MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummpt1n0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem gsummpt1n0 17608
Description: If only one summand in a finite group sum is not zero, the whole sum equals this summand. More general version of gsummptif1n0 17609. (Contributed by AV, 11-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummpt1n0.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummpt1n0.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
gsummpt1n0.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
gsummpt1n0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
gsummpt1n0.f  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
gsummpt1n0.a  |-  ( ph  ->  A. n  e.  I  A  e.  ( Base `  G ) )
Assertion
Ref Expression
gsummpt1n0  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  [_ X  /  n ]_ A
)
Distinct variable groups:    n, G    n, I    n, X    ph, n    .0. ,
n
Allowed substitution hints:    A( n)    F( n)    W( n)

Proof of Theorem gsummpt1n0
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2452 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 gsummpt1n0.0 . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsummpt1n0.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
4 gsummpt1n0.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 gsummpt1n0.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
6 gsummpt1n0.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  I  A  e.  ( Base `  G ) )
76r19.21bi 2757 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  A  e.  ( Base `  G
) )
81, 2mndidcl 16565 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
93, 8syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
109adantr 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
117, 10ifcld 3892 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  e.  ( Base `  G
) )
12 gsummpt1n0.f . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
1311, 12fmptd 6030 . . 3  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  G ) )
1412oveq1i 6286 . . . 4  |-  ( F supp 
.0.  )  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) supp  .0.  )
15 eldifsni 4067 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( I  \  { X } )  ->  n  =/=  X )
1615adantl 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  n  =/=  X )
17 ifnefalse 3861 . . . . . 6  |-  ( n  =/=  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
1816, 17syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
1918, 4suppss2 6937 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_  { X }
)
2014, 19syl5eqss 3444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_ 
{ X } )
211, 2, 3, 4, 5, 13, 20gsumpt 17605 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( F `  X ) )
22 rspcsbela 3763 . . . 4  |-  ( ( X  e.  I  /\  A. n  e.  I  A  e.  ( Base `  G
) )  ->  [_ X  /  n ]_ A  e.  ( Base `  G
) )
235, 6, 22syl2anc 671 . . 3  |-  ( ph  ->  [_ X  /  n ]_ A  e.  ( Base `  G ) )
24 iftrue 3855 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  [_ y  /  n ]_ A ,  .0.  )  =  [_ y  /  n ]_ A )
25 csbeq1 3334 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  [_ y  /  n ]_ A  = 
[_ X  /  n ]_ A )
2624, 25eqtrd 2486 . . . 4  |-  ( y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  [_ y  /  n ]_ A ,  .0.  )  =  [_ X  /  n ]_ A )
27 nfcv 2593 . . . . . 6  |-  F/_ y if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
28 nfv 1765 . . . . . . 7  |-  F/ n  y  =  X
29 nfcsb1v 3347 . . . . . . 7  |-  F/_ n [_ y  /  n ]_ A
30 nfcv 2593 . . . . . . 7  |-  F/_ n  .0.
3128, 29, 30nfif 3878 . . . . . 6  |-  F/_ n if ( y  =  X ,  [_ y  /  n ]_ A ,  .0.  )
32 eqeq1 2456 . . . . . . 7  |-  ( n  =  y  ->  (
n  =  X  <->  y  =  X ) )
33 csbeq1a 3340 . . . . . . 7  |-  ( n  =  y  ->  A  =  [_ y  /  n ]_ A )
3432, 33ifbieq1d 3872 . . . . . 6  |-  ( n  =  y  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  if ( y  =  X ,  [_ y  /  n ]_ A ,  .0.  ) )
3527, 31, 34cbvmpt 4466 . . . . 5  |-  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
)  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  [_ y  /  n ]_ A ,  .0.  )
)
3612, 35eqtri 2474 . . . 4  |-  F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  [_ y  /  n ]_ A ,  .0.  ) )
3726, 36fvmptg 5930 . . 3  |-  ( ( X  e.  I  /\  [_ X  /  n ]_ A  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( F `  X
)  =  [_ X  /  n ]_ A )
385, 23, 37syl2anc 671 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  [_ X  /  n ]_ A )
3921, 38eqtrd 2486 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  [_ X  /  n ]_ A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1448    e. wcel 1891    =/= wne 2622   A.wral 2737   [_csb 3331    \ cdif 3369   ifcif 3849   {csn 3936    |-> cmpt 4433   ` cfv 5561  (class class class)co 6276   supp csupp 6902   Basecbs 15132   0gc0g 15349    gsumg cgsu 15350   Mndcmnd 16546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571  ax-inf2 8133  ax-cnex 9582  ax-resscn 9583  ax-1cn 9584  ax-icn 9585  ax-addcl 9586  ax-addrcl 9587  ax-mulcl 9588  ax-mulrcl 9589  ax-mulcom 9590  ax-addass 9591  ax-mulass 9592  ax-distr 9593  ax-i2m1 9594  ax-1ne0 9595  ax-1rid 9596  ax-rnegex 9597  ax-rrecex 9598  ax-cnre 9599  ax-pre-lttri 9600  ax-pre-lttrn 9601  ax-pre-ltadd 9602  ax-pre-mulgt0 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1451  df-fal 1454  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4169  df-int 4205  df-iun 4250  df-iin 4251  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-tr 4470  df-eprel 4723  df-id 4727  df-po 4733  df-so 4734  df-fr 4771  df-se 4772  df-we 4773  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-pred 5359  df-ord 5405  df-on 5406  df-lim 5407  df-suc 5408  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-isom 5570  df-riota 6238  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-om 6681  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6903  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7871  df-oi 8012  df-card 8360  df-pnf 9664  df-mnf 9665  df-xr 9666  df-ltxr 9667  df-le 9668  df-sub 9849  df-neg 9850  df-nn 10599  df-2 10657  df-n0 10860  df-z 10928  df-uz 11150  df-fz 11776  df-fzo 11909  df-seq 12208  df-hash 12510  df-ndx 15135  df-slot 15136  df-base 15137  df-sets 15138  df-ress 15139  df-plusg 15214  df-0g 15351  df-gsum 15352  df-mre 15503  df-mrc 15504  df-acs 15506  df-mgm 16499  df-sgrp 16538  df-mnd 16548  df-submnd 16594  df-mulg 16687  df-cntz 16982  df-cmn 17443
This theorem is referenced by:  gsummptif1n0  17609  gsummoncoe1  18909  scmatscm  19549  idpm2idmp  19836  mp2pm2mplem4  19844  monmat2matmon  19859
  Copyright terms: Public domain W3C validator