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Theorem gsummoncoe1 18216
Description: A coefficient of the polynomial represented as sum of scaled monomials is the coefficient of the corresponding scaled monomial. (Contributed by AV, 13-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummonply1.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
gsummonply1.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
gsummonply1.x  |-  X  =  (var1 `  R )
gsummonply1.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
gsummonply1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
gsummonply1.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
gsummonply1.m  |-  .*  =  ( .s `  P )
gsummonply1.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsummonply1.a  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  A  e.  K )
gsummonply1.f  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  |->  A ) finSupp  .0.  )
gsummonply1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
gsummoncoe1  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  [_ L  /  k ]_ A
)
Distinct variable groups:    B, k    k, K    ph, k    .* , k    k, L    P, k    R, k    .0. , k    .^ , k
Allowed substitution hints:    A( k)    X( k)

Proof of Theorem gsummoncoe1
Dummy variables  n  s  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummonply1.f . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  |->  A ) finSupp  .0.  )
2 gsummonply1.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  A  e.  K )
32r19.21bi 2836 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  K )
4 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  |->  A )  =  ( k  e. 
NN0  |->  A )
53, 4fmptd 6056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  |->  A ) : NN0 --> K )
6 gsummonply1.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  R
)
7 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
86, 7eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  K  e. 
_V
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
10 nn0ex 10813 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
11 elmapg 7445 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  _V  /\  NN0 
e.  _V )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  A )  e.  ( K  ^m  NN0 )  <->  ( k  e.  NN0  |->  A ) : NN0 --> K ) )
129, 10, 11sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A )  e.  ( K  ^m  NN0 ) 
<->  ( k  e.  NN0  |->  A ) : NN0 --> K ) )
135, 12mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  |->  A )  e.  ( K  ^m  NN0 )
)
14 gsummonply1.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
15 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1614, 15eqeltri 2551 . . . 4  |-  .0.  e.  _V
17 fsuppmapnn0ub 12081 . . . 4  |-  ( ( ( k  e.  NN0  |->  A )  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  .0.  e.  _V )  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A ) finSupp  .0.  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  A ) `  x
)  =  .0.  )
) )
1813, 16, 17sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A ) finSupp  .0.  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  A ) `  x
)  =  .0.  )
) )
191, 18mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  A ) `  x
)  =  .0.  )
)
20 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  x  e.  NN0 )
212ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN0  A  e.  K
)
22 rspcsbela 3858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  A. k  e.  NN0  A  e.  K )  ->  [_ x  /  k ]_ A  e.  K )
2320, 21, 22syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  [_ x  /  k ]_ A  e.  K )
244fvmpts 5959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  [_ x  /  k ]_ A  e.  K )  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A ) `  x )  =  [_ x  /  k ]_ A
)
2520, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  A ) `  x
)  =  [_ x  /  k ]_ A
)
2625eqeq1d 2469 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( ( k  e. 
NN0  |->  A ) `  x )  =  .0.  <->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)
2726imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( s  <  x  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A ) `  x )  =  .0.  )  <->  ( s  < 
x  ->  [_ x  / 
k ]_ A  =  .0.  ) ) )
2827biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( s  <  x  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A ) `  x )  =  .0.  )  ->  ( s  <  x  ->  [_ x  / 
k ]_ A  =  .0.  ) ) )
2928ralimdva 2875 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
( k  e.  NN0  |->  A ) `  x
)  =  .0.  )  ->  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) ) )
30 nfv 1683 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( ph  /\  s  e.  NN0 )
31 nfcv 2629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k NN0
32 nfv 1683 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k  s  <  x
33 nfcsb1v 3456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ A
3433nfeq1 2644 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
[_ x  /  k ]_ A  =  .0.
3532, 34nfim 1867 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
3631, 35nfral 2853 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
3730, 36nfan 1875 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)
38 gsummonply1.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  P
)
39 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
40 gsummonply1.r . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
41 gsummonply1.p . . . . . . . . . . . 12  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4241ply1ring 18159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
43 ringcmn 17101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
4440, 42, 433syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e. CMnd )
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  P  e. CMnd )
46403ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 
/\  A  e.  K
)  ->  R  e.  Ring )
47 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 
/\  A  e.  K
)  ->  A  e.  K )
48 simp2 997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 
/\  A  e.  K
)  ->  k  e.  NN0 )
49 gsummonply1.x . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X  =  (var1 `  R )
50 gsummonply1.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .*  =  ( .s `  P )
51 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
52 gsummonply1.e . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
536, 41, 49, 50, 51, 52, 38ply1tmcl 18183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  K  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A  .*  ( k  .^  X ) )  e.  B )
5446, 47, 48, 53syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 
/\  A  e.  K
)  ->  ( A  .*  ( k  .^  X
) )  e.  B
)
55543expia 1198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A  e.  K  ->  ( A  .*  ( k  .^  X ) )  e.  B ) )
5655ralimdva 2875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. k  e. 
NN0  A  e.  K  ->  A. k  e.  NN0  ( A  .*  (
k  .^  X )
)  e.  B ) )
572, 56mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( A  .*  (
k  .^  X )
)  e.  B )
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( A  .*  (
k  .^  X )
)  e.  B )
59 simplr 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
s  e.  NN0 )
60 nfv 1683 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( s  <  k  ->  [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  )
61 breq2 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  (
s  <  x  <->  s  <  k ) )
62 csbeq1 3443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  k  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  [_ k  /  k ]_ A )
6362eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  ( [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  <->  [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  ) )
6461, 63imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  k  ->  (
( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) 
<->  ( s  <  k  ->  [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  ) ) )
6535, 60, 64cbvral 3089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )  <->  A. k  e.  NN0  ( s  < 
k  ->  [_ k  / 
k ]_ A  =  .0.  ) )
66 csbid 3448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ k  /  k ]_ A  =  A
6766eqeq1i 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  <->  A  =  .0.  )
68 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =  .0.  ->  ( A  .*  ( k  .^  X ) )  =  (  .0.  .*  (
k  .^  X )
) )
6941ply1sca 18164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
7040, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
7170fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  P )
) )
7214, 71syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  (Scalar `  P )
) )
7372ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
7473oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (  .0.  .*  ( k  .^  X ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  P ) )  .*  ( k  .^  X ) ) )
7541ply1lmod 18163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
7640, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  P  e.  LMod )
7776ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  P  e.  LMod )
7851ringmgp 17076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e.  Ring  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
7940, 42, 783syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
8079ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
81 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
82 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
8349, 41, 82vr1cl 18128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
8440, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  P ) )
8584ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
8651, 82mgpbas 17019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  (mulGrp `  P
) )
8786, 52mulgnn0cl 16030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (mulGrp `  P )  e.  Mnd  /\  k  e. 
NN0  /\  X  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( k  .^  X )  e.  (
Base `  P )
)
8880, 81, 85, 87syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
k  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )
89 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
90 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)
9182, 89, 50, 90, 39lmod0vs 17416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  (
k  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) )  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( 0g `  P ) )
9277, 88, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) )  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( 0g `  P ) )
9374, 92eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (  .0.  .*  ( k  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) )
9468, 93sylan9eqr 2530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  A  =  .0.  )  ->  ( A  .*  (
k  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) )
9594ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A  =  .0.  ->  ( A  .*  ( k 
.^  X ) )  =  ( 0g `  P ) ) )
9667, 95syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  ->  ( A  .*  (
k  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) )
9796imim2d 52 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( s  <  k  ->  [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( s  < 
k  ->  ( A  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( 0g `  P ) ) ) )
9897ralimdva 2875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  NN0  ( s  <  k  ->  [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  A. k  e.  NN0  ( s  < 
k  ->  ( A  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( 0g `  P ) ) ) )
9965, 98syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  A. k  e.  NN0  ( s  < 
k  ->  ( A  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( 0g `  P ) ) ) )
10099imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( s  <  k  ->  ( A  .*  (
k  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) )
10137, 38, 39, 45, 58, 59, 100gsummptnn0fz 16887 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  (
k  .^  X )
) ) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( A  .*  (
k  .^  X )
) ) ) )
102101fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
(coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) )  =  (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( A  .*  (
k  .^  X )
) ) ) ) )
103102fveq1d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( A  .*  (
k  .^  X )
) ) ) ) `
 L ) )
10440ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  R  e.  Ring )
105 gsummonply1.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  NN0 )
106105ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  L  e.  NN0 )
107 elfznn0 11782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  k  e.  NN0 )
108 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ph )
1093adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  K )
110108, 81, 1093jca 1176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ph  /\  k  e.  NN0  /\  A  e.  K ) )
111107, 110sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  ( ph  /\  k  e.  NN0  /\  A  e.  K ) )
112111, 54syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  ( A  .*  ( k  .^  X ) )  e.  B )
113112ralrimiva 2881 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  ( 0 ... s
) ( A  .*  ( k  .^  X
) )  e.  B
)
114113adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  A. k  e.  (
0 ... s ) ( A  .*  ( k 
.^  X ) )  e.  B )
115 fzfid 12063 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( 0 ... s
)  e.  Fin )
11641, 38, 104, 106, 114, 115coe1fzgsumd 18214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( A  .*  ( k  .^  X
) ) ) `  L ) ) ) )
11740ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  R  e.  Ring )
1183expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ph  ->  A  e.  K ) )
119107, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  ( ph  ->  A  e.  K
) )
120119com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  A  e.  K
) )
121120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... s )  ->  A  e.  K
) )
122121imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  A  e.  K )
123107adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  k  e.  NN0 )
12414, 6, 41, 49, 50, 51, 52coe1tm 18184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  K  /\  k  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  ( A  .*  (
k  .^  X )
) )  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  k ,  A ,  .0.  )
) )
125117, 122, 123, 124syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (coe1 `  ( A  .*  (
k  .^  X )
) )  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  k ,  A ,  .0.  )
) )
126 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  L  ->  (
n  =  k  <->  L  =  k ) )
127126ifbid 3967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  L  ->  if ( n  =  k ,  A ,  .0.  )  =  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) )
128127adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  /\  n  =  L )  ->  if ( n  =  k ,  A ,  .0.  )  =  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) )
129105ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  L  e.  NN0 )
1306, 14ring0cl 17092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
13140, 130syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
132131ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  .0.  e.  K )
133122, 132ifcld 3988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  )  e.  K )
134125, 128, 129, 133fvmptd 5962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (
(coe1 `  ( A  .*  ( k  .^  X
) ) ) `  L )  =  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) )
13537, 134mpteq2da 4538 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( A  .*  ( k  .^  X
) ) ) `  L ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )
136135oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( A  .*  ( k  .^  X
) ) ) `  L ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  )
) ) )
137 breq2 4457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  L  ->  (
s  <  x  <->  s  <  L ) )
138 csbeq1 3443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  L  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  [_ L  /  k ]_ A )
139138eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  L  ->  ( [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  <->  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  ) )
140137, 139imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  L  ->  (
( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) 
<->  ( s  <  L  ->  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  ) ) )
141140rspcva 3217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  ->  ( s  <  L  ->  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  ) )
142 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )
143 nfcsb1v 3456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ k [_ L  /  k ]_ A
144143nfeq1 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k
[_ L  /  k ]_ A  =  .0.
145142, 144nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ k ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  )
146 elfz2nn0 11780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  <->  ( k  e.  NN0  /\  s  e. 
NN0  /\  k  <_  s ) )
147 nn0re 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
148147ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  k  e.  RR )
149 nn0re 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( s  e.  NN0  ->  s  e.  RR )
150149adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
s  e.  RR )
151150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  s  e.  RR )
152 nn0re 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
153152adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  L  e.  RR )
154 lelttr 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( k  e.  RR  /\  s  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  (
( k  <_  s  /\  s  <  L )  ->  k  <  L
) )
155148, 151, 153, 154syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( ( k  <_  s  /\  s  <  L )  ->  k  <  L ) )
156 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e. 
NN0 )  /\  k  <  L )  ->  k  <  L )
157156olcd 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e. 
NN0 )  /\  k  <  L )  ->  ( L  <  k  \/  k  <  L ) )
158 df-ne 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( L  =/=  k  <->  -.  L  =  k )
159147adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
k  e.  RR )
160 lttri2 9679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( L  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( L  =/=  k  <->  ( L  <  k  \/  k  <  L ) ) )
161152, 159, 160syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( L  =/=  k  <->  ( L  < 
k  \/  k  < 
L ) ) )
162161adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e. 
NN0 )  /\  k  <  L )  ->  ( L  =/=  k  <->  ( L  <  k  \/  k  < 
L ) ) )
163158, 162syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e. 
NN0 )  /\  k  <  L )  ->  ( -.  L  =  k  <->  ( L  <  k  \/  k  <  L ) ) )
164157, 163mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e. 
NN0 )  /\  k  <  L )  ->  -.  L  =  k )
165164ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( k  < 
L  ->  -.  L  =  k ) )
166155, 165syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( ( k  <_  s  /\  s  <  L )  ->  -.  L  =  k )
)
167166exp4b 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( L  e.  NN0  ->  ( k  <_  s  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k ) ) ) )
168167expimpd 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( s  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( k  <_  s  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k ) ) ) )
169168com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  <_  s  ->  (
( s  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k ) ) ) )
170169imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  k  <_  s )  -> 
( ( s  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k ) ) )
1711703adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0  /\  k  <_  s )  ->  (
( s  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k ) ) )
172146, 171sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  (
( s  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k ) ) )
173172expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  (
s  e.  NN0  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k
) ) ) )
174105, 173syl7 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  (
s  e.  NN0  ->  (
ph  ->  ( s  < 
L  ->  -.  L  =  k ) ) ) )
175174com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  ( ph  ->  ( s  < 
L  ->  -.  L  =  k ) ) ) )
176175com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( s  <  L  ->  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... s
)  ->  -.  L  =  k ) ) ) )
177176imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  s  <  L )  -> 
( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  -.  L  =  k )
) )
178177impcom 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  < 
L ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... s )  ->  -.  L  =  k ) )
179178adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( k  e.  ( 0 ... s
)  ->  -.  L  =  k ) )
180179imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  -.  L  =  k )
181180iffalsed 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
182145, 181mpteq2da 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( k  e.  ( 0 ... s
)  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  .0.  ) )
183182oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  .0.  ) ) )
184 ringmnd 17079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
18540, 184syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
186185adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  < 
L ) )  ->  R  e.  Mnd )
187 ovex 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0 ... s )  e. 
_V
18814gsumz 15877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... s
)  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
189186, 187, 188sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  < 
L ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
190189adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
191 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  ->  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )
192191eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  ->  .0.  =  [_ L  /  k ]_ A )
193192adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  .0.  =  [_ L  /  k ]_ A )
194183, 190, 1933eqtrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A )
195194ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  < 
L ) )  -> 
( [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) )
196195expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( s  <  L  ->  ( [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) )
197196a2d 26 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( (
s  <  L  ->  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( s  <  L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) )
198197ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( s  e.  NN0  ->  ( ( s  < 
L  ->  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( s  <  L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) ) )
199198com13 80 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  <  L  ->  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( s  e. 
NN0  ->  ( ph  ->  ( s  <  L  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) ) )
200141, 199syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  ->  ( s  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( s  <  L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) ) )
201200ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  (
s  e.  NN0  ->  (
ph  ->  ( s  < 
L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) ) ) )
202201com24 87 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( s  e.  NN0  ->  ( A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  [_ x  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( s  <  L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) ) ) )
203105, 202mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  NN0  ->  ( A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  [_ x  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( s  <  L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) ) )
204203imp31 432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( s  <  L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) )
205204com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( s  <  L  ->  (
( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) )
206 pm3.2 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( -.  s  <  L  ->  (
( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  <  L ) ) )
207206adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( -.  s  < 
L  ->  ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  < 
L ) ) )
208185ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  <  L )  ->  R  e.  Mnd )
209187a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  <  L )  -> 
( 0 ... s
)  e.  _V )
210105nn0red 10865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
211 lenlt 9675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  ( L  <_  s  <->  -.  s  <  L ) )
212210, 149, 211syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( L  <_  s  <->  -.  s  <  L ) )
213105ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  <_  s )  ->  L  e.  NN0 )
214 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  <_  s )  ->  s  e.  NN0 )
215 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  <_  s )  ->  L  <_  s )
216 elfz2nn0 11780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  e.  ( 0 ... s )  <->  ( L  e.  NN0  /\  s  e. 
NN0  /\  L  <_  s ) )
217213, 214, 215, 216syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  <_  s )  ->  L  e.  ( 0 ... s
) )
218217ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( L  <_  s  ->  L  e.  ( 0 ... s
) ) )
219212, 218sylbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( -.  s  <  L  ->  L  e.  ( 0 ... s
) ) )
220219imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  <  L )  ->  L  e.  ( 0 ... s ) )
221 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  =  k  <->  k  =  L )
222 ifbi 3966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  =  k  <->  k  =  L )  ->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  )  =  if ( k  =  L ,  A ,  .0.  ) )
223221, 222ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  )  =  if ( k  =  L ,  A ,  .0.  )
224223mpteq2i 4536 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( k  =  L ,  A ,  .0.  )
)
2253, 6syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  ( Base `  R )
)
226225ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  ->  A  e.  ( Base `  R ) ) )
227226adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  NN0  ->  A  e.  ( Base `  R )
) )
228107, 227syl5com 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  (
( ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  A  e.  ( Base `  R
) ) )
229228impcom 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  A  e.  ( Base `  R
) )
230229ralrimiva 2881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  ( 0 ... s
) A  e.  (
Base `  R )
)
231230adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  <  L )  ->  A. k  e.  (
0 ... s ) A  e.  ( Base `  R
) )
23214, 208, 209, 220, 224, 231gsummpt1n0 16865 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  <  L )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A )
233207, 232syl6com 35 . . . . . . . 8  |-  ( -.  s  <  L  -> 
( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) )
234205, 233pm2.61i 164 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A )
235136, 234eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( A  .*  ( k  .^  X
) ) ) `  L ) ) )  =  [_ L  / 
k ]_ A )
236103, 116, 2353eqtrd 2512 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  [_ L  /  k ]_ A
)
237236ex 434 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  [_ L  /  k ]_ A
) )
23829, 237syld 44 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
( k  e.  NN0  |->  A ) `  x
)  =  .0.  )  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  [_ L  /  k ]_ A
) )
239238rexlimdva 2959 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
NN0  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A ) `  x )  =  .0.  )  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  (
k  .^  X )
) ) ) ) `
 L )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) )
24019, 239mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  [_ L  /  k ]_ A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   [_csb 3440   ifcif 3945   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   finSupp cfsupp 7841   RRcr 9503   0cc0 9504    < clt 9640    <_ cle 9641   NN0cn0 10807   ...cfz 11684   Basecbs 14507  Scalarcsca 14575   .scvsca 14576   0gc0g 14712    gsumg cgsu 14713   Mndcmnd 15793  .gcmg 15928  CMndccmn 16671  mulGrpcmgp 17013   Ringcrg 17070   LModclmod 17383  var1cv1 18085  Poly1cpl1 18086  coe1cco1 18087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-tset 14591  df-ple 14592  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-psr 17875  df-mvr 17876  df-mpl 17877  df-opsr 17879  df-psr1 18089  df-vr1 18090  df-ply1 18091  df-coe1 18092
This theorem is referenced by:  gsumply1eq  18217  pm2mpf1lem  19164  pm2mpcoe1  19170  pm2mpmhmlem2  19189  cayleyhamilton1  19262  ply1mulgsum  32427
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