MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummatr01 Structured version   Unicode version

Theorem gsummatr01 18944
Description: Lemma 1 for smadiadetlem4 18954. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummatr01.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
gsummatr01.r  |-  R  =  { r  e.  P  |  ( r `  K )  =  L }
gsummatr01.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummatr01.s  |-  S  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
gsummatr01  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { L } )  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, i,
j, n    B, i,
j, n    i, G, j, n    i, K, j, n    K, r    i, L, j, n    L, r   
i, N, j, n    P, r    Q, r    Q, i, j, n    R, i, j, n    S, i, j, n    .0. , i,
j, n
Allowed substitution hints:    A( r)    B( r)    P( i, j, n)    R( r)    S( r)    G( r)    N( r)    .0. ( r)

Proof of Theorem gsummatr01
StepHypRef Expression
1 difsnid 4173 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  N  ->  (
( N  \  { K } )  u.  { K } )  =  N )
21eqcomd 2475 . . . . . 6  |-  ( K  e.  N  ->  N  =  ( ( N 
\  { K }
)  u.  { K } ) )
323ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  N  =  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } ) )
433ad2ant3 1019 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  ->  N  =  ( ( N  \  { K }
)  u.  { K } ) )
54mpteq1d 4528 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) )  =  ( n  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } ) 
|->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )
65oveq2d 6299 . 2  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( n  e.  (
( N  \  { K } )  u.  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) )
7 gsummatr01.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
8 gsummatr01.r . . 3  |-  R  =  { r  e.  P  |  ( r `  K )  =  L }
9 gsummatr01.0 . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
10 gsummatr01.s . . 3  |-  S  =  ( Base `  G
)
117, 8, 9, 10gsummatr01lem3 18942 . 2  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) ( +g  `  G
) ( K ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `
 K ) ) ) )
12 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) )
13 fveq1 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  Q  ->  (
r `  K )  =  ( Q `  K ) )
1413eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  Q  ->  (
( r `  K
)  =  L  <->  ( Q `  K )  =  L ) )
1514, 8elrab2 3263 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  R  <->  ( Q  e.  P  /\  ( Q `  K )  =  L ) )
16 eqeq2 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q `  K )  =  L  ->  (
j  =  ( Q `
 K )  <->  j  =  L ) )
1716adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `  K )  =  L )  -> 
( j  =  ( Q `  K )  <-> 
j  =  L ) )
1817anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `  K )  =  L )  -> 
( ( i  =  K  /\  j  =  ( Q `  K
) )  <->  ( i  =  K  /\  j  =  L ) ) )
1915, 18sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( Q  e.  R  ->  (
( i  =  K  /\  j  =  ( Q `  K ) )  <->  ( i  =  K  /\  j  =  L ) ) )
20193ad2ant3 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( ( i  =  K  /\  j  =  ( Q `  K
) )  <->  ( i  =  K  /\  j  =  L ) ) )
21 iftrue 3945 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  K  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) )
22 iftrue 3945 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  L  ->  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
)  =  .0.  )
2321, 22sylan9eq 2528 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  K  /\  j  =  L )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  .0.  )
2420, 23syl6bi 228 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( ( i  =  K  /\  j  =  ( Q `  K
) )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  .0.  )
)
2524imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  ( i  =  K  /\  j  =  ( Q `  K ) ) )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) )  =  .0.  )
26 simp1 996 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  K  e.  N )
277, 8gsummatr01lem1 18940 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  e.  R  /\  K  e.  N )  ->  ( Q `  K
)  e.  N )
2827ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( Q `  K
)  e.  N )
29283adant2 1015 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( Q `  K
)  e.  N )
30 fvex 5875 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
319, 30eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  .0.  e.  _V
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  .0.  e.  _V )
3312, 25, 26, 29, 32ovmpt2d 6413 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( K ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  K ) )  =  .0.  )
34333ad2ant3 1019 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( K ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  K ) )  =  .0.  )
3534oveq2d 6299 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) ( +g  `  G
) ( K ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `
 K ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) ( +g  `  G )  .0.  ) )
36 cmnmnd 16616 . . . . . 6  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
3736adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  ->  G  e.  Mnd )
38373ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  ->  G  e.  Mnd )
39 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
40 simp1l 1020 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  ->  G  e. CMnd )
41 diffi 7750 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  \  { K }
)  e.  Fin )
4241adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  \  { K }
)  e.  Fin )
43423ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( N  \  { K } )  e.  Fin )
44 eqidd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) )
45 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  n  ->  (
i  =  K  <->  n  =  K ) )
4645adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  -> 
( i  =  K  <-> 
n  =  K ) )
47 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( Q `  n )  ->  (
j  =  L  <->  ( Q `  n )  =  L ) )
4847ifbid 3961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( Q `  n )  ->  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
)  =  if ( ( Q `  n
)  =  L ,  .0.  ,  B ) )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  ->  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
)  =  if ( ( Q `  n
)  =  L ,  .0.  ,  B ) )
50 oveq12 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  -> 
( i A j )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
5146, 49, 50ifbieq12d 3966 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( n A ( Q `  n ) ) ) )
52 eldifsni 4153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  n  =/=  K )
5352neneqd 2669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  -.  n  =  K
)
54 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  n  =  K  ->  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( n A ( Q `
 n ) ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( n A ( Q `
 n ) ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
5655adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( n A ( Q `
 n ) ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
5751, 56sylan9eqr 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  /\  ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) ) )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
58 eldifi 3626 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  n  e.  N )
5958adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  n  e.  N )
60 simp3 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  Q  e.  R )
617, 8gsummatr01lem1 18940 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  N )  ->  ( Q `  n
)  e.  N )
6260, 58, 61syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( Q `  n
)  e.  N )
63 ovex 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( n A ( Q `  n ) )  e. 
_V
6463a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n A ( Q `  n ) )  e.  _V )
6544, 57, 59, 62, 64ovmpt2d 6413 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
66653ad2antl3 1160 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
6710eleq2i 2545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i A j )  e.  S  <->  ( i A j )  e.  ( Base `  G
) )
68672ralbii 2896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i A j )  e.  S  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  ( Base `  G
) )
697, 8gsummatr01lem2 18941 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  N )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  (
Base `  G )  ->  ( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G ) ) )
7068, 69syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  N )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  ->  ( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G ) ) )
7160, 58, 70syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( N 
\  { K }
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  ->  ( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G ) ) )
7271ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  -> 
( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  -> 
( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G ) ) ) )
7372com13 80 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i A j )  e.  S  ->  (
( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  ->  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
n A ( Q `
 n ) )  e.  ( Base `  G
) ) ) )
7473adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  (
n  e.  ( N 
\  { K }
)  ->  ( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G
) ) ) )
7574imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
n A ( Q `
 n ) )  e.  ( Base `  G
) ) )
76753adant1 1014 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
n A ( Q `
 n ) )  e.  ( Base `  G
) ) )
7776imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G ) )
7866, 77eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G
) )
7978ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  ->  A. n  e.  ( N  \  { K }
) ( n ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `
 n ) )  e.  ( Base `  G
) )
8039, 40, 43, 79gsummptcl 16794 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  e.  ( Base `  G
) )
81 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
8239, 81, 9mndrid 15758 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) ( +g  `  G )  .0.  )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) )
8338, 80, 82syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) ( +g  `  G
)  .0.  )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) )
847, 8, 9, 10gsummatr01lem4 18943 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N 
\  { L }
)  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n ) ) )
8584mpteq2dva 4533 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) )  =  ( n  e.  ( N 
\  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { L } )  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n
) ) ) )
8685oveq2d 6299 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { L } )  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n ) ) ) ) )
8735, 83, 863eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) ( +g  `  G
) ( K ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `
 K ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { L } )  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n
) ) ) ) )
886, 11, 873eqtrd 2512 1  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { L } )  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474   ifcif 3939   {csn 4027    |-> cmpt 4505   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    |-> cmpt2 6285   Fincfn 7516   Basecbs 14489   +g cplusg 14554   0gc0g 14694    gsumg cgsu 14695   Mndcmnd 15725   SymGrpcsymg 16204  CMndccmn 16601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7829  df-oi 7934  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-hash 12373  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-sets 14495  df-ress 14496  df-plusg 14567  df-tset 14573  df-0g 14696  df-gsum 14697  df-mre 14840  df-mrc 14841  df-acs 14843  df-mnd 15731  df-submnd 15784  df-mulg 15867  df-cntz 16157  df-symg 16205  df-cmn 16603
This theorem is referenced by:  smadiadetlem4  18954
  Copyright terms: Public domain W3C validator