Theorem gsummpt1n0 17608

Description: If only one summand in a finite group sum is not zero, the whole sum equals this summand. More general version of gsummptif1n0 17609. (Contributed by AV, 11-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummpt1n0.0	|- .0. = ( 0g ` G )
gsummpt1n0.g	|- ( ph -> G e. Mnd )
gsummpt1n0.i	|- ( ph -> I e. W )
gsummpt1n0.x	|- ( ph -> X e. I )
gsummpt1n0.f	|- F = ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) )
gsummpt1n0.a	|- ( ph -> A. n e. I A e. ( Base ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
gsummpt1n0	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = [_ X / n ]_ A )

Distinct variable groups:   n, G   n, I   n, X   ph, n   .0. , n

Allowed substitution hints:   A( n)   F( n)   W( n)

Proof of Theorem gsummpt1n0

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2452	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		gsummpt1n0.0	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
3		gsummpt1n0.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Mnd )
4		gsummpt1n0.i	. . 3 |- ( ph -> I e. W )
5		gsummpt1n0.x	. . 3 |- ( ph -> X e. I )
6		gsummpt1n0.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. I A e. ( Base ` G ) )
7	6	r19.21bi 2757	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> A e. ( Base ` G ) )
8	1, 2	mndidcl 16565	. . . . . . 7 |- ( G e. Mnd -> .0. e. ( Base ` G ) )
9	3, 8	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> .0. e. ( Base ` G ) )
10	9	adantr 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
11	7, 10	ifcld 3892	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> if ( n = X , A , .0. ) e. ( Base ` G ) )
12		gsummpt1n0.f	. . . 4 |- F = ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) )
13	11, 12	fmptd 6030	. . 3 |- ( ph -> F : I --> ( Base ` G ) )
14	12	oveq1i 6286	. . . 4 |- ( F supp .0. ) = ( ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) supp .0. )
15		eldifsni 4067	. . . . . . 7 |- ( n e. ( I \ { X } ) -> n =/= X )
16	15	adantl 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( I \ { X } ) ) -> n =/= X )
17		ifnefalse 3861	. . . . . 6 |- ( n =/= X -> if ( n = X , A , .0. ) = .0. )
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( I \ { X } ) ) -> if ( n = X , A , .0. ) = .0. )
19	18, 4	suppss2 6937	. . . 4 |- ( ph -> ( ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) supp .0. ) C_ { X } )
20	14, 19	syl5eqss 3444	. . 3 |- ( ph -> ( F supp .0. ) C_ { X } )
21	1, 2, 3, 4, 5, 13, 20	gsumpt 17605	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( F ` X ) )
22		rspcsbela 3763	. . . 4 |- ( ( X e. I /\ A. n e. I A e. ( Base ` G ) ) -> [_ X / n ]_ A e. ( Base ` G ) )
23	5, 6, 22	syl2anc 671	. . 3 |- ( ph -> [_ X / n ]_ A e. ( Base ` G ) )
24		iftrue 3855	. . . . 5 |- ( y = X -> if ( y = X , [_ y / n ]_ A , .0. ) = [_ y / n ]_ A )
25		csbeq1 3334	. . . . 5 |- ( y = X -> [_ y / n ]_ A = [_ X / n ]_ A )
26	24, 25	eqtrd 2486	. . . 4 |- ( y = X -> if ( y = X , [_ y / n ]_ A , .0. ) = [_ X / n ]_ A )
27		nfcv 2593	. . . . . 6 |- F/_ y if ( n = X , A , .0. )
28		nfv 1765	. . . . . . 7 |- F/ n y = X
29		nfcsb1v 3347	. . . . . . 7 |- F/_ n [_ y / n ]_ A
30		nfcv 2593	. . . . . . 7 |- F/_ n .0.
31	28, 29, 30	nfif 3878	. . . . . 6 |- F/_ n if ( y = X , [_ y / n ]_ A , .0. )
32		eqeq1 2456	. . . . . . 7 |- ( n = y -> ( n = X <-> y = X ) )
33		csbeq1a 3340	. . . . . . 7 |- ( n = y -> A = [_ y / n ]_ A )
34	32, 33	ifbieq1d 3872	. . . . . 6 |- ( n = y -> if ( n = X , A , .0. ) = if ( y = X , [_ y / n ]_ A , .0. ) )
35	27, 31, 34	cbvmpt 4466	. . . . 5 |- ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) = ( y e. I |-> if ( y = X , [_ y / n ]_ A , .0. ) )
36	12, 35	eqtri 2474	. . . 4 |- F = ( y e. I |-> if ( y = X , [_ y / n ]_ A , .0. ) )
37	26, 36	fvmptg 5930	. . 3 |- ( ( X e. I /\ [_ X / n ]_ A e. ( Base ` G ) ) -> ( F ` X ) = [_ X / n ]_ A )
38	5, 23, 37	syl2anc 671	. 2 |- ( ph -> ( F ` X ) = [_ X / n ]_ A )
39	21, 38	eqtrd 2486	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = [_ X / n ]_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1448   e. wcel 1891   =/= wne 2622   A.wral 2737   [_csb 3331   \ cdif 3369   ifcif 3849   {csn 3936   |-> cmpt 4433   ` cfv 5561  (class class class)co 6276   supp csupp 6902   Basecbs 15132   0gc0g 15349   gsum_g cgsu 15350   Mndcmnd 16546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571  ax-inf2 8133  ax-cnex 9582  ax-resscn 9583  ax-1cn 9584  ax-icn 9585  ax-addcl 9586  ax-addrcl 9587  ax-mulcl 9588  ax-mulrcl 9589  ax-mulcom 9590  ax-addass 9591  ax-mulass 9592  ax-distr 9593  ax-i2m1 9594  ax-1ne0 9595  ax-1rid 9596  ax-rnegex 9597  ax-rrecex 9598  ax-cnre 9599  ax-pre-lttri 9600  ax-pre-lttrn 9601  ax-pre-ltadd 9602  ax-pre-mulgt0 9603

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1451  df-fal 1454  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4169  df-int 4205  df-iun 4250  df-iin 4251  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-tr 4470  df-eprel 4723  df-id 4727  df-po 4733  df-so 4734  df-fr 4771  df-se 4772  df-we 4773  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-pred 5359  df-ord 5405  df-on 5406  df-lim 5407  df-suc 5408  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-isom 5570  df-riota 6238  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-om 6681  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6903  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7871  df-oi 8012  df-card 8360  df-pnf 9664  df-mnf 9665  df-xr 9666  df-ltxr 9667  df-le 9668  df-sub 9849  df-neg 9850  df-nn 10599  df-2 10657  df-n0 10860  df-z 10928  df-uz 11150  df-fz 11776  df-fzo 11909  df-seq 12208  df-hash 12510  df-ndx 15135  df-slot 15136  df-base 15137  df-sets 15138  df-ress 15139  df-plusg 15214  df-0g 15351  df-gsum 15352  df-mre 15503  df-mrc 15504  df-acs 15506  df-mgm 16499  df-sgrp 16538  df-mnd 16548  df-submnd 16594  df-mulg 16687  df-cntz 16982  df-cmn 17443

This theorem is referenced by:  gsummptif1n0  17609  gsummoncoe1  18909  scmatscm  19549  idpm2idmp  19836  mp2pm2mplem4  19844  monmat2matmon  19859