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Theorem gsummatr01 18600
Description: Lemma 1 for smadiadetlem4 18610. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummatr01.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
gsummatr01.r  |-  R  =  { r  e.  P  |  ( r `  K )  =  L }
gsummatr01.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummatr01.s  |-  S  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
gsummatr01  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { L } )  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, i,
j, n    B, i,
j, n    i, G, j, n    i, K, j, n    K, r    i, L, j, n    L, r   
i, N, j, n    P, r    Q, r    Q, i, j, n    R, i, j, n    S, i, j, n    .0. , i,
j, n
Allowed substitution hints:    A( r)    B( r)    P( i, j, n)    R( r)    S( r)    G( r)    N( r)    .0. ( r)

Proof of Theorem gsummatr01
StepHypRef Expression
1 difsnid 4130 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  N  ->  (
( N  \  { K } )  u.  { K } )  =  N )
21eqcomd 2462 . . . . . 6  |-  ( K  e.  N  ->  N  =  ( ( N 
\  { K }
)  u.  { K } ) )
323ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  N  =  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } ) )
433ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  ->  N  =  ( ( N  \  { K }
)  u.  { K } ) )
54mpteq1d 4484 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) )  =  ( n  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } ) 
|->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )
65oveq2d 6219 . 2  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( n  e.  (
( N  \  { K } )  u.  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) )
7 gsummatr01.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
8 gsummatr01.r . . 3  |-  R  =  { r  e.  P  |  ( r `  K )  =  L }
9 gsummatr01.0 . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
10 gsummatr01.s . . 3  |-  S  =  ( Base `  G
)
117, 8, 9, 10gsummatr01lem3 18598 . 2  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) ( +g  `  G
) ( K ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `
 K ) ) ) )
12 eqidd 2455 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) )
13 fveq1 5801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  Q  ->  (
r `  K )  =  ( Q `  K ) )
1413eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  Q  ->  (
( r `  K
)  =  L  <->  ( Q `  K )  =  L ) )
1514, 8elrab2 3226 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  R  <->  ( Q  e.  P  /\  ( Q `  K )  =  L ) )
16 eqeq2 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q `  K )  =  L  ->  (
j  =  ( Q `
 K )  <->  j  =  L ) )
1716adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `  K )  =  L )  -> 
( j  =  ( Q `  K )  <-> 
j  =  L ) )
1817anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `  K )  =  L )  -> 
( ( i  =  K  /\  j  =  ( Q `  K
) )  <->  ( i  =  K  /\  j  =  L ) ) )
1915, 18sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( Q  e.  R  ->  (
( i  =  K  /\  j  =  ( Q `  K ) )  <->  ( i  =  K  /\  j  =  L ) ) )
20193ad2ant3 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( ( i  =  K  /\  j  =  ( Q `  K
) )  <->  ( i  =  K  /\  j  =  L ) ) )
21 iftrue 3908 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  K  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) )
22 iftrue 3908 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  L  ->  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
)  =  .0.  )
2321, 22sylan9eq 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  K  /\  j  =  L )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  .0.  )
2420, 23syl6bi 228 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( ( i  =  K  /\  j  =  ( Q `  K
) )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  .0.  )
)
2524imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  ( i  =  K  /\  j  =  ( Q `  K ) ) )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) )  =  .0.  )
26 simp1 988 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  K  e.  N )
277, 8gsummatr01lem1 18596 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  e.  R  /\  K  e.  N )  ->  ( Q `  K
)  e.  N )
2827ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( Q `  K
)  e.  N )
29283adant2 1007 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( Q `  K
)  e.  N )
30 fvex 5812 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
319, 30eqeltri 2538 . . . . . . 7  |-  .0.  e.  _V
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  .0.  e.  _V )
3312, 25, 26, 29, 32ovmpt2d 6331 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( K ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  K ) )  =  .0.  )
34333ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( K ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  K ) )  =  .0.  )
3534oveq2d 6219 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) ( +g  `  G
) ( K ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `
 K ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) ( +g  `  G )  .0.  ) )
36 cmnmnd 16416 . . . . . 6  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
3736adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  ->  G  e.  Mnd )
38373ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  ->  G  e.  Mnd )
39 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
40 simp1l 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  ->  G  e. CMnd )
41 diffi 7657 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  \  { K }
)  e.  Fin )
4241adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  \  { K }
)  e.  Fin )
43423ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( N  \  { K } )  e.  Fin )
44 eqidd 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) )
45 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  n  ->  (
i  =  K  <->  n  =  K ) )
4645adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  -> 
( i  =  K  <-> 
n  =  K ) )
47 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( Q `  n )  ->  (
j  =  L  <->  ( Q `  n )  =  L ) )
4847ifbid 3922 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( Q `  n )  ->  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
)  =  if ( ( Q `  n
)  =  L ,  .0.  ,  B ) )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  ->  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
)  =  if ( ( Q `  n
)  =  L ,  .0.  ,  B ) )
50 oveq12 6212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  -> 
( i A j )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
5146, 49, 50ifbieq12d 3927 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( n A ( Q `  n ) ) ) )
52 eldifsni 4112 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  n  =/=  K )
5352neneqd 2655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  -.  n  =  K
)
54 iffalse 3910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  n  =  K  ->  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( n A ( Q `
 n ) ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( n A ( Q `
 n ) ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
5655adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( n A ( Q `
 n ) ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
5751, 56sylan9eqr 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  /\  ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) ) )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
58 eldifi 3589 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  n  e.  N )
5958adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  n  e.  N )
60 simp3 990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  Q  e.  R )
617, 8gsummatr01lem1 18596 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  N )  ->  ( Q `  n
)  e.  N )
6260, 58, 61syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( Q `  n
)  e.  N )
63 ovex 6228 . . . . . . . . . 10  |-  ( n A ( Q `  n ) )  e. 
_V
6463a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n A ( Q `  n ) )  e.  _V )
6544, 57, 59, 62, 64ovmpt2d 6331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
66653ad2antl3 1152 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
6710eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i A j )  e.  S  <->  ( i A j )  e.  ( Base `  G
) )
68672ralbii 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i A j )  e.  S  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  ( Base `  G
) )
697, 8gsummatr01lem2 18597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  N )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  (
Base `  G )  ->  ( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G ) ) )
7068, 69syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  N )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  ->  ( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G ) ) )
7160, 58, 70syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( N 
\  { K }
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  ->  ( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G ) ) )
7271ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  -> 
( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  -> 
( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G ) ) ) )
7372com13 80 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i A j )  e.  S  ->  (
( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  ->  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
n A ( Q `
 n ) )  e.  ( Base `  G
) ) ) )
7473adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  (
n  e.  ( N 
\  { K }
)  ->  ( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G
) ) ) )
7574imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
n A ( Q `
 n ) )  e.  ( Base `  G
) ) )
76753adant1 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
n A ( Q `
 n ) )  e.  ( Base `  G
) ) )
7776imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G ) )
7866, 77eqeltrd 2542 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G
) )
7978ralrimiva 2830 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  ->  A. n  e.  ( N  \  { K }
) ( n ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `
 n ) )  e.  ( Base `  G
) )
8039, 40, 43, 79gsummptcl 16583 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  e.  ( Base `  G
) )
81 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
8239, 81, 9mndrid 15564 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) ( +g  `  G )  .0.  )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) )
8338, 80, 82syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) ( +g  `  G
)  .0.  )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) )
847, 8, 9, 10gsummatr01lem4 18599 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N 
\  { L }
)  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n ) ) )
8584mpteq2dva 4489 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) )  =  ( n  e.  ( N 
\  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { L } )  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n
) ) ) )
8685oveq2d 6219 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { L } )  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n ) ) ) ) )
8735, 83, 863eqtrd 2499 . 2  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) ( +g  `  G
) ( K ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `
 K ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { L } )  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n
) ) ) ) )
886, 11, 873eqtrd 2499 1  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { L } )  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   {crab 2803   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    u. cun 3437   ifcif 3902   {csn 3988    |-> cmpt 4461   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205   Fincfn 7423   Basecbs 14295   +g cplusg 14360   0gc0g 14500    gsumg cgsu 14501   Mndcmnd 15531   SymGrpcsymg 16004  CMndccmn 16401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-tset 14379  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-symg 16005  df-cmn 16403
This theorem is referenced by:  smadiadetlem4  18610
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