Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumlsscl Structured version   Unicode version

Theorem gsumlsscl 38420
 Description: Closure of a group sum in a linear subspace: A (finitely supported) sum of scalar multiplications of vectors of a subset of a linear subspace is also contained in the linear subspace. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumlsscl.s
gsumlsscl.r Scalar
gsumlsscl.b
Assertion
Ref Expression
gsumlsscl finSupp g
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem gsumlsscl
StepHypRef Expression
1 eqid 2400 . . 3
2 lmodabl 17767 . . . . 5
323ad2ant1 1016 . . . 4
43adantr 463 . . 3 finSupp
5 ssexg 4537 . . . . . 6
65ancoms 451 . . . . 5
763adant1 1013 . . . 4
87adantr 463 . . 3 finSupp
9 3simpa 992 . . . . 5
10 gsumlsscl.s . . . . . 6
1110lsssubg 17813 . . . . 5 SubGrp
129, 11syl 17 . . . 4 SubGrp
1312adantr 463 . . 3 finSupp SubGrp
149adantr 463 . . . . . 6 finSupp
1514adantr 463 . . . . 5 finSupp
16 elmapi 7396 . . . . . . . 8
17 ffvelrn 5961 . . . . . . . . 9
1817ex 432 . . . . . . . 8
1916, 18syl 17 . . . . . . 7
2019ad2antrl 726 . . . . . 6 finSupp
2120imp 427 . . . . 5 finSupp
22 ssel 3433 . . . . . . . 8
23223ad2ant3 1018 . . . . . . 7
2423adantr 463 . . . . . 6 finSupp
2524imp 427 . . . . 5 finSupp
26 gsumlsscl.r . . . . . 6 Scalar
27 eqid 2400 . . . . . 6
28 gsumlsscl.b . . . . . 6
2926, 27, 28, 10lssvscl 17811 . . . . 5
3015, 21, 25, 29syl12anc 1226 . . . 4 finSupp
31 eqid 2400 . . . 4
3230, 31fmptd 5987 . . 3 finSupp
33 simp1 995 . . . . . 6
34 eqid 2400 . . . . . . . . . . 11
3534, 10lssss 17793 . . . . . . . . . 10
36 sstr 3447 . . . . . . . . . . 11
3736expcom 433 . . . . . . . . . 10
3835, 37syl 17 . . . . . . . . 9
3938a1i 11 . . . . . . . 8
40393imp 1189 . . . . . . 7
41 elpwg 3960 . . . . . . . 8
427, 41syl 17 . . . . . . 7
4340, 42mpbird 232 . . . . . 6
4433, 43jca 530 . . . . 5
4544adantr 463 . . . 4 finSupp
46 simprl 755 . . . 4 finSupp
47 simprr 756 . . . 4 finSupp finSupp
4826, 28scmfsupp 38415 . . . 4 finSupp finSupp
4945, 46, 47, 48syl3anc 1228 . . 3 finSupp finSupp
501, 4, 8, 13, 32, 49gsumsubgcl 17146 . 2 finSupp g
5150ex 432 1 finSupp g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   w3a 972   wceq 1403   wcel 1840  cvv 3056   wss 3411  cpw 3952   class class class wbr 4392   cmpt 4450  wf 5519  cfv 5523  (class class class)co 6232   cmap 7375   finSupp cfsupp 7781  cbs 14731  Scalarcsca 14802  cvsca 14803  c0g 14944   g cgsu 14945  SubGrpcsubg 16409  cabl 17013  clmod 17722  clss 17788 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fsupp 7782  df-oi 7887  df-card 8270  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-seq 12060  df-hash 12358  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-submnd 16181  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-sbg 16273  df-subg 16412  df-cntz 16569  df-cmn 17014  df-abl 17015  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-lmod 17724  df-lss 17789 This theorem is referenced by:  lincellss  38471
 Copyright terms: Public domain W3C validator