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Theorem gsumle 28554
Description: A finite sum in an ordered monoid is monotonic. This proof would be much easier in an ordered group, where an inverse element would be available. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumle.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
gsumle.l  |-  .<_  =  ( le `  M )
gsumle.m  |-  ( ph  ->  M  e. oMnd )
gsumle.n  |-  ( ph  ->  M  e. CMnd )
gsumle.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumle.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumle.g  |-  ( ph  ->  G : A --> B )
gsumle.c  |-  ( ph  ->  F  oR  .<_  G )
Assertion
Ref Expression
gsumle  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  F )  .<_  ( M 
gsumg  G ) )

Proof of Theorem gsumle
Dummy variables  e 
a  y  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumle.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 ssid 3453 . . . 4  |-  A  C_  A
3 sseq1 3455 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
43anbi2d 711 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  (/)  C_  A ) ) )
5 reseq2 5103 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  ( F  |`  a )  =  ( F  |`  (/) ) )
65oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( M 
gsumg  ( F  |`  a ) )  =  ( M 
gsumg  ( F  |`  (/) ) ) )
7 reseq2 5103 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  ( G  |`  a )  =  ( G  |`  (/) ) )
87oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) )  =  ( M 
gsumg  ( G  |`  (/) ) ) )
96, 8breq12d 4418 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) )  <->  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (/) ) ) ) )
104, 9imbi12d 322 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  a  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) ) )  <->  ( ( ph  /\  (/)  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (/) ) ) ) ) )
11 sseq1 3455 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  (
a  C_  A  <->  e  C_  A ) )
1211anbi2d 711 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  e  C_  A )
) )
13 reseq2 5103 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  e  ->  ( F  |`  a )  =  ( F  |`  e
) )
1413oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  =  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) ) )
15 reseq2 5103 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  e  ->  ( G  |`  a )  =  ( G  |`  e
) )
1615oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  a
) )  =  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) )
1714, 16breq12d 4418 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  (
( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) )  <->  ( M  gsumg  ( F  |`  e ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) ) )
1812, 17imbi12d 322 . . . . . 6  |-  ( a  =  e  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) ) )  <->  ( ( ph  /\  e  C_  A
)  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e )
)  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e ) ) ) ) )
19 sseq1 3455 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( a  C_  A 
<->  ( e  u.  {
y } )  C_  A ) )
2019anbi2d 711 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( ( ph  /\  a  C_  A )  <->  (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A ) ) )
21 reseq2 5103 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( F  |`  a )  =  ( F  |`  ( e  u.  { y } ) ) )
2221oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  a ) )  =  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) )
23 reseq2 5103 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( G  |`  a )  =  ( G  |`  ( e  u.  { y } ) ) )
2423oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  a ) )  =  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) )
2522, 24breq12d 4418 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( ( M 
gsumg  ( F  |`  a ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  a )
)  <->  ( M  gsumg  ( F  |`  ( e  u.  {
y } ) ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  ( e  u.  { y } ) ) ) ) )
2620, 25imbi12d 322 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( ( (
ph  /\  a  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ y } ) 
C_  A )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) ) ) )
27 sseq1 3455 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
a  C_  A  <->  A  C_  A
) )
2827anbi2d 711 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  A  C_  A )
) )
29 reseq2 5103 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( F  |`  a )  =  ( F  |`  A ) )
3029oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  =  ( M  gsumg  ( F  |`  A ) ) )
31 reseq2 5103 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( G  |`  a )  =  ( G  |`  A ) )
3231oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  a
) )  =  ( M  gsumg  ( G  |`  A ) ) )
3330, 32breq12d 4418 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) )  <->  ( M  gsumg  ( F  |`  A ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  A ) ) ) )
3428, 33imbi12d 322 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) ) )  <->  ( ( ph  /\  A  C_  A
)  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  A )
)  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  A ) ) ) ) )
35 gsumle.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e. oMnd )
36 omndtos 28480 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e. oMnd  ->  M  e. Toset )
37 tospos 28431 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e. Toset  ->  M  e.  Poset )
3835, 36, 373syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  Poset )
39 res0 5112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
4039oveq2i 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M 
gsumg  ( F  |`  (/) ) )  =  ( M  gsumg  (/) )
41 eqid 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
4241gsum0 16533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  M )
4340, 42eqtri 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( M 
gsumg  ( F  |`  (/) ) )  =  ( 0g `  M )
44 omndmnd 28479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e. oMnd  ->  M  e.  Mnd )
45 gsumle.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  M
)
4645, 41mndidcl 16566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( 0g `  M )  e.  B )
4735, 44, 463syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0g `  M
)  e.  B )
4843, 47syl5eqel 2535 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) )  e.  B )
49 gsumle.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  M )
5045, 49posref 16208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Poset  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) )  e.  B )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) )
5138, 48, 50syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) )
52 res0 5112 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  |`  (/) )  =  (/)
5339, 52eqtr4i 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( F  |`  (/) )  =  ( G  |`  (/) )
5453oveq2i 6306 . . . . . . . 8  |-  ( M 
gsumg  ( F  |`  (/) ) )  =  ( M  gsumg  ( G  |`  (/) ) )
5551, 54syl6breq 4445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (/) ) ) )
5655adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  A
)  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (/) ) ) )
57 ssun1 3599 . . . . . . . . . 10  |-  e  C_  ( e  u.  {
y } )
58 sstr2 3441 . . . . . . . . . 10  |-  ( e 
C_  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( ( e  u.  { y } )  C_  A  ->  e 
C_  A ) )
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  u.  { y } )  C_  A  ->  e  C_  A )
6059anim2i 573 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( ph  /\  e  C_  A ) )
6160imim1i 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  (
( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e )
)  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e ) ) ) )
62 simplr 763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ y } ) 
C_  A ) )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) )  -> 
( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
) )
63 simpllr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ y } ) 
C_  A ) )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) )  ->  -.  y  e.  e
)
64 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ y } ) 
C_  A ) )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )
65 eqid 2453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
6635ad3antrrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  M  e. oMnd )
67 gsumle.g . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : A --> B )
6867ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  G : A --> B )
69 simplr 763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  (
e  u.  { y } )  C_  A
)
70 ssun2 3600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { y }  C_  ( e  u.  { y } )
71 vex 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
7271snss 4099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( e  u. 
{ y } )  <->  { y }  C_  ( e  u.  {
y } ) )
7370, 72mpbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e.  ( e  u.  {
y } )
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  y  e.  ( e  u.  {
y } ) )
7569, 74sseldd 3435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  y  e.  A )
7668, 75ffvelrnd 6028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( G `  y )  e.  B )
7776adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  B )
78 gsumle.n . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e. CMnd )
7978ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  M  e. CMnd )
80 vex 3050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  e  e. 
_V
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  e  e.  _V )
82 gsumle.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
8382ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  F : A --> B )
8457, 69syl5ss 3445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  e  C_  A )
8583, 84fssresd 5755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( F  |`  e ) : e --> B )
861ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  A  e.  Fin )
87 fvex 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  M )  e. 
_V
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( 0g `  M )  e. 
_V )
8983, 86, 88fdmfifsupp 7898 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  F finSupp  ( 0g `  M ) )
9089, 88fsuppres 7913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( F  |`  e ) finSupp  ( 0g `  M ) )
9145, 41, 79, 81, 85, 90gsumcl 17561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  e.  B
)
9291adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  e.  B
)
9383, 75ffvelrnd 6028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( F `  y )  e.  B )
9493adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  B )
9568, 84fssresd 5755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( G  |`  e ) : e --> B )
96 ssfi 7797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  e  C_  A )  -> 
e  e.  Fin )
9786, 84, 96syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  e  e.  Fin )
9895, 97, 88fdmfifsupp 7898 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( G  |`  e ) finSupp  ( 0g `  M ) )
9945, 41, 79, 81, 95, 98gsumcl 17561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) )  e.  B
)
10099adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) )  e.  B
)
101 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )
102 simpll 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ph )
103 gsumle.c . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  oR  .<_  G )
104103ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  F  oR  .<_  G )
105 ffn 5733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
10682, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
107 ffn 5733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : A --> B  ->  G  Fn  A )
10867, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
109 inidm 3643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  i^i  A )  =  A
110 eqidd 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
111 eqidd 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  y ) )
112106, 108, 1, 1, 109, 110, 111ofrval 6546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  F  oR  .<_  G  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  .<_  ( G `  y
) )
113102, 104, 75, 112syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( F `  y )  .<_  ( G `  y
) )
114113adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( F `  y )  .<_  ( G `  y
) )
11579adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  M  e. CMnd )
11645, 49, 65, 66, 77, 92, 94, 100, 101, 114, 115omndadd2d 28483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  (
( M  gsumg  ( F  |`  e
) ) ( +g  `  M ) ( F `
 y ) ) 
.<_  ( ( M  gsumg  ( G  |`  e ) ) ( +g  `  M ) ( G `  y
) ) )
11797adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  e  e.  Fin )
11882ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  z  e.  e )  ->  F : A --> B )
119 simplr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  z  e.  e )  ->  (
e  u.  { y } )  C_  A
)
120 elun1 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  e  ->  z  e.  ( e  u.  {
y } ) )
121120adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  z  e.  e )  ->  z  e.  ( e  u.  {
y } ) )
122119, 121sseldd 3435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  z  e.  e )  ->  z  e.  A )
123118, 122ffvelrnd 6028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  z  e.  e )  ->  ( F `  z )  e.  B )
124123ex 436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( z  e.  e  ->  ( F `  z )  e.  B
) )
125124ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  (
z  e.  e  -> 
( F `  z
)  e.  B ) )
126125imp 431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  /\  z  e.  e )  ->  ( F `  z )  e.  B )
12771a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  y  e.  _V )
128 simplr 763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  -.  y  e.  e )
129 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
13045, 65, 115, 117, 126, 127, 128, 94, 129gsumunsn 17604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( e  u.  { y } )  |->  ( F `
 z ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( z  e.  e 
|->  ( F `  z
) ) ) ( +g  `  M ) ( F `  y
) ) )
13183, 69feqresmpt 5924 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( F  |`  ( e  u. 
{ y } ) )  =  ( z  e.  ( e  u. 
{ y } ) 
|->  ( F `  z
) ) )
132131oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( e  u. 
{ y } ) 
|->  ( F `  z
) ) ) )
13383, 84feqresmpt 5924 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( F  |`  e )  =  ( z  e.  e 
|->  ( F `  z
) ) )
134133oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  e 
|->  ( F `  z
) ) ) )
135134oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  (
( M  gsumg  ( F  |`  e
) ) ( +g  `  M ) ( F `
 y ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( z  e.  e 
|->  ( F `  z
) ) ) ( +g  `  M ) ( F `  y
) ) )
136132, 135eqeq12d 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  (
( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( F  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( F `  y ) )  <->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( e  u.  { y } )  |->  ( F `  z ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( z  e.  e 
|->  ( F `  z
) ) ) ( +g  `  M ) ( F `  y
) ) ) )
137136adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  (
( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( F  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( F `  y ) )  <->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( e  u.  { y } )  |->  ( F `  z ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( z  e.  e 
|->  ( F `  z
) ) ) ( +g  `  M ) ( F `  y
) ) ) )
138130, 137mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( F  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( F `  y ) ) )
13967adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  ->  G : A --> B )
140139ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  z  e.  e
)  ->  G : A
--> B )
141122adantlr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  z  e.  e
)  ->  z  e.  A )
142140, 141ffvelrnd 6028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  z  e.  e
)  ->  ( G `  z )  e.  B
)
14371a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  y  e.  _V )
144 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  -.  y  e.  e )
145 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  y  ->  ( G `  z )  =  ( G `  y ) )
14645, 65, 79, 97, 142, 143, 144, 76, 145gsumunsn 17604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( e  u.  { y } )  |->  ( G `
 z ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( z  e.  e 
|->  ( G `  z
) ) ) ( +g  `  M ) ( G `  y
) ) )
147 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( e  u.  {
y } )  C_  A )
148139, 147feqresmpt 5924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( G  |`  (
e  u.  { y } ) )  =  ( z  e.  ( e  u.  { y } )  |->  ( G `
 z ) ) )
149148oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( e  u. 
{ y } ) 
|->  ( G `  z
) ) ) )
150 resabs1 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( e 
C_  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e )  =  ( G  |`  e )
)
15157, 150mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e )  =  ( G  |`  e )
)
15259adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
e  C_  A )
153139, 152feqresmpt 5924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( G  |`  e
)  =  ( z  e.  e  |->  ( G `
 z ) ) )
154151, 153eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e )  =  ( z  e.  e  |->  ( G `  z ) ) )
155154oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e ) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  e 
|->  ( G `  z
) ) ) )
156 resabs1 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { y }  C_  (
e  u.  { y } )  ->  (
( G  |`  (
e  u.  { y } ) )  |`  { y } )  =  ( G  |`  { y } ) )
15770, 156mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } )  =  ( G  |`  { y } ) )
15870, 147syl5ss 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  ->  { y }  C_  A )
159139, 158feqresmpt 5924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( G  |`  { y } )  =  ( z  e.  { y }  |->  ( G `  z ) ) )
160157, 159eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } )  =  ( z  e. 
{ y }  |->  ( G `  z ) ) )
161160oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } ) )  =  ( M 
gsumg  ( z  e.  {
y }  |->  ( G `
 z ) ) ) )
16235, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  M  e.  Mnd )
163162adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  ->  M  e.  Mnd )
16471a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
y  e.  _V )
16573a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
y  e.  ( e  u.  { y } ) )
166147, 165sseldd 3435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
y  e.  A )
167139, 166ffvelrnd 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( G `  y
)  e.  B )
168145adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  z  =  y )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  y ) )
16945, 163, 164, 167, 168gsumsnd 17597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( M  gsumg  ( z  e.  {
y }  |->  ( G `
 z ) ) )  =  ( G `
 y ) )
170161, 169eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } ) )  =  ( G `
 y ) )
171155, 170oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( ( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  { y } ) )  |`  e )
) ( +g  `  M
) ( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  { y } ) )  |`  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( z  e.  e 
|->  ( G `  z
) ) ) ( +g  `  M ) ( G `  y
) ) )
172149, 171eqeq12d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( ( M  gsumg  ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e ) ) ( +g  `  M ) ( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } ) ) )  <->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( e  u.  { y } )  |->  ( G `  z ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( z  e.  e 
|->  ( G `  z
) ) ) ( +g  `  M ) ( G `  y
) ) ) )
173172adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  (
( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e ) ) ( +g  `  M ) ( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } ) ) )  <->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( e  u.  { y } )  |->  ( G `  z ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( z  e.  e 
|->  ( G `  z
) ) ) ( +g  `  M ) ( G `  y
) ) ) )
174146, 173mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e ) ) ( +g  `  M ) ( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } ) ) ) )
17557, 150ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  |`  ( e  u.  { y } ) )  |`  e )  =  ( G  |`  e )
176175oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M 
gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e ) )  =  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) )
17770, 156ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  |`  ( e  u.  { y } ) )  |`  { y } )  =  ( G  |`  { y } )
178177oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M 
gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } ) )  =  ( M 
gsumg  ( G  |`  { y } ) )
179176, 178oveq12i 6307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e ) ) ( +g  `  M ) ( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) ( +g  `  M ) ( M 
gsumg  ( G  |`  { y } ) ) )
180174, 179syl6eq 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( M  gsumg  ( G  |`  { y } ) ) ) )
18170, 69syl5ss 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  { y }  C_  A )
18268, 181feqresmpt 5924 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( G  |`  { y } )  =  ( x  e.  { y } 
|->  ( G `  x
) ) )
183182oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  { y } ) )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  {
y }  |->  ( G `
 x ) ) ) )
184 cmnmnd 17457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e. CMnd  ->  M  e.  Mnd )
18579, 184syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  M  e.  Mnd )
186 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
18745, 186gsumsn 17599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  y  e.  _V  /\  ( G `  y )  e.  B )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  {
y }  |->  ( G `
 x ) ) )  =  ( G `
 y ) )
188185, 143, 76, 187syl3anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  {
y }  |->  ( G `
 x ) ) )  =  ( G `
 y ) )
189183, 188eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  { y } ) )  =  ( G `  y
) )
190189oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  (
( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) ( +g  `  M ) ( M 
gsumg  ( G  |`  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( G `  y ) ) )
191180, 190eqtrd 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( G `  y ) ) )
192191adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( G `  y ) ) )
193116, 138, 1923brtr4d 4436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) )
19462, 63, 64, 193syl21anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ y } ) 
C_  A ) )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) )
195194exp31 609 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  y  e.  e
)  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ y } ) 
C_  A )  -> 
( ( M  gsumg  ( F  |`  e ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) ) ) )
196195a2d 29 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  y  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e )
)  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) ) ) )
19761, 196syl5 33 . . . . . 6  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  y  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  (
( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  ( e  u.  { y } ) ) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  ( e  u.  { y } ) ) ) ) ) )
19810, 18, 26, 34, 56, 197findcard2s 7817 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  A ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  A )
) ) )
199198imp 431 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( ph  /\  A  C_  A ) )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  A ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  A )
) )
2002, 199mpanr2 691 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ph )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  A )
)  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  A ) ) )
2011, 200mpancom 676 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  A ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  A )
) )
202 fnresdm 5690 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
203106, 202syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  =  F )
204203oveq2d 6311 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  A ) )  =  ( M 
gsumg  F ) )
205 fnresdm 5690 . . . 4  |-  ( G  Fn  A  ->  ( G  |`  A )  =  G )
206108, 205syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  |`  A )  =  G )
207206oveq2d 6311 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  A ) )  =  ( M 
gsumg  G ) )
208201, 204, 2073brtr3d 4435 1  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  F )  .<_  ( M 
gsumg  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889   _Vcvv 3047    u. cun 3404    C_ wss 3406   (/)c0 3733   {csn 3970   class class class wbr 4405    |-> cmpt 4464    |` cres 4839    Fn wfn 5580   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    oRcofr 6535   Fincfn 7574   Basecbs 15133   +g cplusg 15202   lecple 15209   0gc0g 15350    gsumg cgsu 15351   Posetcpo 16197  Tosetctos 16291   Mndcmnd 16547  CMndccmn 17442  oMndcomnd 28472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-ofr 6537  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-preset 16185  df-poset 16203  df-toset 16292  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-mulg 16688  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-omnd 28474
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