MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummhm Structured version   Unicode version

Theorem gsummhm 17512
Description: Apply a group homomorphism to a group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummhm.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsummhm.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummhm.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsummhm.h  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
gsummhm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsummhm.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( G MndHom  H ) )
gsummhm.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsummhm.w  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsummhm  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  ( K  o.  F
) )  =  ( K `  ( G 
gsumg  F ) ) )

Proof of Theorem gsummhm
StepHypRef Expression
1 gsummhm.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2420 . 2  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
3 gsummhm.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 cmnmnd 17386 . . 3  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
53, 4syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
6 gsummhm.h . 2  |-  ( ph  ->  H  e.  Mnd )
7 gsummhm.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8 gsummhm.k . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  ( G MndHom  H ) )
9 gsummhm.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
101, 2, 3, 9cntzcmnf 17424 . 2  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  F ) )
11 gsummhm.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
12 gsummhm.w . 2  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
131, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12gsumzmhm 17511 1  |-  ( ph  ->  ( H  gsumg  ( K  o.  F
) )  =  ( K `  ( G 
gsumg  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1867   class class class wbr 4417    o. ccom 4849   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   finSupp cfsupp 7880   Basecbs 15081   0gc0g 15298    gsumg cgsu 15299   Mndcmnd 16487   MndHom cmhm 16532  Cntzccntz 16921  CMndccmn 17371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-oi 8016  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-hash 12502  df-0g 15300  df-gsum 15301  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-mhm 16534  df-cntz 16923  df-cmn 17373
This theorem is referenced by:  gsummhm2  17513  gsummptmhm  17514  gsuminv  17520  evlslem2  18676  tsmsmhm  21097  plypf1  23073  amgmlem  23819
  Copyright terms: Public domain W3C validator