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Theorem gsummatr01lem3 19028
Description: Lemma 1 for gsummatr01 19030. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummatr01.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
gsummatr01.r  |-  R  =  { r  e.  P  |  ( r `  K )  =  L }
gsummatr01.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummatr01.s  |-  S  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
gsummatr01lem3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) ( +g  `  G
) ( K ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `
 K ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, i,
j, n    B, i,
j, n    i, G, j, n    i, K, j, n    K, r    i, L, j, n    L, r   
i, N, j, n    P, r    Q, r    Q, i, j, n    R, i, j, n    S, i, j, n    .0. , i,
j, n
Allowed substitution hints:    A( r)    B( r)    P( i, j, n)    R( r)    S( r)    G( r)    N( r)    .0. ( r)

Proof of Theorem gsummatr01lem3
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . 2  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 eqid 2467 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
3 simpl 457 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  ->  G  e. CMnd )
433ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  ->  G  e. CMnd )
5 diffi 7763 . . . 4  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  \  { K }
)  e.  Fin )
65adantl 466 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  \  { K }
)  e.  Fin )
763ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( N  \  { K } )  e.  Fin )
8 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) )
9 eqeq1 2471 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  n  ->  (
i  =  K  <->  n  =  K ) )
109adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  -> 
( i  =  K  <-> 
n  =  K ) )
11 eqeq1 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( Q `  n )  ->  (
j  =  L  <->  ( Q `  n )  =  L ) )
1211ifbid 3967 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( Q `  n )  ->  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
)  =  if ( ( Q `  n
)  =  L ,  .0.  ,  B ) )
1312adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  ->  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
)  =  if ( ( Q `  n
)  =  L ,  .0.  ,  B ) )
14 oveq12 6304 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  -> 
( i A j )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
1510, 13, 14ifbieq12d 3972 . . . . . 6  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( n A ( Q `  n ) ) ) )
16 eldifsni 4159 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  n  =/=  K )
1716neneqd 2669 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  -.  n  =  K
)
18 iffalse 3954 . . . . . . . 8  |-  ( -.  n  =  K  ->  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( n A ( Q `
 n ) ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( n A ( Q `
 n ) ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
2019adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( n A ( Q `
 n ) ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
2115, 20sylan9eqr 2530 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  /\  ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) ) )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
22 eldifi 3631 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  n  e.  N )
2322adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  n  e.  N )
24 gsummatr01.p . . . . . . . . . . 11  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
25 gsummatr01.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  { r  e.  P  |  ( r `  K )  =  L }
2624, 25gsummatr01lem1 19026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  N )  ->  ( Q `  n
)  e.  N )
2726expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  N  ->  ( Q  e.  R  ->  ( Q `  n )  e.  N ) )
2822, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  -> 
( Q  e.  R  ->  ( Q `  n
)  e.  N ) )
2928com12 31 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  R  ->  (
n  e.  ( N 
\  { K }
)  ->  ( Q `  n )  e.  N
) )
30293ad2ant3 1019 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  ( Q `  n )  e.  N ) )
3130imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( Q `  n
)  e.  N )
32 ovex 6320 . . . . . 6  |-  ( n A ( Q `  n ) )  e. 
_V
3332a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n A ( Q `  n ) )  e.  _V )
348, 21, 23, 31, 33ovmpt2d 6425 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
35343ad2antl3 1160 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
36 gsummatr01.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( Base `  G
)
3736eleq2i 2545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( i A j )  e.  S  <->  ( i A j )  e.  ( Base `  G
) )
38372ralbii 2899 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i A j )  e.  S  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  ( Base `  G
) )
3924, 25gsummatr01lem2 19027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  N )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  (
Base `  G )  ->  ( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G ) ) )
4022, 39sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i A j )  e.  ( Base `  G
)  ->  ( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G
) ) )
4140ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  R  ->  (
n  e.  ( N 
\  { K }
)  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i A j )  e.  ( Base `  G
)  ->  ( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G
) ) ) )
42413ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  ( Base `  G )  ->  (
n A ( Q `
 n ) )  e.  ( Base `  G
) ) ) )
4342com3r 79 . . . . . . . 8  |-  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i A j )  e.  ( Base `  G
)  ->  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
n A ( Q `
 n ) )  e.  ( Base `  G
) ) ) )
4438, 43sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i A j )  e.  S  ->  (
( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  ->  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
n A ( Q `
 n ) )  e.  ( Base `  G
) ) ) )
4544adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  (
n  e.  ( N 
\  { K }
)  ->  ( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G
) ) ) )
4645imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
n A ( Q `
 n ) )  e.  ( Base `  G
) ) )
4746imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G ) )
48473adantl1 1152 . . 3  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G ) )
4935, 48eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G
) )
50 simp31 1032 . 2  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  ->  K  e.  N )
51 neldifsnd 4161 . 2  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  ->  -.  K  e.  ( N  \  { K }
) )
52 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  S  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
) )  ->  (
i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) )  =  ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) )
53 iftrue 3951 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  K  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) )
54 eqeq1 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( Q `  K )  ->  (
j  =  L  <->  ( Q `  K )  =  L ) )
5554ifbid 3967 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( Q `  K )  ->  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
)  =  if ( ( Q `  K
)  =  L ,  .0.  ,  B ) )
5653, 55sylan9eq 2528 . . . . . . 7  |-  ( ( i  =  K  /\  j  =  ( Q `  K ) )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  if ( ( Q `  K
)  =  L ,  .0.  ,  B ) )
5756adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  S  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
) )  /\  (
i  =  K  /\  j  =  ( Q `  K ) ) )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) )  =  if ( ( Q `  K )  =  L ,  .0.  ,  B ) )
58 simpr1 1002 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  S  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
) )  ->  K  e.  N )
5924, 25gsummatr01lem1 19026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q  e.  R  /\  K  e.  N )  ->  ( Q `  K
)  e.  N )
6059ancoms 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( Q `  K
)  e.  N )
61603adant2 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( Q `  K
)  e.  N )
6261adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  S  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
) )  ->  ( Q `  K )  e.  N )
63 gsummatr01.0 . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
64 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
6563, 64eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  .0.  e.  _V
66 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  S  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
) )  ->  B  e.  S )
67 ifexg 4015 . . . . . . 7  |-  ( (  .0.  e.  _V  /\  B  e.  S )  ->  if ( ( Q `
 K )  =  L ,  .0.  ,  B )  e.  _V )
6865, 66, 67sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  S  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
) )  ->  if ( ( Q `  K )  =  L ,  .0.  ,  B
)  e.  _V )
6952, 57, 58, 62, 68ovmpt2d 6425 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  S  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
) )  ->  ( K ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  K ) )  =  if ( ( Q `
 K )  =  L ,  .0.  ,  B ) )
7069adantll 713 . . . 4  |-  ( ( ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( K ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  K ) )  =  if ( ( Q `
 K )  =  L ,  .0.  ,  B ) )
71703adant1 1014 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( K ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  K ) )  =  if ( ( Q `
 K )  =  L ,  .0.  ,  B ) )
72 cmnmnd 16686 . . . . . . 7  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
731, 63mndidcl 15811 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
7472, 73syl 16 . . . . . 6  |-  ( G  e. CMnd  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
7574adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
76753ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
7736eleq2i 2545 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  S  <->  B  e.  ( Base `  G )
)
7877biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( B  e.  S  ->  B  e.  ( Base `  G
) )
7978adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  B  e.  ( Base `  G ) )
80793ad2ant2 1018 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  ->  B  e.  ( Base `  G ) )
8176, 80ifcld 3988 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  ->  if ( ( Q `  K )  =  L ,  .0.  ,  B
)  e.  ( Base `  G ) )
8271, 81eqeltrd 2555 . 2  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( K ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  K ) )  e.  ( Base `  G
) )
83 id 22 . . 3  |-  ( n  =  K  ->  n  =  K )
84 fveq2 5872 . . 3  |-  ( n  =  K  ->  ( Q `  n )  =  ( Q `  K ) )
8583, 84oveq12d 6313 . 2  |-  ( n  =  K  ->  (
n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( K ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  K ) ) )
861, 2, 4, 7, 49, 50, 51, 82, 85gsumunsn 16859 1  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) ( +g  `  G
) ( K ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `
 K ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    u. cun 3479   ifcif 3945   {csn 4033    |-> cmpt 4511   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   Fincfn 7528   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   0gc0g 14712    gsumg cgsu 14713   Mndcmnd 15793   SymGrpcsymg 16274  CMndccmn 16671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-hash 12386  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-tset 14591  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-symg 16275  df-cmn 16673
This theorem is referenced by:  gsummatr01  19030
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