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Theorem gsumle 27748
Description: A finite sum in an ordered monoid is monotonic. This proof would be much easier in an ordered group, where an inverse element would be available. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumle.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
gsumle.l  |-  .<_  =  ( le `  M )
gsumle.m  |-  ( ph  ->  M  e. oMnd )
gsumle.n  |-  ( ph  ->  M  e. CMnd )
gsumle.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumle.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumle.g  |-  ( ph  ->  G : A --> B )
gsumle.c  |-  ( ph  ->  F  oR  .<_  G )
Assertion
Ref Expression
gsumle  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  F )  .<_  ( M 
gsumg  G ) )

Proof of Theorem gsumle
Dummy variables  e 
a  y  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumle.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 ssid 3508 . . . 4  |-  A  C_  A
3 sseq1 3510 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
43anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  (/)  C_  A ) ) )
5 reseq2 5258 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  ( F  |`  a )  =  ( F  |`  (/) ) )
65oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( M 
gsumg  ( F  |`  a ) )  =  ( M 
gsumg  ( F  |`  (/) ) ) )
7 reseq2 5258 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  ( G  |`  a )  =  ( G  |`  (/) ) )
87oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) )  =  ( M 
gsumg  ( G  |`  (/) ) ) )
96, 8breq12d 4450 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) )  <->  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (/) ) ) ) )
104, 9imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  a  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) ) )  <->  ( ( ph  /\  (/)  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (/) ) ) ) ) )
11 sseq1 3510 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  (
a  C_  A  <->  e  C_  A ) )
1211anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  e  C_  A )
) )
13 reseq2 5258 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  e  ->  ( F  |`  a )  =  ( F  |`  e
) )
1413oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  =  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) ) )
15 reseq2 5258 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  e  ->  ( G  |`  a )  =  ( G  |`  e
) )
1615oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  a
) )  =  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) )
1714, 16breq12d 4450 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  (
( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) )  <->  ( M  gsumg  ( F  |`  e ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) ) )
1812, 17imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( a  =  e  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) ) )  <->  ( ( ph  /\  e  C_  A
)  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e )
)  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e ) ) ) ) )
19 sseq1 3510 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( a  C_  A 
<->  ( e  u.  {
y } )  C_  A ) )
2019anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( ( ph  /\  a  C_  A )  <->  (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A ) ) )
21 reseq2 5258 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( F  |`  a )  =  ( F  |`  ( e  u.  { y } ) ) )
2221oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  a ) )  =  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) )
23 reseq2 5258 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( G  |`  a )  =  ( G  |`  ( e  u.  { y } ) ) )
2423oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  a ) )  =  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) )
2522, 24breq12d 4450 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( ( M 
gsumg  ( F  |`  a ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  a )
)  <->  ( M  gsumg  ( F  |`  ( e  u.  {
y } ) ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  ( e  u.  { y } ) ) ) ) )
2620, 25imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( ( (
ph  /\  a  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ y } ) 
C_  A )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) ) ) )
27 sseq1 3510 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
a  C_  A  <->  A  C_  A
) )
2827anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  A  C_  A )
) )
29 reseq2 5258 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( F  |`  a )  =  ( F  |`  A ) )
3029oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  =  ( M  gsumg  ( F  |`  A ) ) )
31 reseq2 5258 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( G  |`  a )  =  ( G  |`  A ) )
3231oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  a
) )  =  ( M  gsumg  ( G  |`  A ) ) )
3330, 32breq12d 4450 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) )  <->  ( M  gsumg  ( F  |`  A ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  A ) ) ) )
3428, 33imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) ) )  <->  ( ( ph  /\  A  C_  A
)  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  A )
)  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  A ) ) ) ) )
35 gsumle.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e. oMnd )
36 omndtos 27673 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e. oMnd  ->  M  e. Toset )
37 tospos 27624 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e. Toset  ->  M  e.  Poset )
3835, 36, 373syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  Poset )
39 res0 5268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
4039oveq2i 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M 
gsumg  ( F  |`  (/) ) )  =  ( M  gsumg  (/) )
41 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
4241gsum0 15884 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  M )
4340, 42eqtri 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( M 
gsumg  ( F  |`  (/) ) )  =  ( 0g `  M )
44 omndmnd 27672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e. oMnd  ->  M  e.  Mnd )
45 gsumle.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  M
)
4645, 41mndidcl 15917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( 0g `  M )  e.  B )
4735, 44, 463syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0g `  M
)  e.  B )
4843, 47syl5eqel 2535 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) )  e.  B )
49 gsumle.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  M )
5045, 49posref 15559 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Poset  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) )  e.  B )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) )
5138, 48, 50syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) )
52 res0 5268 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  |`  (/) )  =  (/)
5339, 52eqtr4i 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( F  |`  (/) )  =  ( G  |`  (/) )
5453oveq2i 6292 . . . . . . . 8  |-  ( M 
gsumg  ( F  |`  (/) ) )  =  ( M  gsumg  ( G  |`  (/) ) )
5551, 54syl6breq 4476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (/) ) ) )
5655adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  A
)  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (/) ) ) )
57 ssun1 3652 . . . . . . . . . 10  |-  e  C_  ( e  u.  {
y } )
58 sstr2 3496 . . . . . . . . . 10  |-  ( e 
C_  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( ( e  u.  { y } )  C_  A  ->  e 
C_  A ) )
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  u.  { y } )  C_  A  ->  e  C_  A )
6059anim2i 569 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( ph  /\  e  C_  A ) )
6160imim1i 58 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  (
( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e )
)  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e ) ) ) )
62 simplr 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ y } ) 
C_  A ) )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) )  -> 
( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
) )
63 simpllr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ y } ) 
C_  A ) )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) )  ->  -.  y  e.  e
)
64 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ y } ) 
C_  A ) )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )
65 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
6635ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  M  e. oMnd )
67 gsumle.g . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : A --> B )
6867ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  G : A --> B )
69 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  (
e  u.  { y } )  C_  A
)
70 ssun2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { y }  C_  ( e  u.  { y } )
71 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  y  e. 
_V
7271snss 4139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( e  u. 
{ y } )  <->  { y }  C_  ( e  u.  {
y } ) )
7370, 72mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e.  ( e  u.  {
y } )
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  y  e.  ( e  u.  {
y } ) )
7569, 74sseldd 3490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  y  e.  A )
7668, 75ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( G `  y )  e.  B )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  B )
78 gsumle.n . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e. CMnd )
7978ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  M  e. CMnd )
80 vex 3098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  e  e. 
_V
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  e  e.  _V )
82 gsumle.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
8382ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  F : A --> B )
8457, 69syl5ss 3500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  e  C_  A )
8583, 84fssresd 5742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( F  |`  e ) : e --> B )
861ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  A  e.  Fin )
87 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  M )  e. 
_V
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( 0g `  M )  e. 
_V )
8983, 86, 88fdmfifsupp 7841 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  F finSupp  ( 0g `  M ) )
9089, 88fsuppres 7856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( F  |`  e ) finSupp  ( 0g `  M ) )
9145, 41, 79, 81, 85, 90gsumcl 16902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  e.  B
)
9291adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  e.  B
)
9383, 75ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( F `  y )  e.  B )
9493adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  B )
9568, 84fssresd 5742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( G  |`  e ) : e --> B )
96 ssfi 7742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  e  C_  A )  -> 
e  e.  Fin )
9786, 84, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  e  e.  Fin )
9895, 97, 88fdmfifsupp 7841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( G  |`  e ) finSupp  ( 0g `  M ) )
9945, 41, 79, 81, 95, 98gsumcl 16902 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) )  e.  B
)
10099adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) )  e.  B
)
101 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )
102 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ph )
103 gsumle.c . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  oR  .<_  G )
104103ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  F  oR  .<_  G )
105 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
10682, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
107 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : A --> B  ->  G  Fn  A )
10867, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
109 inidm 3692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  i^i  A )  =  A
110 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
111 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  y ) )
112106, 108, 1, 1, 109, 110, 111ofrval 6535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  F  oR  .<_  G  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  .<_  ( G `  y
) )
113102, 104, 75, 112syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( F `  y )  .<_  ( G `  y
) )
114113adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( F `  y )  .<_  ( G `  y
) )
11579adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  M  e. CMnd )
11645, 49, 65, 66, 77, 92, 94, 100, 101, 114, 115omndadd2d 27676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  (
( M  gsumg  ( F  |`  e
) ) ( +g  `  M ) ( F `
 y ) ) 
.<_  ( ( M  gsumg  ( G  |`  e ) ) ( +g  `  M ) ( G `  y
) ) )
11797adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  e  e.  Fin )
11882ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  z  e.  e )  ->  F : A --> B )
119 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  z  e.  e )  ->  (
e  u.  { y } )  C_  A
)
120 elun1 3656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  e  ->  z  e.  ( e  u.  {
y } ) )
121120adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  z  e.  e )  ->  z  e.  ( e  u.  {
y } ) )
122119, 121sseldd 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  z  e.  e )  ->  z  e.  A )
123118, 122ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  z  e.  e )  ->  ( F `  z )  e.  B )
124123ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( z  e.  e  ->  ( F `  z )  e.  B
) )
125124ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  (
z  e.  e  -> 
( F `  z
)  e.  B ) )
126125imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  /\  z  e.  e )  ->  ( F `  z )  e.  B )
12771a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  y  e.  _V )
128 simplr 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  -.  y  e.  e )
129 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
13045, 65, 115, 117, 126, 127, 128, 94, 129gsumunsn 16965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( e  u.  { y } )  |->  ( F `
 z ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( z  e.  e 
|->  ( F `  z
) ) ) ( +g  `  M ) ( F `  y
) ) )
13183, 69feqresmpt 5912 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( F  |`  ( e  u. 
{ y } ) )  =  ( z  e.  ( e  u. 
{ y } ) 
|->  ( F `  z
) ) )
132131oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( e  u. 
{ y } ) 
|->  ( F `  z
) ) ) )
13383, 84feqresmpt 5912 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( F  |`  e )  =  ( z  e.  e 
|->  ( F `  z
) ) )
134133oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  e 
|->  ( F `  z
) ) ) )
135134oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  (
( M  gsumg  ( F  |`  e
) ) ( +g  `  M ) ( F `
 y ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( z  e.  e 
|->  ( F `  z
) ) ) ( +g  `  M ) ( F `  y
) ) )
136132, 135eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  (
( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( F  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( F `  y ) )  <->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( e  u.  { y } )  |->  ( F `  z ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( z  e.  e 
|->  ( F `  z
) ) ) ( +g  `  M ) ( F `  y
) ) ) )
137136adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  (
( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( F  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( F `  y ) )  <->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( e  u.  { y } )  |->  ( F `  z ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( z  e.  e 
|->  ( F `  z
) ) ) ( +g  `  M ) ( F `  y
) ) ) )
138130, 137mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( F  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( F `  y ) ) )
13967adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  ->  G : A --> B )
140139ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  z  e.  e
)  ->  G : A
--> B )
141122adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  z  e.  e
)  ->  z  e.  A )
142140, 141ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  z  e.  e
)  ->  ( G `  z )  e.  B
)
14371a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  y  e.  _V )
144 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  -.  y  e.  e )
145 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  y  ->  ( G `  z )  =  ( G `  y ) )
14645, 65, 79, 97, 142, 143, 144, 76, 145gsumunsn 16965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( e  u.  { y } )  |->  ( G `
 z ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( z  e.  e 
|->  ( G `  z
) ) ) ( +g  `  M ) ( G `  y
) ) )
147 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( e  u.  {
y } )  C_  A )
148139, 147feqresmpt 5912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( G  |`  (
e  u.  { y } ) )  =  ( z  e.  ( e  u.  { y } )  |->  ( G `
 z ) ) )
149148oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  ( e  u. 
{ y } ) 
|->  ( G `  z
) ) ) )
150 resabs1 5292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( e 
C_  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e )  =  ( G  |`  e )
)
15157, 150mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e )  =  ( G  |`  e )
)
15259adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
e  C_  A )
153139, 152feqresmpt 5912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( G  |`  e
)  =  ( z  e.  e  |->  ( G `
 z ) ) )
154151, 153eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e )  =  ( z  e.  e  |->  ( G `  z ) ) )
155154oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e ) )  =  ( M  gsumg  ( z  e.  e 
|->  ( G `  z
) ) ) )
156 resabs1 5292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { y }  C_  (
e  u.  { y } )  ->  (
( G  |`  (
e  u.  { y } ) )  |`  { y } )  =  ( G  |`  { y } ) )
15770, 156mp1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } )  =  ( G  |`  { y } ) )
15870, 147syl5ss 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  ->  { y }  C_  A )
159139, 158feqresmpt 5912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( G  |`  { y } )  =  ( z  e.  { y }  |->  ( G `  z ) ) )
160157, 159eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } )  =  ( z  e. 
{ y }  |->  ( G `  z ) ) )
161160oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } ) )  =  ( M 
gsumg  ( z  e.  {
y }  |->  ( G `
 z ) ) ) )
16235, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  M  e.  Mnd )
163162adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  ->  M  e.  Mnd )
16471a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
y  e.  _V )
16573a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
y  e.  ( e  u.  { y } ) )
166147, 165sseldd 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
y  e.  A )
167139, 166ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( G `  y
)  e.  B )
168145adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  z  =  y )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  y ) )
16945, 163, 164, 167, 168gsumsnd 16958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( M  gsumg  ( z  e.  {
y }  |->  ( G `
 z ) ) )  =  ( G `
 y ) )
170161, 169eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } ) )  =  ( G `
 y ) )
171155, 170oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( ( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  { y } ) )  |`  e )
) ( +g  `  M
) ( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  { y } ) )  |`  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( z  e.  e 
|->  ( G `  z
) ) ) ( +g  `  M ) ( G `  y
) ) )
172149, 171eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( ( M  gsumg  ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e ) ) ( +g  `  M ) ( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } ) ) )  <->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( e  u.  { y } )  |->  ( G `  z ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( z  e.  e 
|->  ( G `  z
) ) ) ( +g  `  M ) ( G `  y
) ) ) )
173172adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  (
( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e ) ) ( +g  `  M ) ( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } ) ) )  <->  ( M  gsumg  ( z  e.  ( e  u.  { y } )  |->  ( G `  z ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( z  e.  e 
|->  ( G `  z
) ) ) ( +g  `  M ) ( G `  y
) ) ) )
174146, 173mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e ) ) ( +g  `  M ) ( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } ) ) ) )
17557, 150ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  |`  ( e  u.  { y } ) )  |`  e )  =  ( G  |`  e )
176175oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M 
gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e ) )  =  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) )
17770, 156ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  |`  ( e  u.  { y } ) )  |`  { y } )  =  ( G  |`  { y } )
178177oveq2i 6292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M 
gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } ) )  =  ( M 
gsumg  ( G  |`  { y } ) )
179176, 178oveq12i 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e ) ) ( +g  `  M ) ( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) ( +g  `  M ) ( M 
gsumg  ( G  |`  { y } ) ) )
180174, 179syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( M  gsumg  ( G  |`  { y } ) ) ) )
18170, 69syl5ss 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  { y }  C_  A )
18268, 181feqresmpt 5912 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( G  |`  { y } )  =  ( x  e.  { y } 
|->  ( G `  x
) ) )
183182oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  { y } ) )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  {
y }  |->  ( G `
 x ) ) ) )
184 cmnmnd 16792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  e. CMnd  ->  M  e.  Mnd )
18579, 184syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  M  e.  Mnd )
186 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
18745, 186gsumsn 16960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  y  e.  _V  /\  ( G `  y )  e.  B )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  {
y }  |->  ( G `
 x ) ) )  =  ( G `
 y ) )
188185, 143, 76, 187syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  {
y }  |->  ( G `
 x ) ) )  =  ( G `
 y ) )
189183, 188eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  { y } ) )  =  ( G `  y
) )
190189oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  (
( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) ( +g  `  M ) ( M 
gsumg  ( G  |`  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( G `  y ) ) )
191180, 190eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( G `  y ) ) )
192191adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( G `  y ) ) )
193116, 138, 1923brtr4d 4467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) )
19462, 63, 64, 193syl21anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ y } ) 
C_  A ) )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) )
195194exp31 604 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  y  e.  e
)  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ y } ) 
C_  A )  -> 
( ( M  gsumg  ( F  |`  e ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) ) ) )
196195a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  y  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e )
)  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) ) ) )
19761, 196syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  y  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  (
( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  ( e  u.  { y } ) ) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  ( e  u.  { y } ) ) ) ) ) )
19810, 18, 26, 34, 56, 197findcard2s 7763 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  A ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  A )
) ) )
199198imp 429 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( ph  /\  A  C_  A ) )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  A ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  A )
) )
2002, 199mpanr2 684 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ph )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  A )
)  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  A ) ) )
2011, 200mpancom 669 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  A ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  A )
) )
202 fnresdm 5680 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
203106, 202syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  =  F )
204203oveq2d 6297 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  A ) )  =  ( M 
gsumg  F ) )
205 fnresdm 5680 . . . 4  |-  ( G  Fn  A  ->  ( G  |`  A )  =  G )
206108, 205syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  |`  A )  =  G )
207206oveq2d 6297 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  A ) )  =  ( M 
gsumg  G ) )
208201, 204, 2073brtr3d 4466 1  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  F )  .<_  ( M 
gsumg  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    u. cun 3459    C_ wss 3461   (/)c0 3770   {csn 4014   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    |` cres 4991    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oRcofr 6524   Fincfn 7518   Basecbs 14614   +g cplusg 14679   lecple 14686   0gc0g 14819    gsumg cgsu 14820   Posetcpo 15548  Tosetctos 15642   Mndcmnd 15898  CMndccmn 16777  oMndcomnd 27665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-hash 12388  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-preset 15536  df-poset 15554  df-toset 15643  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-omnd 27667
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