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Theorem gsummoncoe1 18459
Description: A coefficient of the polynomial represented as sum of scaled monomials is the coefficient of the corresponding scaled monomial. (Contributed by AV, 13-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummonply1.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
gsummonply1.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
gsummonply1.x  |-  X  =  (var1 `  R )
gsummonply1.e  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
gsummonply1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
gsummonply1.k  |-  K  =  ( Base `  R
)
gsummonply1.m  |-  .*  =  ( .s `  P )
gsummonply1.0  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsummonply1.a  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  A  e.  K )
gsummonply1.f  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  |->  A ) finSupp  .0.  )
gsummonply1.l  |-  ( ph  ->  L  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
gsummoncoe1  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  [_ L  /  k ]_ A
)
Distinct variable groups:    B, k    k, K    ph, k    .* , k    k, L    P, k    R, k    .0. , k    .^ , k
Allowed substitution hints:    A( k)    X( k)

Proof of Theorem gsummoncoe1
Dummy variables  n  s  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsummonply1.f . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  |->  A ) finSupp  .0.  )
2 gsummonply1.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  A  e.  K )
32r19.21bi 2751 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  K )
4 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  |->  A )  =  ( k  e. 
NN0  |->  A )
53, 4fmptd 5957 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  |->  A ) : NN0 --> K )
6 gsummonply1.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  R
)
7 fvex 5784 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  e.  _V
86, 7eqeltri 2466 . . . . . . 7  |-  K  e. 
_V
98a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
10 nn0ex 10718 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
11 elmapg 7351 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  _V  /\  NN0 
e.  _V )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  A )  e.  ( K  ^m  NN0 )  <->  ( k  e.  NN0  |->  A ) : NN0 --> K ) )
129, 10, 11sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A )  e.  ( K  ^m  NN0 ) 
<->  ( k  e.  NN0  |->  A ) : NN0 --> K ) )
135, 12mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  |->  A )  e.  ( K  ^m  NN0 )
)
14 gsummonply1.0 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
15 fvex 5784 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
1614, 15eqeltri 2466 . . . 4  |-  .0.  e.  _V
17 fsuppmapnn0ub 12004 . . . 4  |-  ( ( ( k  e.  NN0  |->  A )  e.  ( K  ^m  NN0 )  /\  .0.  e.  _V )  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A ) finSupp  .0.  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  A ) `  x
)  =  .0.  )
) )
1813, 16, 17sylancl 660 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A ) finSupp  .0.  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  A ) `  x
)  =  .0.  )
) )
191, 18mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  ( ( k  e.  NN0  |->  A ) `  x
)  =  .0.  )
)
20 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  x  e.  NN0 )
212ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  NN0  A  e.  K
)
22 rspcsbela 3773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  A. k  e.  NN0  A  e.  K )  ->  [_ x  /  k ]_ A  e.  K )
2320, 21, 22syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  [_ x  /  k ]_ A  e.  K )
244fvmpts 5859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  [_ x  /  k ]_ A  e.  K )  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A ) `  x )  =  [_ x  /  k ]_ A
)
2520, 23, 24syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( k  e.  NN0  |->  A ) `  x
)  =  [_ x  /  k ]_ A
)
2625eqeq1d 2384 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( ( k  e. 
NN0  |->  A ) `  x )  =  .0.  <->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)
2726imbi2d 314 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( s  <  x  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A ) `  x )  =  .0.  )  <->  ( s  < 
x  ->  [_ x  / 
k ]_ A  =  .0.  ) ) )
2827biimpd 207 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  (
( s  <  x  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A ) `  x )  =  .0.  )  ->  ( s  <  x  ->  [_ x  / 
k ]_ A  =  .0.  ) ) )
2928ralimdva 2790 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
( k  e.  NN0  |->  A ) `  x
)  =  .0.  )  ->  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) ) )
30 nfv 1715 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k ( ph  /\  s  e.  NN0 )
31 nfcv 2544 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k NN0
32 nfv 1715 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k  s  <  x
33 nfcsb1v 3364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ A
3433nfeq1 2559 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
[_ x  /  k ]_ A  =  .0.
3532, 34nfim 1928 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
3631, 35nfral 2768 . . . . . . . . . 10  |-  F/ k A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
3730, 36nfan 1936 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)
38 gsummonply1.b . . . . . . . . 9  |-  B  =  ( Base `  P
)
39 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  P )  =  ( 0g `  P
)
40 gsummonply1.r . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
41 gsummonply1.p . . . . . . . . . . . 12  |-  P  =  (Poly1 `  R )
4241ply1ring 18402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
43 ringcmn 17342 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. CMnd
)
4440, 42, 433syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e. CMnd )
4544ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  P  e. CMnd )
46403ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 
/\  A  e.  K
)  ->  R  e.  Ring )
47 simp3 996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 
/\  A  e.  K
)  ->  A  e.  K )
48 simp2 995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 
/\  A  e.  K
)  ->  k  e.  NN0 )
49 gsummonply1.x . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  X  =  (var1 `  R )
50 gsummonply1.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .*  =  ( .s `  P )
51 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (mulGrp `  P )  =  (mulGrp `  P )
52 gsummonply1.e . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .^  =  (.g
`  (mulGrp `  P )
)
536, 41, 49, 50, 51, 52, 38ply1tmcl 18426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  K  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A  .*  ( k  .^  X ) )  e.  B )
5446, 47, 48, 53syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 
/\  A  e.  K
)  ->  ( A  .*  ( k  .^  X
) )  e.  B
)
55543expia 1196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A  e.  K  ->  ( A  .*  ( k  .^  X ) )  e.  B ) )
5655ralimdva 2790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. k  e. 
NN0  A  e.  K  ->  A. k  e.  NN0  ( A  .*  (
k  .^  X )
)  e.  B ) )
572, 56mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN0  ( A  .*  (
k  .^  X )
)  e.  B )
5857ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( A  .*  (
k  .^  X )
)  e.  B )
59 simplr 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
s  e.  NN0 )
60 nfv 1715 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( s  <  k  ->  [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  )
61 breq2 4371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  (
s  <  x  <->  s  <  k ) )
62 csbeq1 3351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  k  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  [_ k  /  k ]_ A )
6362eqeq1d 2384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  ( [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  <->  [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  ) )
6461, 63imbi12d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  k  ->  (
( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) 
<->  ( s  <  k  ->  [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  ) ) )
6535, 60, 64cbvral 3005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )  <->  A. k  e.  NN0  ( s  < 
k  ->  [_ k  / 
k ]_ A  =  .0.  ) )
66 csbid 3356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ k  /  k ]_ A  =  A
6766eqeq1i 2389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  <->  A  =  .0.  )
68 oveq1 6203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =  .0.  ->  ( A  .*  ( k  .^  X ) )  =  (  .0.  .*  (
k  .^  X )
) )
6941ply1sca 18407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
7040, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
7170fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 0g `  R
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  P )
) )
7214, 71syl5eq 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  .0.  =  ( 0g
`  (Scalar `  P )
) )
7372ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  .0.  =  ( 0g `  (Scalar `  P ) ) )
7473oveq1d 6211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (  .0.  .*  ( k  .^  X ) )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  P ) )  .*  ( k  .^  X ) ) )
7541ply1lmod 18406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
7640, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  P  e.  LMod )
7776ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  P  e.  LMod )
7851ringmgp 17317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P  e.  Ring  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
7940, 42, 783syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
8079ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (mulGrp `  P )  e.  Mnd )
81 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
82 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
8349, 41, 82vr1cl 18371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
8440, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  X  e.  ( Base `  P ) )
8584ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
8651, 82mgpbas 17260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  (mulGrp `  P
) )
8786, 52mulgnn0cl 16275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (mulGrp `  P )  e.  Mnd  /\  k  e. 
NN0  /\  X  e.  ( Base `  P )
)  ->  ( k  .^  X )  e.  (
Base `  P )
)
8880, 81, 85, 87syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
k  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )
89 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
90 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  P )
)
9182, 89, 50, 90, 39lmod0vs 17658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  (
k  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) )  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( 0g `  P ) )
9277, 88, 91syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  P ) )  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( 0g `  P ) )
9374, 92eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (  .0.  .*  ( k  .^  X ) )  =  ( 0g `  P
) )
9468, 93sylan9eqr 2445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  A  =  .0.  )  ->  ( A  .*  (
k  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) )
9594ex 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A  =  .0.  ->  ( A  .*  ( k 
.^  X ) )  =  ( 0g `  P ) ) )
9667, 95syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  ->  ( A  .*  (
k  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) )
9796imim2d 52 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( s  <  k  ->  [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( s  < 
k  ->  ( A  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( 0g `  P ) ) ) )
9897ralimdva 2790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. k  e.  NN0  ( s  <  k  ->  [_ k  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  A. k  e.  NN0  ( s  < 
k  ->  ( A  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( 0g `  P ) ) ) )
9965, 98syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  A. k  e.  NN0  ( s  < 
k  ->  ( A  .*  ( k  .^  X
) )  =  ( 0g `  P ) ) ) )
10099imp 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  A. k  e.  NN0  ( s  <  k  ->  ( A  .*  (
k  .^  X )
)  =  ( 0g
`  P ) ) )
10137, 38, 39, 45, 58, 59, 100gsummptnn0fz 17127 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  (
k  .^  X )
) ) )  =  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( A  .*  (
k  .^  X )
) ) ) )
102101fveq2d 5778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
(coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) )  =  (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( A  .*  (
k  .^  X )
) ) ) ) )
103102fveq1d 5776 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( A  .*  (
k  .^  X )
) ) ) ) `
 L ) )
10440ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  R  e.  Ring )
105 gsummonply1.l . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  NN0 )
106105ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  L  e.  NN0 )
107 elfznn0 11693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  k  e.  NN0 )
108 simpll 751 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ph )
1093adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  K )
110108, 81, 1093jca 1174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ph  /\  k  e.  NN0  /\  A  e.  K ) )
111107, 110sylan2 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  ( ph  /\  k  e.  NN0  /\  A  e.  K ) )
112111, 54syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  ( A  .*  ( k  .^  X ) )  e.  B )
113112ralrimiva 2796 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  ( 0 ... s
) ( A  .*  ( k  .^  X
) )  e.  B
)
114113adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  A. k  e.  (
0 ... s ) ( A  .*  ( k 
.^  X ) )  e.  B )
115 fzfid 11986 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( 0 ... s
)  e.  Fin )
11641, 38, 104, 106, 114, 115coe1fzgsumd 18457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  ( R 
gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( A  .*  ( k  .^  X
) ) ) `  L ) ) ) )
11740ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  R  e.  Ring )
1183expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ph  ->  A  e.  K ) )
119107, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  ( ph  ->  A  e.  K
) )
120119com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  A  e.  K
) )
121120ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... s )  ->  A  e.  K
) )
122121imp 427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  A  e.  K )
123107adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  k  e.  NN0 )
12414, 6, 41, 49, 50, 51, 52coe1tm 18427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  A  e.  K  /\  k  e.  NN0 )  ->  (coe1 `  ( A  .*  (
k  .^  X )
) )  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  k ,  A ,  .0.  )
) )
125117, 122, 123, 124syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (coe1 `  ( A  .*  (
k  .^  X )
) )  =  ( n  e.  NN0  |->  if ( n  =  k ,  A ,  .0.  )
) )
126 eqeq1 2386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  L  ->  (
n  =  k  <->  L  =  k ) )
127126ifbid 3879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  L  ->  if ( n  =  k ,  A ,  .0.  )  =  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) )
128127adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  /\  n  =  L )  ->  if ( n  =  k ,  A ,  .0.  )  =  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) )
129105ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  L  e.  NN0 )
1306, 14ring0cl 17333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  K )
13140, 130syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  .0.  e.  K )
132131ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  .0.  e.  K )
133122, 132ifcld 3900 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  )  e.  K )
134125, 128, 129, 133fvmptd 5862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  (
(coe1 `  ( A  .*  ( k  .^  X
) ) ) `  L )  =  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) )
13537, 134mpteq2da 4452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( A  .*  ( k  .^  X
) ) ) `  L ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )
136135oveq2d 6212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( A  .*  ( k  .^  X
) ) ) `  L ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  )
) ) )
137 breq2 4371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  L  ->  (
s  <  x  <->  s  <  L ) )
138 csbeq1 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  L  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  [_ L  /  k ]_ A )
139138eqeq1d 2384 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  L  ->  ( [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  <->  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  ) )
140137, 139imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  L  ->  (
( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) 
<->  ( s  <  L  ->  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  ) ) )
141140rspcva 3133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  ->  ( s  <  L  ->  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  ) )
142 nfv 1715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )
143 nfcsb1v 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  F/_ k [_ L  /  k ]_ A
144143nfeq1 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k
[_ L  /  k ]_ A  =  .0.
145142, 144nfan 1936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/ k ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  )
146 elfz2nn0 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  <->  ( k  e.  NN0  /\  s  e. 
NN0  /\  k  <_  s ) )
147 nn0re 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
148147ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  k  e.  RR )
149 nn0re 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( s  e.  NN0  ->  s  e.  RR )
150149adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
s  e.  RR )
151150adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  s  e.  RR )
152 nn0re 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( L  e.  NN0  ->  L  e.  RR )
153152adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  L  e.  RR )
154 lelttr 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( k  e.  RR  /\  s  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  (
( k  <_  s  /\  s  <  L )  ->  k  <  L
) )
155148, 151, 153, 154syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( ( k  <_  s  /\  s  <  L )  ->  k  <  L ) )
156 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e. 
NN0 )  /\  k  <  L )  ->  k  <  L )
157156olcd 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e. 
NN0 )  /\  k  <  L )  ->  ( L  <  k  \/  k  <  L ) )
158 df-ne 2579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( L  =/=  k  <->  -.  L  =  k )
159147adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
k  e.  RR )
160 lttri2 9578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( L  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( L  =/=  k  <->  ( L  <  k  \/  k  <  L ) ) )
161152, 159, 160syl2anr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( L  =/=  k  <->  ( L  < 
k  \/  k  < 
L ) ) )
162161adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e. 
NN0 )  /\  k  <  L )  ->  ( L  =/=  k  <->  ( L  <  k  \/  k  < 
L ) ) )
163158, 162syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e. 
NN0 )  /\  k  <  L )  ->  ( -.  L  =  k  <->  ( L  <  k  \/  k  <  L ) ) )
164157, 163mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( ( k  e. 
NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e. 
NN0 )  /\  k  <  L )  ->  -.  L  =  k )
165164ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( k  < 
L  ->  -.  L  =  k ) )
166155, 165syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( ( k  <_  s  /\  s  <  L )  ->  -.  L  =  k )
)
167166exp4b 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( L  e.  NN0  ->  ( k  <_  s  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k ) ) ) )
168167expimpd 601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( s  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  -> 
( k  <_  s  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k ) ) ) )
169168com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  <_  s  ->  (
( s  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k ) ) ) )
170169imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  k  <_  s )  -> 
( ( s  e. 
NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k ) ) )
1711703adant2 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  s  e.  NN0  /\  k  <_  s )  ->  (
( s  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k ) ) )
172146, 171sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  (
( s  e.  NN0  /\  L  e.  NN0 )  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k ) ) )
173172expd 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  (
s  e.  NN0  ->  ( L  e.  NN0  ->  ( s  <  L  ->  -.  L  =  k
) ) ) )
174105, 173syl7 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  (
s  e.  NN0  ->  (
ph  ->  ( s  < 
L  ->  -.  L  =  k ) ) ) )
175174com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  ( ph  ->  ( s  < 
L  ->  -.  L  =  k ) ) ) )
176175com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( s  e.  NN0  ->  ( s  <  L  ->  ( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... s
)  ->  -.  L  =  k ) ) ) )
177176imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( s  e.  NN0  /\  s  <  L )  -> 
( ph  ->  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  -.  L  =  k )
) )
178177impcom 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  < 
L ) )  -> 
( k  e.  ( 0 ... s )  ->  -.  L  =  k ) )
179178adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( k  e.  ( 0 ... s
)  ->  -.  L  =  k ) )
180179imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  -.  L  =  k )
181180iffalsed 3868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  )  =  .0.  )
182145, 181mpteq2da 4452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( k  e.  ( 0 ... s
)  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  .0.  ) )
183182oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  =  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  .0.  ) ) )
184 ringmnd 17320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
18540, 184syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
186185adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  < 
L ) )  ->  R  e.  Mnd )
187 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 0 ... s )  e. 
_V
18814gsumz 16122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( 0 ... s
)  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
189186, 187, 188sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  < 
L ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
190189adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
191 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  ->  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )
192191eqcomd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  ->  .0.  =  [_ L  /  k ]_ A )
193192adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  .0.  =  [_ L  /  k ]_ A )
194183, 190, 1933eqtrd 2427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  NN0  /\  s  <  L ) )  /\  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A )
195194ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  NN0  /\  s  < 
L ) )  -> 
( [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) )
196195expr 613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( s  <  L  ->  ( [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) )
197196a2d 26 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( (
s  <  L  ->  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( s  <  L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) )
198197ex 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( s  e.  NN0  ->  ( ( s  < 
L  ->  [_ L  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( s  <  L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) ) )
199198com13 80 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  <  L  ->  [_ L  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( s  e. 
NN0  ->  ( ph  ->  ( s  <  L  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) ) )
200141, 199syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  ->  ( s  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( s  <  L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) ) )
201200ex 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  (
s  e.  NN0  ->  (
ph  ->  ( s  < 
L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) ) ) )
202201com24 87 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  NN0  ->  ( ph  ->  ( s  e.  NN0  ->  ( A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  [_ x  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( s  <  L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) ) ) )
203105, 202mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( s  e.  NN0  ->  ( A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  [_ x  / 
k ]_ A  =  .0.  )  ->  ( s  <  L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) ) ) )
204203imp31 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( s  <  L  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) )
205204com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( s  <  L  ->  (
( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )
)  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) )
206 pm3.2 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( -.  s  <  L  ->  (
( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  <  L ) ) )
207206adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( -.  s  < 
L  ->  ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  < 
L ) ) )
208185ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  <  L )  ->  R  e.  Mnd )
209187a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  <  L )  -> 
( 0 ... s
)  e.  _V )
210105nn0red 10770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
211 lenlt 9574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  ( L  <_  s  <->  -.  s  <  L ) )
212210, 149, 211syl2an 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( L  <_  s  <->  -.  s  <  L ) )
213105ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  <_  s )  ->  L  e.  NN0 )
214 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  <_  s )  ->  s  e.  NN0 )
215 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  <_  s )  ->  L  <_  s )
216 elfz2nn0 11691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  e.  ( 0 ... s )  <->  ( L  e.  NN0  /\  s  e. 
NN0  /\  L  <_  s ) )
217213, 214, 215, 216syl3anbrc 1178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  L  <_  s )  ->  L  e.  ( 0 ... s
) )
218217ex 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( L  <_  s  ->  L  e.  ( 0 ... s
) ) )
219212, 218sylbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( -.  s  <  L  ->  L  e.  ( 0 ... s
) ) )
220219imp 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  <  L )  ->  L  e.  ( 0 ... s ) )
221 eqcom 2391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  =  k  <->  k  =  L )
222 ifbi 3878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  =  k  <->  k  =  L )  ->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  )  =  if ( k  =  L ,  A ,  .0.  ) )
223221, 222ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  )  =  if ( k  =  L ,  A ,  .0.  )
224223mpteq2i 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  ( 0 ... s )  |->  if ( k  =  L ,  A ,  .0.  )
)
2253, 6syl6eleq 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  ( Base `  R )
)
226225ex 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN0  ->  A  e.  ( Base `  R ) ) )
227226adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( k  e.  NN0  ->  A  e.  ( Base `  R )
) )
228107, 227syl5com 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 0 ... s )  ->  (
( ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  A  e.  ( Base `  R
) ) )
229228impcom 428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... s
) )  ->  A  e.  ( Base `  R
) )
230229ralrimiva 2796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  A. k  e.  ( 0 ... s
) A  e.  (
Base `  R )
)
231230adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  <  L )  ->  A. k  e.  (
0 ... s ) A  e.  ( Base `  R
) )
23214, 208, 209, 220, 224, 231gsummpt1n0 17106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  -.  s  <  L )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A )
233207, 232syl6com 35 . . . . . . . 8  |-  ( -.  s  <  L  -> 
( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  ->  ( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) )
234205, 233pm2.61i 164 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  if ( L  =  k ,  A ,  .0.  ) ) )  = 
[_ L  /  k ]_ A )
235136, 234eqtrd 2423 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( R  gsumg  ( k  e.  ( 0 ... s ) 
|->  ( (coe1 `  ( A  .*  ( k  .^  X
) ) ) `  L ) ) )  =  [_ L  / 
k ]_ A )
236103, 116, 2353eqtrd 2427 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  NN0 )  /\  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  ) )  -> 
( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  [_ L  /  k ]_ A
)
237236ex 432 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  [_ x  /  k ]_ A  =  .0.  )  ->  (
(coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  [_ L  /  k ]_ A
) )
23829, 237syld 44 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  NN0 )  ->  ( A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  (
( k  e.  NN0  |->  A ) `  x
)  =  .0.  )  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  [_ L  /  k ]_ A
) )
239238rexlimdva 2874 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
NN0  A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  ( ( k  e. 
NN0  |->  A ) `  x )  =  .0.  )  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  (
k  .^  X )
) ) ) ) `
 L )  = 
[_ L  /  k ]_ A ) )
24019, 239mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( P  gsumg  ( k  e.  NN0  |->  ( A  .*  ( k  .^  X ) ) ) ) ) `  L
)  =  [_ L  /  k ]_ A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034   [_csb 3348   ifcif 3857   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    ^m cmap 7338   finSupp cfsupp 7744   RRcr 9402   0cc0 9403    < clt 9539    <_ cle 9540   NN0cn0 10712   ...cfz 11593   Basecbs 14634  Scalarcsca 14705   .scvsca 14706   0gc0g 14847    gsumg cgsu 14848   Mndcmnd 16036  .gcmg 16173  CMndccmn 16915  mulGrpcmgp 17254   Ringcrg 17311   LModclmod 17625  var1cv1 18328  Poly1cpl1 18329  coe1cco1 18330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-ofr 6440  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-hash 12308  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-tset 14721  df-ple 14722  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-mhm 16083  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-sbg 16176  df-mulg 16177  df-subg 16315  df-ghm 16382  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-abl 16918  df-mgp 17255  df-ur 17267  df-ring 17313  df-subrg 17540  df-lmod 17627  df-lss 17692  df-psr 18118  df-mvr 18119  df-mpl 18120  df-opsr 18122  df-psr1 18332  df-vr1 18333  df-ply1 18334  df-coe1 18335
This theorem is referenced by:  gsumply1eq  18460  pm2mpf1lem  19380  pm2mpcoe1  19386  pm2mpmhmlem2  19405  cayleyhamilton1  19478  ply1mulgsum  33190
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