Theorem gsummatr01lem3 19028

Description: Lemma 1 for gsummatr01 19030. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummatr01.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
gsummatr01.r	|- R = { r e. P | ( r ` K ) = L }
gsummatr01.0	|- .0. = ( 0g ` G )
gsummatr01.s	|- S = ( Base ` G )

Assertion

Ref

Expression

gsummatr01lem3

|- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( G gsumg ( n e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) ( +g ` G ) ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, i, j, n   B, i, j, n   i, G, j, n   i, K, j, n   K, r   i, L, j, n   L, r   i, N, j, n   P, r   Q, r   Q, i, j, n   R, i, j, n   S, i, j, n   .0. , i, j, n

Allowed substitution hints:   A( r)   B( r)   P( i, j, n)   R( r)   S( r)   G( r)   N( r)   .0. ( r)

Proof of Theorem gsummatr01lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. 2 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2467	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		simpl 457	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) -> G e. CMnd )
4	3	3ad2ant1 1017	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> G e. CMnd )
5		diffi 7763	. . . 4 |- ( N e. Fin -> ( N \ { K } ) e. Fin )
6	5	adantl 466	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) -> ( N \ { K } ) e. Fin )
7	6	3ad2ant1 1017	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( N \ { K } ) e. Fin )
8		eqidd 2468	. . . . 5 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) )
9		eqeq1 2471	. . . . . . . 8 |- ( i = n -> ( i = K <-> n = K ) )
10	9	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> ( i = K <-> n = K ) )
11		eqeq1 2471	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( Q ` n ) -> ( j = L <-> ( Q ` n ) = L ) )
12	11	ifbid 3967	. . . . . . . 8 |- ( j = ( Q ` n ) -> if ( j = L , .0. , B ) = if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) )
13	12	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> if ( j = L , .0. , B ) = if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) )
14		oveq12 6304	. . . . . . 7 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> ( i A j ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
15	10, 13, 14	ifbieq12d 3972	. . . . . 6 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = if ( n = K , if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) , ( n A ( Q ` n ) ) ) )
16		eldifsni 4159	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> n =/= K )
17	16	neneqd 2669	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> -. n = K )
18		iffalse 3954	. . . . . . . 8 |- ( -. n = K -> if ( n = K , if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) , ( n A ( Q ` n ) ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . 7 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> if ( n = K , if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) , ( n A ( Q ` n ) ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
20	19	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> if ( n = K , if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) , ( n A ( Q ` n ) ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
21	15, 20	sylan9eqr 2530	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) /\ ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) ) -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
22		eldifi 3631	. . . . . 6 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> n e. N )
23	22	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> n e. N )
24		gsummatr01.p	. . . . . . . . . . 11 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
25		gsummatr01.r	. . . . . . . . . . 11 |- R = { r e. P | ( r ` K ) = L }
26	24, 25	gsummatr01lem1 19026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q e. R /\ n e. N ) -> ( Q ` n ) e. N )
27	26	expcom 435	. . . . . . . . 9 |- ( n e. N -> ( Q e. R -> ( Q ` n ) e. N ) )
28	22, 27	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> ( Q e. R -> ( Q ` n ) e. N ) )
29	28	com12 31	. . . . . . 7 |- ( Q e. R -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( Q ` n ) e. N ) )
30	29	3ad2ant3 1019	. . . . . 6 |- ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( Q ` n ) e. N ) )
31	30	imp 429	. . . . 5 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( Q ` n ) e. N )
32		ovex 6320	. . . . . 6 |- ( n A ( Q ` n ) ) e. _V
33	32	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. _V )
34	8, 21, 23, 31, 33	ovmpt2d 6425	. . . 4 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
35	34	3ad2antl3 1160	. . 3 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
36		gsummatr01.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( Base ` G )
37	36	eleq2i 2545	. . . . . . . . 9 |- ( ( i A j ) e. S <-> ( i A j ) e. ( Base ` G ) )
38	37	2ralbii 2899	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S <-> A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. ( Base ` G ) )
39	24, 25	gsummatr01lem2 19027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q e. R /\ n e. N ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. ( Base ` G ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) )
40	22, 39	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q e. R /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. ( Base ` G ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) )
41	40	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( Q e. R -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. ( Base ` G ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) ) )
42	41	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. ( Base ` G ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) ) )
43	42	com3r 79	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. ( Base ` G ) -> ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) ) )
44	38, 43	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S -> ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) ) )
45	44	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) -> ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) ) )
46	45	imp 429	. . . . 5 |- ( ( ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) )
47	46	imp 429	. . . 4 |- ( ( ( ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) )
48	47	3adantl1 1152	. . 3 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) )
49	35, 48	eqeltrd 2555	. 2 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) )
50		simp31 1032	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> K e. N )
51		neldifsnd 4161	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> -. K e. ( N \ { K } ) )
52		eqidd 2468	. . . . . 6 |- ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) )
53		iftrue 3951	. . . . . . . 8 |- ( i = K -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = if ( j = L , .0. , B ) )
54		eqeq1 2471	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( Q ` K ) -> ( j = L <-> ( Q ` K ) = L ) )
55	54	ifbid 3967	. . . . . . . 8 |- ( j = ( Q ` K ) -> if ( j = L , .0. , B ) = if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) )
56	53, 55	sylan9eq 2528	. . . . . . 7 |- ( ( i = K /\ j = ( Q ` K ) ) -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) )
57	56	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ ( i = K /\ j = ( Q ` K ) ) ) -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) )
58		simpr1 1002	. . . . . 6 |- ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> K e. N )
59	24, 25	gsummatr01lem1 19026	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q e. R /\ K e. N ) -> ( Q ` K ) e. N )
60	59	ancoms 453	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. N /\ Q e. R ) -> ( Q ` K ) e. N )
61	60	3adant2 1015	. . . . . . 7 |- ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( Q ` K ) e. N )
62	61	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( Q ` K ) e. N )
63		gsummatr01.0	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` G )
64		fvex 5882	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) e. _V
65	63, 64	eqeltri 2551	. . . . . . 7 |- .0. e. _V
66		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> B e. S )
67		ifexg 4015	. . . . . . 7 |- ( ( .0. e. _V /\ B e. S ) -> if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) e. _V )
68	65, 66, 67	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) e. _V )
69	52, 57, 58, 62, 68	ovmpt2d 6425	. . . . 5 |- ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) = if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) )
70	69	adantll 713	. . . 4 |- ( ( ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) = if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) )
71	70	3adant1 1014	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) = if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) )
72		cmnmnd 16686	. . . . . . 7 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
73	1, 63	mndidcl 15811	. . . . . . 7 |- ( G e. Mnd -> .0. e. ( Base ` G ) )
74	72, 73	syl 16	. . . . . 6 |- ( G e. CMnd -> .0. e. ( Base ` G ) )
75	74	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
76	75	3ad2ant1 1017	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
77	36	eleq2i 2545	. . . . . . 7 |- ( B e. S <-> B e. ( Base ` G ) )
78	77	biimpi 194	. . . . . 6 |- ( B e. S -> B e. ( Base ` G ) )
79	78	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) -> B e. ( Base ` G ) )
80	79	3ad2ant2 1018	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> B e. ( Base ` G ) )
81	76, 80	ifcld 3988	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) e. ( Base ` G ) )
82	71, 81	eqeltrd 2555	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) e. ( Base ` G ) )
83		id 22	. . 3 |- ( n = K -> n = K )
84		fveq2 5872	. . 3 |- ( n = K -> ( Q ` n ) = ( Q ` K ) )
85	83, 84	oveq12d 6313	. 2 |- ( n = K -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) = ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) )
86	1, 2, 4, 7, 49, 50, 51, 82, 85	gsumunsn 16859	1 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( G gsumg ( n e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) ( +g ` G ) ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118   \ cdif 3478   u. cun 3479   ifcif 3945   {csn 4033   |-> cmpt 4511   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   |-> cmpt2 6297   Fincfn 7528   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   0gc0g 14712   gsum_g cgsu 14713   Mndcmnd 15793   SymGrpcsymg 16274  CMndccmn 16671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-tset 14591  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-symg 16275  df-cmn 16673

This theorem is referenced by:  gsummatr01  19030