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Theorem gsummatr01 19246
Description: Lemma 1 for smadiadetlem4 19256. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummatr01.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
gsummatr01.r  |-  R  =  { r  e.  P  |  ( r `  K )  =  L }
gsummatr01.0  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsummatr01.s  |-  S  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
gsummatr01  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { L } )  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n
) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, i,
j, n    B, i,
j, n    i, G, j, n    i, K, j, n    K, r    i, L, j, n    L, r   
i, N, j, n    P, r    Q, r    Q, i, j, n    R, i, j, n    S, i, j, n    .0. , i,
j, n
Allowed substitution hints:    A( r)    B( r)    P( i, j, n)    R( r)    S( r)    G( r)    N( r)    .0. ( r)

Proof of Theorem gsummatr01
StepHypRef Expression
1 difsnid 4090 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  N  ->  (
( N  \  { K } )  u.  { K } )  =  N )
21eqcomd 2390 . . . . . 6  |-  ( K  e.  N  ->  N  =  ( ( N 
\  { K }
)  u.  { K } ) )
323ad2ant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  N  =  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } ) )
433ad2ant3 1017 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  ->  N  =  ( ( N  \  { K }
)  u.  { K } ) )
54mpteq1d 4448 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) )  =  ( n  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } ) 
|->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )
65oveq2d 6212 . 2  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( n  e.  (
( N  \  { K } )  u.  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) )
7 gsummatr01.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
8 gsummatr01.r . . 3  |-  R  =  { r  e.  P  |  ( r `  K )  =  L }
9 gsummatr01.0 . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
10 gsummatr01.s . . 3  |-  S  =  ( Base `  G
)
117, 8, 9, 10gsummatr01lem3 19244 . 2  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) ( +g  `  G
) ( K ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `
 K ) ) ) )
12 eqidd 2383 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) )
13 fveq1 5773 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  Q  ->  (
r `  K )  =  ( Q `  K ) )
1413eqeq1d 2384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  Q  ->  (
( r `  K
)  =  L  <->  ( Q `  K )  =  L ) )
1514, 8elrab2 3184 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  R  <->  ( Q  e.  P  /\  ( Q `  K )  =  L ) )
16 eqeq2 2397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q `  K )  =  L  ->  (
j  =  ( Q `
 K )  <->  j  =  L ) )
1716adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `  K )  =  L )  -> 
( j  =  ( Q `  K )  <-> 
j  =  L ) )
1817anbi2d 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q  e.  P  /\  ( Q `  K )  =  L )  -> 
( ( i  =  K  /\  j  =  ( Q `  K
) )  <->  ( i  =  K  /\  j  =  L ) ) )
1915, 18sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( Q  e.  R  ->  (
( i  =  K  /\  j  =  ( Q `  K ) )  <->  ( i  =  K  /\  j  =  L ) ) )
20193ad2ant3 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( ( i  =  K  /\  j  =  ( Q `  K
) )  <->  ( i  =  K  /\  j  =  L ) ) )
21 iftrue 3863 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  K  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) )
22 iftrue 3863 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  L  ->  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
)  =  .0.  )
2321, 22sylan9eq 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  =  K  /\  j  =  L )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  .0.  )
2420, 23syl6bi 228 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( ( i  =  K  /\  j  =  ( Q `  K
) )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  .0.  )
)
2524imp 427 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  ( i  =  K  /\  j  =  ( Q `  K ) ) )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) )  =  .0.  )
26 simp1 994 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  K  e.  N )
277, 8gsummatr01lem1 19242 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q  e.  R  /\  K  e.  N )  ->  ( Q `  K
)  e.  N )
2827ancoms 451 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( Q `  K
)  e.  N )
29283adant2 1013 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( Q `  K
)  e.  N )
30 fvex 5784 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
319, 30eqeltri 2466 . . . . . . 7  |-  .0.  e.  _V
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  .0.  e.  _V )
3312, 25, 26, 29, 32ovmpt2d 6329 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( K ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  K ) )  =  .0.  )
34333ad2ant3 1017 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( K ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  K ) )  =  .0.  )
3534oveq2d 6212 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) ( +g  `  G
) ( K ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `
 K ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) ( +g  `  G )  .0.  ) )
36 cmnmnd 16930 . . . . . 6  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
3736adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  ->  G  e.  Mnd )
38373ad2ant1 1015 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  ->  G  e.  Mnd )
39 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
40 simp1l 1018 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  ->  G  e. CMnd )
41 diffi 7667 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Fin  ->  ( N  \  { K }
)  e.  Fin )
4241adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  ->  ( N  \  { K }
)  e.  Fin )
43423ad2ant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( N  \  { K } )  e.  Fin )
44 eqidd 2383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) )  =  ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) )
45 eqeq1 2386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  n  ->  (
i  =  K  <->  n  =  K ) )
4645adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  -> 
( i  =  K  <-> 
n  =  K ) )
47 eqeq1 2386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( Q `  n )  ->  (
j  =  L  <->  ( Q `  n )  =  L ) )
4847ifbid 3879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( Q `  n )  ->  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
)  =  if ( ( Q `  n
)  =  L ,  .0.  ,  B ) )
4948adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  ->  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
)  =  if ( ( Q `  n
)  =  L ,  .0.  ,  B ) )
50 oveq12 6205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  -> 
( i A j )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
5146, 49, 50ifbieq12d 3884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( n A ( Q `  n ) ) ) )
52 eldifsni 4070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  n  =/=  K )
5352neneqd 2584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  -.  n  =  K
)
5453iffalsed 3868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( n A ( Q `
 n ) ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
5554adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  if ( n  =  K ,  if ( ( Q `  n )  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( n A ( Q `
 n ) ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
5651, 55sylan9eqr 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  /\  ( i  =  n  /\  j  =  ( Q `  n ) ) )  ->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
57 eldifi 3540 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  n  e.  N )
5857adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  n  e.  N )
59 simp3 996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  Q  e.  R )
607, 8gsummatr01lem1 19242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  N )  ->  ( Q `  n
)  e.  N )
6159, 57, 60syl2an 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( Q `  n
)  e.  N )
62 ovex 6224 . . . . . . . . . 10  |-  ( n A ( Q `  n ) )  e. 
_V
6362a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n A ( Q `  n ) )  e.  _V )
6444, 56, 58, 61, 63ovmpt2d 6329 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
65643ad2antl3 1158 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n A ( Q `  n ) ) )
6610eleq2i 2460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i A j )  e.  S  <->  ( i A j )  e.  ( Base `  G
) )
67662ralbii 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i A j )  e.  S  <->  A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  ( Base `  G
) )
687, 8gsummatr01lem2 19243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  N )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  (
Base `  G )  ->  ( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G ) ) )
6967, 68syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Q  e.  R  /\  n  e.  N )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  ->  ( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G ) ) )
7059, 57, 69syl2anr 476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( N 
\  { K }
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  ->  ( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G ) ) )
7170ex 432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( N  \  { K } )  -> 
( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  -> 
( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G ) ) ) )
7271com13 80 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  (
i A j )  e.  S  ->  (
( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R
)  ->  ( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
n A ( Q `
 n ) )  e.  ( Base `  G
) ) ) )
7372adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  ->  ( ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )  ->  (
n  e.  ( N 
\  { K }
)  ->  ( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G
) ) ) )
7473imp 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
n A ( Q `
 n ) )  e.  ( Base `  G
) ) )
75743adant1 1012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( n  e.  ( N  \  { K } )  ->  (
n A ( Q `
 n ) )  e.  ( Base `  G
) ) )
7675imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n A ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G ) )
7765, 76eqeltrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  e.  ( Base `  G
) )
7877ralrimiva 2796 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  ->  A. n  e.  ( N  \  { K }
) ( n ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `
 n ) )  e.  ( Base `  G
) )
7939, 40, 43, 78gsummptcl 17108 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  e.  ( Base `  G
) )
80 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
8139, 80, 9mndrid 16059 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) ( +g  `  G )  .0.  )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) )
8238, 79, 81syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) ( +g  `  G
)  .0.  )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) )
837, 8, 9, 10gsummatr01lem4 19245 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S )  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R )
)  /\  n  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) )  =  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N 
\  { L }
)  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n ) ) )
8483mpteq2dva 4453 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) )  =  ( n  e.  ( N 
\  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { L } )  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n
) ) ) )
8584oveq2d 6212 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  =  ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  ( N  \  { K } ) ,  j  e.  ( N  \  { L } )  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n ) ) ) ) )
8635, 82, 853eqtrd 2427 . 2  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( ( G  gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K } )  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) ) ( +g  `  G
) ( K ( i  e.  N , 
j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B ) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `
 K ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { L } )  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n
) ) ) ) )
876, 11, 863eqtrd 2427 1  |-  ( ( ( G  e. CMnd  /\  N  e.  Fin )  /\  ( A. i  e.  N  A. j  e.  N  ( i A j )  e.  S  /\  B  e.  S
)  /\  ( K  e.  N  /\  L  e.  N  /\  Q  e.  R ) )  -> 
( G  gsumg  ( n  e.  N  |->  ( n ( i  e.  N ,  j  e.  N  |->  if ( i  =  K ,  if ( j  =  L ,  .0.  ,  B
) ,  ( i A j ) ) ) ( Q `  n ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( n  e.  ( N  \  { K }
)  |->  ( n ( i  e.  ( N 
\  { K }
) ,  j  e.  ( N  \  { L } )  |->  ( i A j ) ) ( Q `  n
) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   {crab 2736   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    u. cun 3387   ifcif 3857   {csn 3944    |-> cmpt 4425   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    |-> cmpt2 6198   Fincfn 7435   Basecbs 14634   +g cplusg 14702   0gc0g 14847    gsumg cgsu 14848   Mndcmnd 16036   SymGrpcsymg 16519  CMndccmn 16915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-hash 12308  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-tset 14721  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-symg 16520  df-cmn 16917
This theorem is referenced by:  smadiadetlem4  19256
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