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Theorem gsummoncoe1 30848
Description: A coefficient of the polynomial represented as sum of monomials is the coefficient of the corresponding monomial. (Contributed by AV, 13-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummonply1.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
gsummonply1.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
gsummonply1.x  |-  X  =  (var1 `  R )
gsummonply1.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
gsummonply1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
gsummonply1.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
gsummonply1.m  |-  .*  =  ( .s `  P )
gsummonply1.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsummonply1.a  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  A  e.  K )
gsummonply1.f  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  |->  A ) finSupp  .0.  )
gsummonply1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
gsummoncoe1  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  [_ L  /  k ]_ A
)
Distinct variable groups:    B, k    k, K    ph, k    .* , k    k, L    P, k    R, k    .0. , k    .^ , k
Allowed substitution hints:    A( k)    X( k)

Proof of Theorem gsummoncoe1
Dummy variables  n  s  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummonply1.f . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  |->  A ) finSupp  .0.  )
2 gsummonply1.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  A  e.  K )
32r19.21bi 2819 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  K )
4 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  |->  A )  =  ( k  e. 
NN0  |->  A )
53, 4fmptd 5872 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  |->  A ) : NN0 --> K )
6 gsummonply1.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  R
)
7 fvex 5706 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
86, 7eqeltri 2513 . . . . . . 7  |-  K  e. 
_V
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
10 nn0ex 10590 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
11 elmapg 7232 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  _V  /\  NN0 
e.  _V )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  A )  e.  ( K  ^m  NN0 )  <->  ( k  e.  NN0  |->  A ) : NN0 --> K ) )
129, 10, 11sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A )  e.  ( K  ^m  NN0 ) 
<->  ( k  e.  NN0  |->  A ) : NN0 --> K ) )
135, 12mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  |->  A )  e.  ( K  ^m  NN0 )
)
14 gsummonply1.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
15 fvex 5706 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1614, 15eqeltri 2513 . . . 4  |-  .0.  e.  _V
17 fsuppmapnn0ub 30801 . . . 4  |-  ( ( ( k  e.  NN0  |->  A )  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  .0.  e.  _V )  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A ) finSupp  .0.  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  A ) `  x
)  =  .0.  )
) )
1813, 16, 17sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A ) finSupp  .0.  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  A ) `  x
)  =  .0.  )
) )
191, 18mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  A ) `  x
)  =  .0.  )
)
20 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  x  e.  NN0 )
212ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN0  A  e.  K
)
22 rspcsbela 3710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  A. k  e.  NN0  A  e.  K )  ->  [_ x  /  k ]_ A  e.  K )
2320, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  [_ x  /  k ]_ A  e.  K )
244fvmpts 5781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  [_ x  /  k ]_ A  e.  K )  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A ) `  x )  =  [_ x  /  k ]_ A
)
2520, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  A ) `  x
)  =  [_ x  /  k ]_ A
)
2625eqeq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( ( k  e. 
NN0  |->  A ) `  x )  =  .0.  <->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)
2726imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( s  <  x  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A ) `  x )  =  .0.  )  <->  ( s  < 
x  ->  [_ x  / 
k ]_ A  =  .0.  ) ) )
2827biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( s  <  x  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A ) `  x )  =  .0.  )  ->  ( s  <  x  ->  [_ x  / 
k ]_ A  =  .0.  ) ) )
2928ralimdva 2799 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
( k  e.  NN0  |->  A ) `  x
)  =  .0.  )  ->  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) ) )
30 nfv 1673 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( ph  /\  s  e.  NN0 )
31 nfcv 2584 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k NN0
32 nfv 1673 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k  s  <  x
33 nfcsb1v 3309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ A
3433nfeq1 2593 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
[_ x  /  k ]_ A  =  .0.
3532, 34nfim 1853 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
3631, 35nfral 2774 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
3730, 36nfan 1861 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)
38 gsummonply1.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  P
)
39 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
40 gsummonply1.r . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
41 gsummonply1.p . . . . . . . . . . . 12  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4241ply1rng 17708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
43 rngcmn 16680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
4440, 42, 433syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e. CMnd )
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  P  e. CMnd )
46 gsummonply1.x . . . . . . . . . . . . . 14  |-  X  =  (var1 `  R )
47 gsummonply1.e . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
48 gsummonply1.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .*  =  ( .s `  P )
4941, 38, 46, 47, 40, 6, 48smon1ply1 30846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 
/\  A  e.  K
)  ->  ( A  .*  ( k  .^  X
) )  e.  B
)
50493expia 1189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A  e.  K  ->  ( A  .*  ( k  .^  X ) )  e.  B ) )
5150ralimdva 2799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. k  e. 
NN0  A  e.  K  ->  A. k  e.  NN0  ( A  .*  (
k  .^  X )
)  e.  B ) )
522, 51mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( A  .*  (
k  .^  X )
)  e.  B )
5352ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( A  .*  (
k  .^  X )
)  e.  B )
54 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
s  e.  NN0 )
55 nfv 1673 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( s  <  k  ->  [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  )
56 breq2 4301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  (
s  <  x  <->  s  <  k ) )
57 csbeq1 3296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  k  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  [_ k  /  k ]_ A )
5857eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  ( [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  <->  [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  ) )
5956, 58imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  k  ->  (
( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) 
<->  ( s  <  k  ->  [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  ) ) )
6035, 55, 59cbvral 2948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )  <->  A. k  e.  NN0  ( s  < 
k  ->  [_ k  / 
k ]_ A  =  .0.  ) )
61 csbid 3301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ k  /  k ]_ A  =  A
6261eqeq1i 2450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  <->  A  =  .0.  )
63 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =  .0.  ->  ( A  .*  ( k  .^  X ) )  =  (  .0.  .*  (
k  .^  X )
) )
6441ply1sca 17713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
6540, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
6665fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  P )
) )
6714, 66syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  (Scalar `  P )
) )
6867ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
6968oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (  .0.  .*  ( k  .^  X ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  P ) )  .*  ( k  .^  X ) ) )
7041ply1lmod 17712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
7140, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  P  e.  LMod )
7271ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  P  e.  LMod )
73 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
7473rngmgp 16656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e.  Ring  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
7540, 42, 743syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
7675ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
77 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
78 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
7946, 41, 78vr1cl 17676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
8040, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  P ) )
8180ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
8273, 78mgpbas 16602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  (mulGrp `  P
) )
8382, 47mulgnn0cl 15648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (mulGrp `  P )  e.  Mnd  /\  k  e. 
NN0  /\  X  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( k  .^  X )  e.  (
Base `  P )
)
8476, 77, 81, 83syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
k  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )
85 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
86 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)
8778, 85, 48, 86, 39lmod0vs 16986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  (
k  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) )  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( 0g `  P ) )
8872, 84, 87syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) )  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( 0g `  P ) )
8969, 88eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (  .0.  .*  ( k  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) )
9063, 89sylan9eqr 2497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  A  =  .0.  )  ->  ( A  .*  (
k  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) )
9190ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A  =  .0.  ->  ( A  .*  ( k 
.^  X ) )  =  ( 0g `  P ) ) )
9262, 91syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  ->  ( A  .*  (
k  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) )
9392imim2d 52 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( s  <  k  ->  [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( s  < 
k  ->  ( A  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( 0g `  P ) ) ) )
9493ralimdva 2799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  NN0  ( s  <  k  ->  [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  A. k  e.  NN0  ( s  < 
k  ->  ( A  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( 0g `  P ) ) ) )
9560, 94syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  A. k  e.  NN0  ( s  < 
k  ->  ( A  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( 0g `  P ) ) ) )
9695imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( s  <  k  ->  ( A  .*  (
k  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) )
9737, 38, 39, 45, 53, 54, 96gsummptnn0fz 30811 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  (
k  .^  X )
) ) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( A  .*  (
k  .^  X )
) ) ) )
9897fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
(coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) )  =  (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( A  .*  (
k  .^  X )
) ) ) ) )
9998fveq1d 5698 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( A  .*  (
k  .^  X )
) ) ) ) `
 L ) )
10040ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  R  e.  Ring )
101 gsummonply1.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  NN0 )
102101ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  L  e.  NN0 )
103 elfznn0 11486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  k  e.  NN0 )
104 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ph )
1053adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  K )
106104, 77, 1053jca 1168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ph  /\  k  e.  NN0  /\  A  e.  K ) )
107103, 106sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  ( ph  /\  k  e.  NN0  /\  A  e.  K ) )
108107, 49syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  ( A  .*  ( k  .^  X ) )  e.  B )
109108ralrimiva 2804 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  ( 0 ... s
) ( A  .*  ( k  .^  X
) )  e.  B
)
110109adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  A. k  e.  (
0 ... s ) ( A  .*  ( k 
.^  X ) )  e.  B )
111 fzfid 11800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( 0 ... s
)  e.  Fin )
11241, 38, 100, 102, 110, 111coe1fzgsumd 30843 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( A  .*  ( k  .^  X
) ) ) `  L ) ) ) )
11340ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  R  e.  Ring )
1143expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ph  ->  A  e.  K ) )
115103, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  ( ph  ->  A  e.  K
) )
116115com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  A  e.  K
) )
117116ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... s )  ->  A  e.  K
) )
118117imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  A  e.  K )
119103adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  k  e.  NN0 )
12014, 6, 41, 46, 48, 73, 47coe1tm 17731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  K  /\  k  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  ( A  .*  (
k  .^  X )
) )  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  k ,  A ,  .0.  )
) )
121113, 118, 119, 120syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (coe1 `  ( A  .*  (
k  .^  X )
) )  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  k ,  A ,  .0.  )
) )
122 eqeq1 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  L  ->  (
n  =  k  <->  L  =  k ) )
123122ifbid 3816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  L  ->  if ( n  =  k ,  A ,  .0.  )  =  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) )
124123adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  /\  n  =  L )  ->  if ( n  =  k ,  A ,  .0.  )  =  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) )
125101ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  L  e.  NN0 )
1266, 14rng0cl 16671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
12740, 126syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
128127ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  .0.  e.  K )
129118, 128ifcld 3837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  )  e.  K )
130121, 124, 125, 129fvmptd 5784 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (
(coe1 `  ( A  .*  ( k  .^  X
) ) ) `  L )  =  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) )
13137, 130mpteq2da 4382 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( A  .*  ( k  .^  X
) ) ) `  L ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )
132131oveq2d 6112 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( A  .*  ( k  .^  X
) ) ) `  L ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  )
) ) )
133 breq2 4301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  L  ->  (
s  <  x  <->  s  <  L ) )
134 csbeq1 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  L  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  [_ L  /  k ]_ A )
135134eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  L  ->  ( [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  <->  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  ) )
136133, 135imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  L  ->  (
( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) 
<->  ( s  <  L  ->  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  ) ) )
137136rspcva 3076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  ->  ( s  <  L  ->  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  ) )
138 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )
139 nfcsb1v 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ k [_ L  /  k ]_ A
140139nfeq1 2593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k
[_ L  /  k ]_ A  =  .0.
141138, 140nfan 1861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ k ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  )
142 elfz2nn0 11485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  <->  ( k  e.  NN0  /\  s  e. 
NN0  /\  k  <_  s ) )
143 nn0re 10593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
144143ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  k  e.  RR )
145 nn0re 10593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( s  e.  NN0  ->  s  e.  RR )
146145adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
s  e.  RR )
147146adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  s  e.  RR )
148 nn0re 10593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
149148adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  L  e.  RR )
150 lelttr 9470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( k  e.  RR  /\  s  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  (
( k  <_  s  /\  s  <  L )  ->  k  <  L
) )
151144, 147, 149, 150syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( ( k  <_  s  /\  s  <  L )  ->  k  <  L ) )
152 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e. 
NN0 )  /\  k  <  L )  ->  k  <  L )
153152olcd 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e. 
NN0 )  /\  k  <  L )  ->  ( L  <  k  \/  k  <  L ) )
154 df-ne 2613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( L  =/=  k  <->  -.  L  =  k )
155143adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
k  e.  RR )
156 lttri2 9462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( L  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( L  =/=  k  <->  ( L  <  k  \/  k  <  L ) ) )
157148, 155, 156syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( L  =/=  k  <->  ( L  < 
k  \/  k  < 
L ) ) )
158157adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e. 
NN0 )  /\  k  <  L )  ->  ( L  =/=  k  <->  ( L  <  k  \/  k  < 
L ) ) )
159154, 158syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e. 
NN0 )  /\  k  <  L )  ->  ( -.  L  =  k  <->  ( L  <  k  \/  k  <  L ) ) )
160153, 159mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e. 
NN0 )  /\  k  <  L )  ->  -.  L  =  k )
161160ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( k  < 
L  ->  -.  L  =  k ) )
162151, 161syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( ( k  <_  s  /\  s  <  L )  ->  -.  L  =  k )
)
163162exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( L  e.  NN0  ->  ( k  <_  s  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k ) ) ) )
164163expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( s  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( k  <_  s  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k ) ) ) )
165164com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  <_  s  ->  (
( s  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k ) ) ) )
166165imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  k  <_  s )  -> 
( ( s  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k ) ) )
1671663adant2 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0  /\  k  <_  s )  ->  (
( s  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k ) ) )
168142, 167sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  (
( s  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k ) ) )
169168expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  (
s  e.  NN0  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k
) ) ) )
170101, 169syl7 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  (
s  e.  NN0  ->  (
ph  ->  ( s  < 
L  ->  -.  L  =  k ) ) ) )
171170com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  ( ph  ->  ( s  < 
L  ->  -.  L  =  k ) ) ) )
172171com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( s  <  L  ->  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... s
)  ->  -.  L  =  k ) ) ) )
173172imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  s  <  L )  -> 
( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  -.  L  =  k )
) )
174173impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  < 
L ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... s )  ->  -.  L  =  k ) )
175174adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( k  e.  ( 0 ... s
)  ->  -.  L  =  k ) )
176175imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  -.  L  =  k )
177 iffalse 3804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  L  =  k  ->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
178176, 177syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
179141, 178mpteq2da 4382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( k  e.  ( 0 ... s
)  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  .0.  ) )
180179oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  .0.  ) ) )
181 rngmnd 16659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
18240, 181syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
183182adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  < 
L ) )  ->  R  e.  Mnd )
184 ovex 6121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0 ... s )  e. 
_V
18514gsumz 15516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... s
)  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
186183, 184, 185sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  < 
L ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
187186adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
188 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  ->  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )
189188eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  ->  .0.  =  [_ L  /  k ]_ A )
190189adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  .0.  =  [_ L  /  k ]_ A )
191180, 187, 1903eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A )
192191ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  < 
L ) )  -> 
( [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) )
193192expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( s  <  L  ->  ( [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) )
194193a2d 26 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( (
s  <  L  ->  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( s  <  L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) )
195194ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( s  e.  NN0  ->  ( ( s  < 
L  ->  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( s  <  L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) ) )
196195com13 80 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  <  L  ->  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( s  e. 
NN0  ->  ( ph  ->  ( s  <  L  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) ) )
197137, 196syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  ->  ( s  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( s  <  L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) ) )
198197ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  (
s  e.  NN0  ->  (
ph  ->  ( s  < 
L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) ) ) )
199198com24 87 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( s  e.  NN0  ->  ( A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  [_ x  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( s  <  L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) ) ) )
200101, 199mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  NN0  ->  ( A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  [_ x  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( s  <  L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) ) )
201200imp31 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( s  <  L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) )
202201com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( s  <  L  ->  (
( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) )
203 pm3.2 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( -.  s  <  L  ->  (
( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  <  L ) ) )
204203adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( -.  s  < 
L  ->  ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  < 
L ) ) )
205182ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  <  L )  ->  R  e.  Mnd )
206184a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  <  L )  -> 
( 0 ... s
)  e.  _V )
207101nn0red 10642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
208 lenlt 9458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  ( L  <_  s  <->  -.  s  <  L ) )
209207, 145, 208syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( L  <_  s  <->  -.  s  <  L ) )
210101ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  <_  s )  ->  L  e.  NN0 )
211 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  <_  s )  ->  s  e.  NN0 )
212 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  <_  s )  ->  L  <_  s )
213 elfz2nn0 11485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  e.  ( 0 ... s )  <->  ( L  e.  NN0  /\  s  e. 
NN0  /\  L  <_  s ) )
214210, 211, 212, 213syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  <_  s )  ->  L  e.  ( 0 ... s
) )
215214ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( L  <_  s  ->  L  e.  ( 0 ... s
) ) )
216209, 215sylbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( -.  s  <  L  ->  L  e.  ( 0 ... s
) ) )
217216imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  <  L )  ->  L  e.  ( 0 ... s ) )
218 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  =  k  <->  k  =  L )
219 ifbi 3815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  =  k  <->  k  =  L )  ->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  )  =  if ( k  =  L ,  A ,  .0.  ) )
220218, 219ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  )  =  if ( k  =  L ,  A ,  .0.  )
221220mpteq2i 4380 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( k  =  L ,  A ,  .0.  )
)
2223, 6syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  ( Base `  R )
)
223222ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  ->  A  e.  ( Base `  R ) ) )
224223adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  NN0  ->  A  e.  ( Base `  R )
) )
225103, 224syl5com 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  (
( ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  A  e.  ( Base `  R
) ) )
226225impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  A  e.  ( Base `  R
) )
227226ralrimiva 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  ( 0 ... s
) A  e.  (
Base `  R )
)
228227adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  <  L )  ->  A. k  e.  (
0 ... s ) A  e.  ( Base `  R
) )
22914, 205, 206, 217, 221, 228gsummpt1n0 16461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  <  L )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A )
230204, 229syl6com 35 . . . . . . . 8  |-  ( -.  s  <  L  -> 
( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) )
231202, 230pm2.61i 164 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A )
232132, 231eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( A  .*  ( k  .^  X
) ) ) `  L ) ) )  =  [_ L  / 
k ]_ A )
23399, 112, 2323eqtrd 2479 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  [_ L  /  k ]_ A
)
234233ex 434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  [_ L  /  k ]_ A
) )
23529, 234syld 44 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
( k  e.  NN0  |->  A ) `  x
)  =  .0.  )  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  [_ L  /  k ]_ A
) )
236235rexlimdva 2846 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
NN0  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A ) `  x )  =  .0.  )  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  (
k  .^  X )
) ) ) ) `
 L )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) )
23719, 236mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  [_ L  /  k ]_ A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977   [_csb 3293   ifcif 3796   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219   finSupp cfsupp 7625   RRcr 9286   0cc0 9287    < clt 9423    <_ cle 9424   NN0cn0 10584   ...cfz 11442   Basecbs 14179  Scalarcsca 14246   .scvsca 14247   0gc0g 14383    gsumg cgsu 14384   Mndcmnd 15414  .gcmg 15419  CMndccmn 16282  mulGrpcmgp 16596   Ringcrg 16650   LModclmod 16953  var1cv1 17637  Poly1cpl1 17638  coe1cco1 17639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-hash 12109  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-tset 14262  df-ple 14263  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-ghm 15750  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-subrg 16868  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-psr 17428  df-mvr 17429  df-mpl 17430  df-opsr 17432  df-psr1 17641  df-vr1 17642  df-ply1 17643  df-coe1 17644
This theorem is referenced by:  ply1mulgsum  30853  pmattomply1f1lem  30915  pmattomply1coe1  30919  pmattomply1mhmlem2  30934
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