Theorem gsummatr01lem3 18598

Description: Lemma 1 for gsummatr01 18600. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummatr01.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
gsummatr01.r	|- R = { r e. P | ( r ` K ) = L }
gsummatr01.0	|- .0. = ( 0g ` G )
gsummatr01.s	|- S = ( Base ` G )

Assertion

Ref

Expression

gsummatr01lem3

|- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( G gsumg ( n e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) ( +g ` G ) ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, i, j, n   B, i, j, n   i, G, j, n   i, K, j, n   K, r   i, L, j, n   L, r   i, N, j, n   P, r   Q, r   Q, i, j, n   R, i, j, n   S, i, j, n   .0. , i, j, n

Allowed substitution hints:   A( r)   B( r)   P( i, j, n)   R( r)   S( r)   G( r)   N( r)   .0. ( r)

Proof of Theorem gsummatr01lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2454	. 2 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2454	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		simpl 457	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) -> G e. CMnd )
4	3	3ad2ant1 1009	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> G e. CMnd )
5		diffi 7657	. . . 4 |- ( N e. Fin -> ( N \ { K } ) e. Fin )
6	5	adantl 466	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) -> ( N \ { K } ) e. Fin )
7	6	3ad2ant1 1009	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( N \ { K } ) e. Fin )
8		eqidd 2455	. . . . 5 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) )
9		eqeq1 2458	. . . . . . . 8 |- ( i = n -> ( i = K <-> n = K ) )
10	9	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> ( i = K <-> n = K ) )
11		eqeq1 2458	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( Q ` n ) -> ( j = L <-> ( Q ` n ) = L ) )
12	11	ifbid 3922	. . . . . . . 8 |- ( j = ( Q ` n ) -> if ( j = L , .0. , B ) = if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) )
13	12	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> if ( j = L , .0. , B ) = if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) )
14		oveq12 6212	. . . . . . 7 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> ( i A j ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
15	10, 13, 14	ifbieq12d 3927	. . . . . 6 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = if ( n = K , if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) , ( n A ( Q ` n ) ) ) )
16		eldifsni 4112	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> n =/= K )
17	16	neneqd 2655	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> -. n = K )
18		iffalse 3910	. . . . . . . 8 |- ( -. n = K -> if ( n = K , if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) , ( n A ( Q ` n ) ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . 7 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> if ( n = K , if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) , ( n A ( Q ` n ) ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
20	19	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> if ( n = K , if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) , ( n A ( Q ` n ) ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
21	15, 20	sylan9eqr 2517	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) /\ ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) ) -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
22		eldifi 3589	. . . . . 6 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> n e. N )
23	22	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> n e. N )
24		gsummatr01.p	. . . . . . . . . . 11 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
25		gsummatr01.r	. . . . . . . . . . 11 |- R = { r e. P | ( r ` K ) = L }
26	24, 25	gsummatr01lem1 18596	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q e. R /\ n e. N ) -> ( Q ` n ) e. N )
27	26	expcom 435	. . . . . . . . 9 |- ( n e. N -> ( Q e. R -> ( Q ` n ) e. N ) )
28	22, 27	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> ( Q e. R -> ( Q ` n ) e. N ) )
29	28	com12 31	. . . . . . 7 |- ( Q e. R -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( Q ` n ) e. N ) )
30	29	3ad2ant3 1011	. . . . . 6 |- ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( Q ` n ) e. N ) )
31	30	imp 429	. . . . 5 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( Q ` n ) e. N )
32		ovex 6228	. . . . . 6 |- ( n A ( Q ` n ) ) e. _V
33	32	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. _V )
34	8, 21, 23, 31, 33	ovmpt2d 6331	. . . 4 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
35	34	3ad2antl3 1152	. . 3 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
36		gsummatr01.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( Base ` G )
37	36	eleq2i 2532	. . . . . . . . 9 |- ( ( i A j ) e. S <-> ( i A j ) e. ( Base ` G ) )
38	37	2ralbii 2840	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S <-> A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. ( Base ` G ) )
39	24, 25	gsummatr01lem2 18597	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q e. R /\ n e. N ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. ( Base ` G ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) )
40	22, 39	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q e. R /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. ( Base ` G ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) )
41	40	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( Q e. R -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. ( Base ` G ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) ) )
42	41	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. ( Base ` G ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) ) )
43	42	com3r 79	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. ( Base ` G ) -> ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) ) )
44	38, 43	sylbi 195	. . . . . . 7 |- ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S -> ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) ) )
45	44	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) -> ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) ) )
46	45	imp 429	. . . . 5 |- ( ( ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) )
47	46	imp 429	. . . 4 |- ( ( ( ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) )
48	47	3adantl1 1144	. . 3 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) )
49	35, 48	eqeltrd 2542	. 2 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) )
50		simp31 1024	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> K e. N )
51		neldifsnd 4114	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> -. K e. ( N \ { K } ) )
52		eqidd 2455	. . . . . 6 |- ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) )
53		iftrue 3908	. . . . . . . 8 |- ( i = K -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = if ( j = L , .0. , B ) )
54		eqeq1 2458	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( Q ` K ) -> ( j = L <-> ( Q ` K ) = L ) )
55	54	ifbid 3922	. . . . . . . 8 |- ( j = ( Q ` K ) -> if ( j = L , .0. , B ) = if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) )
56	53, 55	sylan9eq 2515	. . . . . . 7 |- ( ( i = K /\ j = ( Q ` K ) ) -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) )
57	56	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ ( i = K /\ j = ( Q ` K ) ) ) -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) )
58		simpr1 994	. . . . . 6 |- ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> K e. N )
59	24, 25	gsummatr01lem1 18596	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q e. R /\ K e. N ) -> ( Q ` K ) e. N )
60	59	ancoms 453	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. N /\ Q e. R ) -> ( Q ` K ) e. N )
61	60	3adant2 1007	. . . . . . 7 |- ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( Q ` K ) e. N )
62	61	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( Q ` K ) e. N )
63		gsummatr01.0	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` G )
64		fvex 5812	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) e. _V
65	63, 64	eqeltri 2538	. . . . . . 7 |- .0. e. _V
66		simpl 457	. . . . . . 7 |- ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> B e. S )
67		ifexg 3970	. . . . . . 7 |- ( ( .0. e. _V /\ B e. S ) -> if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) e. _V )
68	65, 66, 67	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) e. _V )
69	52, 57, 58, 62, 68	ovmpt2d 6331	. . . . 5 |- ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) = if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) )
70	69	adantll 713	. . . 4 |- ( ( ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) = if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) )
71	70	3adant1 1006	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) = if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) )
72		cmnmnd 16416	. . . . . . 7 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
73	1, 63	mndidcl 15561	. . . . . . 7 |- ( G e. Mnd -> .0. e. ( Base ` G ) )
74	72, 73	syl 16	. . . . . 6 |- ( G e. CMnd -> .0. e. ( Base ` G ) )
75	74	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
76	75	3ad2ant1 1009	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
77	36	eleq2i 2532	. . . . . . 7 |- ( B e. S <-> B e. ( Base ` G ) )
78	77	biimpi 194	. . . . . 6 |- ( B e. S -> B e. ( Base ` G ) )
79	78	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) -> B e. ( Base ` G ) )
80	79	3ad2ant2 1010	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> B e. ( Base ` G ) )
81	76, 80	ifcld 3943	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) e. ( Base ` G ) )
82	71, 81	eqeltrd 2542	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) e. ( Base ` G ) )
83		id 22	. . 3 |- ( n = K -> n = K )
84		fveq2 5802	. . 3 |- ( n = K -> ( Q ` n ) = ( Q ` K ) )
85	83, 84	oveq12d 6221	. 2 |- ( n = K -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) = ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) )
86	1, 2, 4, 7, 49, 50, 51, 82, 85	gsumunsn 16578	1 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( G gsumg ( n e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) ( +g ` G ) ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   {crab 2803   _Vcvv 3078   \ cdif 3436   u. cun 3437   ifcif 3902   {csn 3988   |-> cmpt 4461   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   |-> cmpt2 6205   Fincfn 7423   Basecbs 14295   +g cplusg 14360   0gc0g 14500   gsum_g cgsu 14501   Mndcmnd 15531   SymGrpcsymg 16004  CMndccmn 16401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-tset 14379  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-symg 16005  df-cmn 16403

This theorem is referenced by:  gsummatr01  18600