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Theorem gsummatr01lem4 19029
Description: Lemma 2 for gsummatr01 19030. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummatr01.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
gsummatr01.r  |-  R  =  { r  e.  P  |  ( r `  K )  =  L }
gsummatr01.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummatr01.s  |-  S  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
gsummatr01lem4  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N 
\  { L }
)  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n ) ) )
Distinct variable groups:    A, i,
j, n    B, i,
j, n    i, G, j, n    i, K, j, n    K, r    i, L, j, n    L, r   
i, N, j, n    P, r    Q, r    Q, i, j, n    R, i, j, n    S, i, j, n    .0. , i,
j, n
Allowed substitution hints:    A( r)    B( r)    P( i, j, n)    R( r)    S( r)    G( r)    N( r)    .0. ( r)

Proof of Theorem gsummatr01lem4
StepHypRef Expression
1 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) )
2 eqeq1 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  n  ->  (
i  =  K  <->  n  =  K ) )
32adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  -> 
( i  =  K  <-> 
n  =  K ) )
4 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( Q `  n )  ->  (
j  =  L  <->  ( Q `  n )  =  L ) )
54adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  -> 
( j  =  L  <-> 
( Q `  n
)  =  L ) )
65ifbid 3967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  ->  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
)  =  if ( ( Q `  n
)  =  L ,  .0.  ,  B ) )
7 oveq12 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  -> 
( i A j )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
83, 6, 7ifbieq12d 3972 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( n A ( Q `  n ) ) ) )
9 eldifsni 4159 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  n  =/=  K )
109neneqd 2669 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  -.  n  =  K
)
11 iffalse 3954 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  n  =  K  ->  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( n A ( Q `
 n ) ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( n A ( Q `
 n ) ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
1312adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  if (
n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( n A ( Q `  n ) ) )  =  ( n A ( Q `  n
) ) )
148, 13sylan9eqr 2530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  ( N  \  { K }
) )  /\  (
i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) ) )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) )  =  ( n A ( Q `  n
) ) )
15 eldifi 3631 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  n  e.  N )
1615adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  n  e.  N )
17 gsummatr01.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
18 gsummatr01.r . . . . . . . . 9  |-  R  =  { r  e.  P  |  ( r `  K )  =  L }
1917, 18gsummatr01lem1 19026 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  N )  ->  ( Q `  n
)  e.  N )
2015, 19sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( Q `  n )  e.  N
)
21 ovex 6320 . . . . . . . 8  |-  ( n A ( Q `  n ) )  e. 
_V
2221a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( n A ( Q `  n ) )  e. 
_V )
231, 14, 16, 20, 22ovmpt2d 6425 . . . . . 6  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( n
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
2423ex 434 . . . . 5  |-  ( Q  e.  R  ->  (
n  e.  ( N 
\  { K }
)  ->  ( n
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) ) )
25243ad2ant3 1019 . . . 4  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) ) )
26253ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) ) )
2726imp 429 . 2  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
28 eqidd 2468 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { L } )  |->  ( i A j ) )  =  ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N 
\  { L }
)  |->  ( i A j ) ) )
297adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
) )  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  /\  ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) ) )  ->  (
i A j )  =  ( n A ( Q `  n
) ) )
30 eqidd 2468 . . 3  |-  ( ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
) )  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  /\  i  =  n )  ->  ( N  \  { L } )  =  ( N  \  { L } ) )
31 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  n  e.  ( N  \  { K } ) )
32 fveq1 5871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  Q  ->  (
r `  K )  =  ( Q `  K ) )
3332eqeq1d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  Q  ->  (
( r `  K
)  =  L  <->  ( Q `  K )  =  L ) )
3433, 18elrab2 3268 . . . . . . . . 9  |-  ( Q  e.  R  <->  ( Q  e.  P  /\  ( Q `  K )  =  L ) )
35 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `  K
)  =  L )  /\  ( L  e.  N  /\  K  e.  N ) )  ->  Q  e.  P )
36 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( SymGrp `  N )  =  (
SymGrp `  N )
3736, 17symgfv 16284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q  e.  P  /\  n  e.  N )  ->  ( Q `  n
)  e.  N )
3835, 15, 37syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `
 K )  =  L )  /\  ( L  e.  N  /\  K  e.  N )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( Q `  n
)  e.  N )
3935adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `
 K )  =  L )  /\  ( L  e.  N  /\  K  e.  N )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  Q  e.  P )
40 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `
 K )  =  L )  /\  ( L  e.  N  /\  K  e.  N )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  K  e.  N )
4115adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `
 K )  =  L )  /\  ( L  e.  N  /\  K  e.  N )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  n  e.  N )
4239, 40, 413jca 1176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `
 K )  =  L )  /\  ( L  e.  N  /\  K  e.  N )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( Q  e.  P  /\  K  e.  N  /\  n  e.  N
) )
43 simpllr 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `
 K )  =  L )  /\  ( L  e.  N  /\  K  e.  N )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( Q `  K
)  =  L )
449adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `
 K )  =  L )  /\  ( L  e.  N  /\  K  e.  N )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  n  =/=  K )
4536, 17symgfvne 16285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q  e.  P  /\  K  e.  N  /\  n  e.  N )  ->  ( ( Q `  K )  =  L  ->  ( n  =/= 
K  ->  ( Q `  n )  =/=  L
) ) )
4642, 43, 44, 45syl3c 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `
 K )  =  L )  /\  ( L  e.  N  /\  K  e.  N )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( Q `  n
)  =/=  L )
4738, 46jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `
 K )  =  L )  /\  ( L  e.  N  /\  K  e.  N )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( Q `  n )  e.  N  /\  ( Q `  n
)  =/=  L ) )
4847exp42 611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `  K )  =  L )  -> 
( L  e.  N  ->  ( K  e.  N  ->  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
( Q `  n
)  e.  N  /\  ( Q `  n )  =/=  L ) ) ) ) )
4934, 48sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( Q  e.  R  ->  ( L  e.  N  ->  ( K  e.  N  -> 
( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
( Q `  n
)  e.  N  /\  ( Q `  n )  =/=  L ) ) ) ) )
5049com13 80 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  N  ->  ( L  e.  N  ->  ( Q  e.  R  -> 
( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
( Q `  n
)  e.  N  /\  ( Q `  n )  =/=  L ) ) ) ) )
51503imp 1190 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
( Q `  n
)  e.  N  /\  ( Q `  n )  =/=  L ) ) )
52513ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
( Q `  n
)  e.  N  /\  ( Q `  n )  =/=  L ) ) )
5352imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( Q `  n )  e.  N  /\  ( Q `  n
)  =/=  L ) )
54 eldifsn 4158 . . . 4  |-  ( ( Q `  n )  e.  ( N  \  { L } )  <->  ( ( Q `  n )  e.  N  /\  ( Q `  n )  =/=  L ) )
5553, 54sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( Q `  n
)  e.  ( N 
\  { L }
) )
5621a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n A ( Q `  n ) )  e.  _V )
57 nfv 1683 . . . . 5  |-  F/ i ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )
58 nfra1 2848 . . . . . 6  |-  F/ i A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S
59 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ i S
6059nfel2 2647 . . . . . 6  |-  F/ i  B  e.  S
6158, 60nfan 1875 . . . . 5  |-  F/ i ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)
62 nfv 1683 . . . . 5  |-  F/ i ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)
6357, 61, 62nf3an 1877 . . . 4  |-  F/ i ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)
64 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ i
( N  \  { K } )
6564nfel2 2647 . . . 4  |-  F/ i  n  e.  ( N 
\  { K }
)
6663, 65nfan 1875 . . 3  |-  F/ i ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
) )  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )
67 nfv 1683 . . . . 5  |-  F/ j ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )
68 nfra2 2854 . . . . . 6  |-  F/ j A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S
69 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ j S
7069nfel2 2647 . . . . . 6  |-  F/ j  B  e.  S
7168, 70nfan 1875 . . . . 5  |-  F/ j ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)
72 nfv 1683 . . . . 5  |-  F/ j ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)
7367, 71, 72nf3an 1877 . . . 4  |-  F/ j ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)
74 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ j
( N  \  { K } )
7574nfel2 2647 . . . 4  |-  F/ j  n  e.  ( N 
\  { K }
)
7673, 75nfan 1875 . . 3  |-  F/ j ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
) )  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )
77 nfcv 2629 . . 3  |-  F/_ j
n
78 nfcv 2629 . . 3  |-  F/_ i
( Q `  n
)
79 nfcv 2629 . . 3  |-  F/_ i
( n A ( Q `  n ) )
80 nfcv 2629 . . 3  |-  F/_ j
( n A ( Q `  n ) )
8128, 29, 30, 31, 55, 56, 66, 76, 77, 78, 79, 80ovmpt2dxf 6423 . 2  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N 
\  { L }
)  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
8227, 81eqtr4d 2511 1  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N 
\  { L }
)  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118    \ cdif 3478   ifcif 3945   {csn 4033   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   Fincfn 7528   Basecbs 14507   0gc0g 14712   SymGrpcsymg 16274  CMndccmn 16671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-tset 14591  df-symg 16275
This theorem is referenced by:  gsummatr01  19030
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