MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummpt1n0 Structured version   Unicode version

Theorem gsummpt1n0 17188
Description: If only one summand in a finite group sum is not zero, the whole sum equals this summand. More general version of gsummptif1n0 17189. (Contributed by AV, 11-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummpt1n0.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummpt1n0.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
gsummpt1n0.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
gsummpt1n0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
gsummpt1n0.f  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
gsummpt1n0.a  |-  ( ph  ->  A. n  e.  I  A  e.  ( Base `  G ) )
Assertion
Ref Expression
gsummpt1n0  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  [_ X  /  n ]_ A
)
Distinct variable groups:    n, G    n, I    n, X    ph, n    .0. ,
n
Allowed substitution hints:    A( n)    F( n)    W( n)

Proof of Theorem gsummpt1n0
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 gsummpt1n0.0 . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsummpt1n0.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
4 gsummpt1n0.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 gsummpt1n0.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
6 gsummpt1n0.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  I  A  e.  ( Base `  G ) )
76r19.21bi 2823 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  A  e.  ( Base `  G
) )
81, 2mndidcl 16137 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
93, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
109adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
117, 10ifcld 3972 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  e.  ( Base `  G
) )
12 gsummpt1n0.f . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
1311, 12fmptd 6031 . . 3  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  G ) )
1412oveq1i 6280 . . . 4  |-  ( F supp 
.0.  )  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) supp  .0.  )
15 eldifsni 4142 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( I  \  { X } )  ->  n  =/=  X )
1615adantl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  n  =/=  X )
17 ifnefalse 3941 . . . . . 6  |-  ( n  =/=  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
1918, 4suppss2 6926 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_  { X }
)
2014, 19syl5eqss 3533 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_ 
{ X } )
211, 2, 3, 4, 5, 13, 20gsumpt 17184 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( F `  X ) )
22 rspcsbela 3845 . . . 4  |-  ( ( X  e.  I  /\  A. n  e.  I  A  e.  ( Base `  G
) )  ->  [_ X  /  n ]_ A  e.  ( Base `  G
) )
235, 6, 22syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  [_ X  /  n ]_ A  e.  ( Base `  G ) )
24 iftrue 3935 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  [_ y  /  n ]_ A ,  .0.  )  =  [_ y  /  n ]_ A )
25 csbeq1 3423 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  [_ y  /  n ]_ A  = 
[_ X  /  n ]_ A )
2624, 25eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  [_ y  /  n ]_ A ,  .0.  )  =  [_ X  /  n ]_ A )
27 nfcv 2616 . . . . . 6  |-  F/_ y if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
28 nfv 1712 . . . . . . 7  |-  F/ n  y  =  X
29 nfcsb1v 3436 . . . . . . 7  |-  F/_ n [_ y  /  n ]_ A
30 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ n  .0.
3128, 29, 30nfif 3958 . . . . . 6  |-  F/_ n if ( y  =  X ,  [_ y  /  n ]_ A ,  .0.  )
32 eqeq1 2458 . . . . . . 7  |-  ( n  =  y  ->  (
n  =  X  <->  y  =  X ) )
33 csbeq1a 3429 . . . . . . 7  |-  ( n  =  y  ->  A  =  [_ y  /  n ]_ A )
3432, 33ifbieq1d 3952 . . . . . 6  |-  ( n  =  y  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  if ( y  =  X ,  [_ y  /  n ]_ A ,  .0.  ) )
3527, 31, 34cbvmpt 4529 . . . . 5  |-  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
)  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  [_ y  /  n ]_ A ,  .0.  )
)
3612, 35eqtri 2483 . . . 4  |-  F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  [_ y  /  n ]_ A ,  .0.  ) )
3726, 36fvmptg 5929 . . 3  |-  ( ( X  e.  I  /\  [_ X  /  n ]_ A  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( F `  X
)  =  [_ X  /  n ]_ A )
385, 23, 37syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  [_ X  /  n ]_ A )
3921, 38eqtrd 2495 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  [_ X  /  n ]_ A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   [_csb 3420    \ cdif 3458   ifcif 3929   {csn 4016    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   supp csupp 6891   Basecbs 14716   0gc0g 14929    gsumg cgsu 14930   Mndcmnd 16118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-hash 12388  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999
This theorem is referenced by:  gsummptif1n0  17189  gsummoncoe1  18541  scmatscm  19182  idpm2idmp  19469  mp2pm2mplem4  19477  monmat2matmon  19492
  Copyright terms: Public domain W3C validator