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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > gsummatr01lem3 | Structured version Unicode version |
Description: Lemma 1 for gsummatr01 18600. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.) |
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gsummatr01.p |
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gsummatr01.r |
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gsummatr01.0 |
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gsummatr01.s |
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gsummatr01lem3 |
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1 | eqid 2454 |
. 2
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2 | eqid 2454 |
. 2
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3 | simpl 457 |
. . 3
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4 | 3 | 3ad2ant1 1009 |
. 2
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5 | diffi 7657 |
. . . 4
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6 | 5 | adantl 466 |
. . 3
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7 | 6 | 3ad2ant1 1009 |
. 2
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8 | eqidd 2455 |
. . . . 5
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9 | eqeq1 2458 |
. . . . . . . 8
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10 | 9 | adantr 465 |
. . . . . . 7
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11 | eqeq1 2458 |
. . . . . . . . 9
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12 | 11 | ifbid 3922 |
. . . . . . . 8
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13 | 12 | adantl 466 |
. . . . . . 7
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14 | oveq12 6212 |
. . . . . . 7
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15 | 10, 13, 14 | ifbieq12d 3927 |
. . . . . 6
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16 | eldifsni 4112 |
. . . . . . . . 9
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17 | 16 | neneqd 2655 |
. . . . . . . 8
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18 | iffalse 3910 |
. . . . . . . 8
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19 | 17, 18 | syl 16 |
. . . . . . 7
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20 | 19 | adantl 466 |
. . . . . 6
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21 | 15, 20 | sylan9eqr 2517 |
. . . . 5
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22 | eldifi 3589 |
. . . . . 6
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23 | 22 | adantl 466 |
. . . . 5
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24 | gsummatr01.p |
. . . . . . . . . . 11
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25 | gsummatr01.r |
. . . . . . . . . . 11
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26 | 24, 25 | gsummatr01lem1 18596 |
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27 | 26 | expcom 435 |
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28 | 22, 27 | syl 16 |
. . . . . . . 8
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29 | 28 | com12 31 |
. . . . . . 7
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30 | 29 | 3ad2ant3 1011 |
. . . . . 6
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31 | 30 | imp 429 |
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32 | ovex 6228 |
. . . . . 6
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33 | 32 | a1i 11 |
. . . . 5
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34 | 8, 21, 23, 31, 33 | ovmpt2d 6331 |
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35 | 34 | 3ad2antl3 1152 |
. . 3
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36 | gsummatr01.s |
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37 | 36 | eleq2i 2532 |
. . . . . . . . 9
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38 | 37 | 2ralbii 2840 |
. . . . . . . 8
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39 | 24, 25 | gsummatr01lem2 18597 |
. . . . . . . . . . . 12
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40 | 22, 39 | sylan2 474 |
. . . . . . . . . . 11
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41 | 40 | ex 434 |
. . . . . . . . . 10
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42 | 41 | 3ad2ant3 1011 |
. . . . . . . . 9
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43 | 42 | com3r 79 |
. . . . . . . 8
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44 | 38, 43 | sylbi 195 |
. . . . . . 7
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45 | 44 | adantr 465 |
. . . . . 6
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46 | 45 | imp 429 |
. . . . 5
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47 | 46 | imp 429 |
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48 | 47 | 3adantl1 1144 |
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49 | 35, 48 | eqeltrd 2542 |
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50 | simp31 1024 |
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51 | neldifsnd 4114 |
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52 | eqidd 2455 |
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53 | iftrue 3908 |
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54 | eqeq1 2458 |
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55 | 54 | ifbid 3922 |
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56 | 53, 55 | sylan9eq 2515 |
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57 | 56 | adantl 466 |
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58 | simpr1 994 |
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59 | 24, 25 | gsummatr01lem1 18596 |
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60 | 59 | ancoms 453 |
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61 | 60 | 3adant2 1007 |
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62 | 61 | adantl 466 |
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63 | gsummatr01.0 |
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64 | fvex 5812 |
. . . . . . . 8
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65 | 63, 64 | eqeltri 2538 |
. . . . . . 7
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66 | simpl 457 |
. . . . . . 7
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67 | ifexg 3970 |
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68 | 65, 66, 67 | sylancr 663 |
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69 | 52, 57, 58, 62, 68 | ovmpt2d 6331 |
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70 | 69 | adantll 713 |
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71 | 70 | 3adant1 1006 |
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72 | cmnmnd 16416 |
. . . . . . 7
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73 | 1, 63 | mndidcl 15561 |
. . . . . . 7
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74 | 72, 73 | syl 16 |
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75 | 74 | adantr 465 |
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76 | 75 | 3ad2ant1 1009 |
. . . 4
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77 | 36 | eleq2i 2532 |
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78 | 77 | biimpi 194 |
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79 | 78 | adantl 466 |
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80 | 79 | 3ad2ant2 1010 |
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81 | 76, 80 | ifcld 3943 |
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82 | 71, 81 | eqeltrd 2542 |
. 2
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83 | id 22 |
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84 | fveq2 5802 |
. . 3
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85 | 83, 84 | oveq12d 6221 |
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86 | 1, 2, 4, 7, 49, 50, 51, 82, 85 | gsumunsn 16578 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1955 ax-ext 2432 ax-rep 4514 ax-sep 4524 ax-nul 4532 ax-pow 4581 ax-pr 4642 ax-un 6485 ax-inf2 7961 ax-cnex 9452 ax-resscn 9453 ax-1cn 9454 ax-icn 9455 ax-addcl 9456 ax-addrcl 9457 ax-mulcl 9458 ax-mulrcl 9459 ax-mulcom 9460 ax-addass 9461 ax-mulass 9462 ax-distr 9463 ax-i2m1 9464 ax-1ne0 9465 ax-1rid 9466 ax-rnegex 9467 ax-rrecex 9468 ax-cnre 9469 ax-pre-lttri 9470 ax-pre-lttrn 9471 ax-pre-ltadd 9472 ax-pre-mulgt0 9473 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2266 df-mo 2267 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2604 df-ne 2650 df-nel 2651 df-ral 2804 df-rex 2805 df-reu 2806 df-rmo 2807 df-rab 2808 df-v 3080 df-sbc 3295 df-csb 3399 df-dif 3442 df-un 3444 df-in 3446 df-ss 3453 df-pss 3455 df-nul 3749 df-if 3903 df-pw 3973 df-sn 3989 df-pr 3991 df-tp 3993 df-op 3995 df-uni 4203 df-int 4240 df-iun 4284 df-iin 4285 df-br 4404 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-tr 4497 df-eprel 4743 df-id 4747 df-po 4752 df-so 4753 df-fr 4790 df-se 4791 df-we 4792 df-ord 4833 df-on 4834 df-lim 4835 df-suc 4836 df-xp 4957 df-rel 4958 df-cnv 4959 df-co 4960 df-dm 4961 df-rn 4962 df-res 4963 df-ima 4964 df-iota 5492 df-fun 5531 df-fn 5532 df-f 5533 df-f1 5534 df-fo 5535 df-f1o 5536 df-fv 5537 df-isom 5538 df-riota 6164 df-ov 6206 df-oprab 6207 df-mpt2 6208 df-of 6433 df-om 6590 df-1st 6690 df-2nd 6691 df-supp 6804 df-recs 6945 df-rdg 6979 df-1o 7033 df-oadd 7037 df-er 7214 df-map 7329 df-en 7424 df-dom 7425 df-sdom 7426 df-fin 7427 df-fsupp 7735 df-oi 7838 df-card 8223 df-pnf 9534 df-mnf 9535 df-xr 9536 df-ltxr 9537 df-le 9538 df-sub 9711 df-neg 9712 df-nn 10437 df-2 10494 df-3 10495 df-4 10496 df-5 10497 df-6 10498 df-7 10499 df-8 10500 df-9 10501 df-n0 10694 df-z 10761 df-uz 10976 df-fz 11558 df-fzo 11669 df-seq 11927 df-hash 12224 df-struct 14297 df-ndx 14298 df-slot 14299 df-base 14300 df-sets 14301 df-ress 14302 df-plusg 14373 df-tset 14379 df-0g 14502 df-gsum 14503 df-mre 14646 df-mrc 14647 df-acs 14649 df-mnd 15537 df-submnd 15587 df-mulg 15670 df-cntz 15957 df-symg 16005 df-cmn 16403 |
This theorem is referenced by: gsummatr01 18600 |
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