Theorem gsummpt1n0 16579

Description: If only one summand in a finite group sum is not zero, the whole sum equals this summand. More general version of gsummptif1n0 16580. (Contributed by AV, 11-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummpt1n0.0	|- .0. = ( 0g ` G )
gsummpt1n0.g	|- ( ph -> G e. Mnd )
gsummpt1n0.i	|- ( ph -> I e. W )
gsummpt1n0.x	|- ( ph -> X e. I )
gsummpt1n0.f	|- F = ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) )
gsummpt1n0.a	|- ( ph -> A. n e. I A e. ( Base ` G ) )

Assertion

Ref	Expression
gsummpt1n0	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = [_ X / n ]_ A )

Distinct variable groups:   n, G   n, I   n, X   ph, n   .0. , n

Allowed substitution hints:   A( n)   F( n)   W( n)

Proof of Theorem gsummpt1n0

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2454	. . 3 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		gsummpt1n0.0	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
3		gsummpt1n0.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Mnd )
4		gsummpt1n0.i	. . 3 |- ( ph -> I e. W )
5		gsummpt1n0.x	. . 3 |- ( ph -> X e. I )
6		gsummpt1n0.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. I A e. ( Base ` G ) )
7	6	r19.21bi 2920	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> A e. ( Base ` G ) )
8	1, 2	mndidcl 15559	. . . . . . 7 |- ( G e. Mnd -> .0. e. ( Base ` G ) )
9	3, 8	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> .0. e. ( Base ` G ) )
10	9	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
11	7, 10	ifcld 3941	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. I ) -> if ( n = X , A , .0. ) e. ( Base ` G ) )
12		gsummpt1n0.f	. . . 4 |- F = ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) )
13	11, 12	fmptd 5977	. . 3 |- ( ph -> F : I --> ( Base ` G ) )
14	12	oveq1i 6211	. . . 4 |- ( F supp .0. ) = ( ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) supp .0. )
15		eldifsni 4110	. . . . . . 7 |- ( n e. ( I \ { X } ) -> n =/= X )
16	15	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( I \ { X } ) ) -> n =/= X )
17		ifnefalse 3910	. . . . . 6 |- ( n =/= X -> if ( n = X , A , .0. ) = .0. )
18	16, 17	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( I \ { X } ) ) -> if ( n = X , A , .0. ) = .0. )
19	18, 4	suppss2 6834	. . . 4 |- ( ph -> ( ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) supp .0. ) C_ { X } )
20	14, 19	syl5eqss 3509	. . 3 |- ( ph -> ( F supp .0. ) C_ { X } )
21	1, 2, 3, 4, 5, 13, 20	gsumpt 16577	. 2 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( F ` X ) )
22		rspcsbela 3814	. . . 4 |- ( ( X e. I /\ A. n e. I A e. ( Base ` G ) ) -> [_ X / n ]_ A e. ( Base ` G ) )
23	5, 6, 22	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> [_ X / n ]_ A e. ( Base ` G ) )
24		iftrue 3906	. . . . 5 |- ( y = X -> if ( y = X , [_ y / n ]_ A , .0. ) = [_ y / n ]_ A )
25		csbeq1 3399	. . . . 5 |- ( y = X -> [_ y / n ]_ A = [_ X / n ]_ A )
26	24, 25	eqtrd 2495	. . . 4 |- ( y = X -> if ( y = X , [_ y / n ]_ A , .0. ) = [_ X / n ]_ A )
27		nfcv 2616	. . . . . 6 |- F/_ y if ( n = X , A , .0. )
28		nfv 1674	. . . . . . 7 |- F/ n y = X
29		nfcsb1v 3412	. . . . . . 7 |- F/_ n [_ y / n ]_ A
30		nfcv 2616	. . . . . . 7 |- F/_ n .0.
31	28, 29, 30	nfif 3927	. . . . . 6 |- F/_ n if ( y = X , [_ y / n ]_ A , .0. )
32		eqeq1 2458	. . . . . . 7 |- ( n = y -> ( n = X <-> y = X ) )
33		csbeq1a 3405	. . . . . . 7 |- ( n = y -> A = [_ y / n ]_ A )
34	32, 33	ifbieq1d 3921	. . . . . 6 |- ( n = y -> if ( n = X , A , .0. ) = if ( y = X , [_ y / n ]_ A , .0. ) )
35	27, 31, 34	cbvmpt 4491	. . . . 5 |- ( n e. I |-> if ( n = X , A , .0. ) ) = ( y e. I |-> if ( y = X , [_ y / n ]_ A , .0. ) )
36	12, 35	eqtri 2483	. . . 4 |- F = ( y e. I |-> if ( y = X , [_ y / n ]_ A , .0. ) )
37	26, 36	fvmptg 5882	. . 3 |- ( ( X e. I /\ [_ X / n ]_ A e. ( Base ` G ) ) -> ( F ` X ) = [_ X / n ]_ A )
38	5, 23, 37	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( F ` X ) = [_ X / n ]_ A )
39	21, 38	eqtrd 2495	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = [_ X / n ]_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   A.wral 2799   [_csb 3396   \ cdif 3434   ifcif 3900   {csn 3986   |-> cmpt 4459   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   supp csupp 6801   Basecbs 14293   0gc0g 14498   gsum_g cgsu 14499   Mndcmnd 15529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-hash 12222  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-mulg 15668  df-cntz 15955  df-cmn 16401

This theorem is referenced by:  gsummptif1n0  16580  gsummoncoe1  30997  idpm2idmp  31289  mp2pm2mplem4  31297  monmat2matmon  31311