MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummpt1n0 Structured version   Unicode version

Theorem gsummpt1n0 16579
Description: If only one summand in a finite group sum is not zero, the whole sum equals this summand. More general version of gsummptif1n0 16580. (Contributed by AV, 11-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummpt1n0.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummpt1n0.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
gsummpt1n0.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
gsummpt1n0.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
gsummpt1n0.f  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
gsummpt1n0.a  |-  ( ph  ->  A. n  e.  I  A  e.  ( Base `  G ) )
Assertion
Ref Expression
gsummpt1n0  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  [_ X  /  n ]_ A
)
Distinct variable groups:    n, G    n, I    n, X    ph, n    .0. ,
n
Allowed substitution hints:    A( n)    F( n)    W( n)

Proof of Theorem gsummpt1n0
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 gsummpt1n0.0 . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsummpt1n0.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
4 gsummpt1n0.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 gsummpt1n0.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
6 gsummpt1n0.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  I  A  e.  ( Base `  G ) )
76r19.21bi 2920 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  A  e.  ( Base `  G
) )
81, 2mndidcl 15559 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
93, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
117, 10ifcld 3941 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  I )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  e.  ( Base `  G
) )
12 gsummpt1n0.f . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) )
1311, 12fmptd 5977 . . 3  |-  ( ph  ->  F : I --> ( Base `  G ) )
1412oveq1i 6211 . . . 4  |-  ( F supp 
.0.  )  =  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) supp  .0.  )
15 eldifsni 4110 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( I  \  { X } )  ->  n  =/=  X )
1615adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  n  =/=  X )
17 ifnefalse 3910 . . . . . 6  |-  ( n  =/=  X  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
1816, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
1918, 4suppss2 6834 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  ) ) supp  .0.  )  C_  { X }
)
2014, 19syl5eqss 3509 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F supp  .0.  )  C_ 
{ X } )
211, 2, 3, 4, 5, 13, 20gsumpt 16577 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( F `  X ) )
22 rspcsbela 3814 . . . 4  |-  ( ( X  e.  I  /\  A. n  e.  I  A  e.  ( Base `  G
) )  ->  [_ X  /  n ]_ A  e.  ( Base `  G
) )
235, 6, 22syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  [_ X  /  n ]_ A  e.  ( Base `  G ) )
24 iftrue 3906 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  [_ y  /  n ]_ A ,  .0.  )  =  [_ y  /  n ]_ A )
25 csbeq1 3399 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  [_ y  /  n ]_ A  = 
[_ X  /  n ]_ A )
2624, 25eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  [_ y  /  n ]_ A ,  .0.  )  =  [_ X  /  n ]_ A )
27 nfcv 2616 . . . . . 6  |-  F/_ y if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
28 nfv 1674 . . . . . . 7  |-  F/ n  y  =  X
29 nfcsb1v 3412 . . . . . . 7  |-  F/_ n [_ y  /  n ]_ A
30 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ n  .0.
3128, 29, 30nfif 3927 . . . . . 6  |-  F/_ n if ( y  =  X ,  [_ y  /  n ]_ A ,  .0.  )
32 eqeq1 2458 . . . . . . 7  |-  ( n  =  y  ->  (
n  =  X  <->  y  =  X ) )
33 csbeq1a 3405 . . . . . . 7  |-  ( n  =  y  ->  A  =  [_ y  /  n ]_ A )
3432, 33ifbieq1d 3921 . . . . . 6  |-  ( n  =  y  ->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )  =  if ( y  =  X ,  [_ y  /  n ]_ A ,  .0.  ) )
3527, 31, 34cbvmpt 4491 . . . . 5  |-  ( n  e.  I  |->  if ( n  =  X ,  A ,  .0.  )
)  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  [_ y  /  n ]_ A ,  .0.  )
)
3612, 35eqtri 2483 . . . 4  |-  F  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  [_ y  /  n ]_ A ,  .0.  ) )
3726, 36fvmptg 5882 . . 3  |-  ( ( X  e.  I  /\  [_ X  /  n ]_ A  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( F `  X
)  =  [_ X  /  n ]_ A )
385, 23, 37syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  =  [_ X  /  n ]_ A )
3921, 38eqtrd 2495 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  [_ X  /  n ]_ A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   [_csb 3396    \ cdif 3434   ifcif 3900   {csn 3986    |-> cmpt 4459   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   supp csupp 6801   Basecbs 14293   0gc0g 14498    gsumg cgsu 14499   Mndcmnd 15529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-hash 12222  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-mulg 15668  df-cntz 15955  df-cmn 16401
This theorem is referenced by:  gsummptif1n0  16580  gsummoncoe1  30997  idpm2idmp  31289  mp2pm2mplem4  31297  monmat2matmon  31311
  Copyright terms: Public domain W3C validator