451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  [_ E  /  x ]_ C  =  H )
3231mpteq2dva 4528 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |-> 
[_ E  /  x ]_ C )  =  ( y  e.  D  |->  H ) )
3325, 32eqtrd 2503 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  o.  ( y  e.  D  |->  E ) )  =  ( y  e.  D  |->  H ) )
3433oveq2d 6293 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( x  e.  A  |->  C )  o.  ( y  e.  D  |->  E ) ) )  =  ( G  gsumg  ( y  e.  D  |->  H ) ) )
3522, 34eqtrd 2503 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( x  e.  A  |->  C ) )  =  ( G  gsumg  ( y  e.  D  |->  H ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   F/_wnfc 2610   A.wral 2809   E!wreu 2811   _Vcvv 3108   [_csb 3430    C_ wss 3471    |-> cmpt 4500    o. ccom 4998   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   Basecbs 14481   0gc0g 14686    gsumg cgsu 14687  CMndccmn 16589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-hash 12363  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-mnd 15723  df-cntz 16145  df-cmn 16591
This theorem is referenced by:  gsummpt2co  27422
  Copyright terms: Public domain W3C validator