MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummatr01lem4 Structured version   Unicode version

Theorem gsummatr01lem4 18606
Description: Lemma 2 for gsummatr01 18607. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummatr01.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
gsummatr01.r  |-  R  =  { r  e.  P  |  ( r `  K )  =  L }
gsummatr01.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummatr01.s  |-  S  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
gsummatr01lem4  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N 
\  { L }
)  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n ) ) )
Distinct variable groups:    A, i,
j, n    B, i,
j, n    i, G, j, n    i, K, j, n    K, r    i, L, j, n    L, r   
i, N, j, n    P, r    Q, r    Q, i, j, n    R, i, j, n    S, i, j, n    .0. , i,
j, n
Allowed substitution hints:    A( r)    B( r)    P( i, j, n)    R( r)    S( r)    G( r)    N( r)    .0. ( r)

Proof of Theorem gsummatr01lem4
StepHypRef Expression
1 eqidd 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) )
2 eqeq1 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  n  ->  (
i  =  K  <->  n  =  K ) )
32adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  -> 
( i  =  K  <-> 
n  =  K ) )
4 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( Q `  n )  ->  (
j  =  L  <->  ( Q `  n )  =  L ) )
54adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  -> 
( j  =  L  <-> 
( Q `  n
)  =  L ) )
65ifbid 3922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  ->  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
)  =  if ( ( Q `  n
)  =  L ,  .0.  ,  B ) )
7 oveq12 6212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  -> 
( i A j )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
83, 6, 7ifbieq12d 3927 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( n A ( Q `  n ) ) ) )
9 eldifsni 4112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  n  =/=  K )
109neneqd 2655 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  -.  n  =  K
)
11 iffalse 3910 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  n  =  K  ->  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( n A ( Q `
 n ) ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( n A ( Q `
 n ) ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
1312adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  if (
n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( n A ( Q `  n ) ) )  =  ( n A ( Q `  n
) ) )
148, 13sylan9eqr 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  ( N  \  { K }
) )  /\  (
i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) ) )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) )  =  ( n A ( Q `  n
) ) )
15 eldifi 3589 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  n  e.  N )
1615adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  n  e.  N )
17 gsummatr01.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
18 gsummatr01.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  { r  e.  P  |  ( r `  K )  =  L }
1917, 18gsummatr01lem1 18603 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  N )  ->  ( Q `  n
)  e.  N )
2015, 19sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( Q `  n )  e.  N
)
21 ovex 6228 . . . . . . . 8  |-  ( n A ( Q `  n ) )  e. 
_V
2221a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( n A ( Q `  n ) )  e. 
_V )
231, 14, 16, 20, 22ovmpt2d 6331 . . . . . 6  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( n
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
2423ex 434 . . . . 5  |-  ( Q  e.  R  ->  (
n  e.  ( N 
\  { K }
)  ->  ( n
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) ) )
25243ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) ) )
26253ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) ) )
2726imp 429 . 2  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
28 eqidd 2455 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { L } )  |->  ( i A j ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N 
\  { L }
)  |->  ( i A j ) ) )
297adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
) )  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  /\  ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) ) )  ->  (
i A j )  =  ( n A ( Q `  n
) ) )
30 eqidd 2455 . . 3  |-  ( ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
) )  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  /\  i  =  n )  ->  ( N  \  { L } )  =  ( N  \  { L } ) )
31 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  n  e.  ( N  \  { K } ) )
32 fveq1 5801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  Q  ->  (
r `  K )  =  ( Q `  K ) )
3332eqeq1d 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  Q  ->  (
( r `  K
)  =  L  <->  ( Q `  K )  =  L ) )
3433, 18elrab2 3226 . . . . . . . . 9  |-  ( Q  e.  R  <->  ( Q  e.  P  /\  ( Q `  K )  =  L ) )
35 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `  K
)  =  L )  /\  ( L  e.  N  /\  K  e.  N ) )  ->  Q  e.  P )
36 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
3736, 17symgfv 16015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q  e.  P  /\  n  e.  N )  ->  ( Q `  n
)  e.  N )
3835, 15, 37syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `
 K )  =  L )  /\  ( L  e.  N  /\  K  e.  N )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( Q `  n
)  e.  N )
3935adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `
 K )  =  L )  /\  ( L  e.  N  /\  K  e.  N )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  Q  e.  P )
40 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `
 K )  =  L )  /\  ( L  e.  N  /\  K  e.  N )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  K  e.  N )
4115adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `
 K )  =  L )  /\  ( L  e.  N  /\  K  e.  N )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  n  e.  N )
4239, 40, 413jca 1168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `
 K )  =  L )  /\  ( L  e.  N  /\  K  e.  N )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( Q  e.  P  /\  K  e.  N  /\  n  e.  N
) )
43 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `
 K )  =  L )  /\  ( L  e.  N  /\  K  e.  N )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( Q `  K
)  =  L )
449adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `
 K )  =  L )  /\  ( L  e.  N  /\  K  e.  N )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  n  =/=  K )
4536, 17symgfvne 16016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q  e.  P  /\  K  e.  N  /\  n  e.  N )  ->  ( ( Q `  K )  =  L  ->  ( n  =/= 
K  ->  ( Q `  n )  =/=  L
) ) )
4642, 43, 44, 45syl3c 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `
 K )  =  L )  /\  ( L  e.  N  /\  K  e.  N )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( Q `  n
)  =/=  L )
4738, 46jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `
 K )  =  L )  /\  ( L  e.  N  /\  K  e.  N )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( Q `  n )  e.  N  /\  ( Q `  n
)  =/=  L ) )
4847exp42 611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `  K )  =  L )  -> 
( L  e.  N  ->  ( K  e.  N  ->  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
( Q `  n
)  e.  N  /\  ( Q `  n )  =/=  L ) ) ) ) )
4934, 48sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( Q  e.  R  ->  ( L  e.  N  ->  ( K  e.  N  -> 
( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
( Q `  n
)  e.  N  /\  ( Q `  n )  =/=  L ) ) ) ) )
5049com13 80 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  N  ->  ( L  e.  N  ->  ( Q  e.  R  -> 
( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
( Q `  n
)  e.  N  /\  ( Q `  n )  =/=  L ) ) ) ) )
51503imp 1182 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
( Q `  n
)  e.  N  /\  ( Q `  n )  =/=  L ) ) )
52513ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
( Q `  n
)  e.  N  /\  ( Q `  n )  =/=  L ) ) )
5352imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( Q `  n )  e.  N  /\  ( Q `  n
)  =/=  L ) )
54 eldifsn 4111 . . . 4  |-  ( ( Q `  n )  e.  ( N  \  { L } )  <->  ( ( Q `  n )  e.  N  /\  ( Q `  n )  =/=  L ) )
5553, 54sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( Q `  n
)  e.  ( N 
\  { L }
) )
5621a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n A ( Q `  n ) )  e.  _V )
57 nfv 1674 . . . . 5  |-  F/ i ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )
58 nfra1 2810 . . . . . 6  |-  F/ i A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S
59 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ i S
6059nfel2 2634 . . . . . 6  |-  F/ i  B  e.  S
6158, 60nfan 1866 . . . . 5  |-  F/ i ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)
62 nfv 1674 . . . . 5  |-  F/ i ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)
6357, 61, 62nf3an 1868 . . . 4  |-  F/ i ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)
64 nfcv 2616 . . . . 5  |-  F/_ i
( N  \  { K } )
6564nfel2 2634 . . . 4  |-  F/ i  n  e.  ( N 
\  { K }
)
6663, 65nfan 1866 . . 3  |-  F/ i ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
) )  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )
67 nfv 1674 . . . . 5  |-  F/ j ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )
68 nfra2 2889 . . . . . 6  |-  F/ j A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S
69 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ j S
7069nfel2 2634 . . . . . 6  |-  F/ j  B  e.  S
7168, 70nfan 1866 . . . . 5  |-  F/ j ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)
72 nfv 1674 . . . . 5  |-  F/ j ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)
7367, 71, 72nf3an 1868 . . . 4  |-  F/ j ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)
74 nfcv 2616 . . . . 5  |-  F/_ j
( N  \  { K } )
7574nfel2 2634 . . . 4  |-  F/ j  n  e.  ( N 
\  { K }
)
7673, 75nfan 1866 . . 3  |-  F/ j ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
) )  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )
77 nfcv 2616 . . 3  |-  F/_ j
n
78 nfcv 2616 . . 3  |-  F/_ i
( Q `  n
)
79 nfcv 2616 . . 3  |-  F/_ i
( n A ( Q `  n ) )
80 nfcv 2616 . . 3  |-  F/_ j
( n A ( Q `  n ) )
8128, 29, 30, 31, 55, 56, 66, 76, 77, 78, 79, 80ovmpt2dxf 6329 . 2  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N 
\  { L }
)  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
8227, 81eqtr4d 2498 1  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N 
\  { L }
)  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   {crab 2803   _Vcvv 3078    \ cdif 3436   ifcif 3902   {csn 3988   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205   Fincfn 7423   Basecbs 14296   0gc0g 14501   SymGrpcsymg 16005  CMndccmn 16402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-plusg 14374  df-tset 14380  df-symg 16006
This theorem is referenced by:  gsummatr01  18607
  Copyright terms: Public domain W3C validator