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Theorem gsumle 26268
Description: A finite sum in an ordered monoid is monotonic. This proof would be much easier in an ordered group, where an inverse element would be available. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumle.b  |-  B  =  ( Base `  M
)
gsumle.l  |-  .<_  =  ( le `  M )
gsumle.m  |-  ( ph  ->  M  e. oMnd )
gsumle.n  |-  ( ph  ->  M  e. CMnd )
gsumle.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumle.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumle.g  |-  ( ph  ->  G : A --> B )
gsumle.c  |-  ( ph  ->  F  oR  .<_  G )
Assertion
Ref Expression
gsumle  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  F )  .<_  ( M 
gsumg  G ) )

Proof of Theorem gsumle
Dummy variables  e 
a  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumle.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 ssid 3396 . . . 4  |-  A  C_  A
3 sseq1 3398 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
43anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  (/)  C_  A ) ) )
5 reseq2 5126 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  ( F  |`  a )  =  ( F  |`  (/) ) )
65oveq2d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( M 
gsumg  ( F  |`  a ) )  =  ( M 
gsumg  ( F  |`  (/) ) ) )
7 reseq2 5126 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  (/)  ->  ( G  |`  a )  =  ( G  |`  (/) ) )
87oveq2d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  (/)  ->  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) )  =  ( M 
gsumg  ( G  |`  (/) ) ) )
96, 8breq12d 4326 . . . . . . 7  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) )  <->  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (/) ) ) ) )
104, 9imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  a  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) ) )  <->  ( ( ph  /\  (/)  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (/) ) ) ) ) )
11 sseq1 3398 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  (
a  C_  A  <->  e  C_  A ) )
1211anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  e  C_  A )
) )
13 reseq2 5126 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  e  ->  ( F  |`  a )  =  ( F  |`  e
) )
1413oveq2d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  =  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) ) )
15 reseq2 5126 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  e  ->  ( G  |`  a )  =  ( G  |`  e
) )
1615oveq2d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  e  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  a
) )  =  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) )
1714, 16breq12d 4326 . . . . . . 7  |-  ( a  =  e  ->  (
( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) )  <->  ( M  gsumg  ( F  |`  e ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) ) )
1812, 17imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( a  =  e  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) ) )  <->  ( ( ph  /\  e  C_  A
)  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e )
)  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e ) ) ) ) )
19 sseq1 3398 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( a  C_  A 
<->  ( e  u.  {
y } )  C_  A ) )
2019anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( ( ph  /\  a  C_  A )  <->  (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A ) ) )
21 reseq2 5126 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( F  |`  a )  =  ( F  |`  ( e  u.  { y } ) ) )
2221oveq2d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  a ) )  =  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) )
23 reseq2 5126 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( G  |`  a )  =  ( G  |`  ( e  u.  { y } ) ) )
2423oveq2d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  a ) )  =  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) )
2522, 24breq12d 4326 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( ( M 
gsumg  ( F  |`  a ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  a )
)  <->  ( M  gsumg  ( F  |`  ( e  u.  {
y } ) ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  ( e  u.  { y } ) ) ) ) )
2620, 25imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( ( (
ph  /\  a  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) ) )  <->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ y } ) 
C_  A )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) ) ) )
27 sseq1 3398 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
a  C_  A  <->  A  C_  A
) )
2827anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( ph  /\  a  C_  A )  <->  ( ph  /\  A  C_  A )
) )
29 reseq2 5126 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( F  |`  a )  =  ( F  |`  A ) )
3029oveq2d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  =  ( M  gsumg  ( F  |`  A ) ) )
31 reseq2 5126 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  ( G  |`  a )  =  ( G  |`  A ) )
3231oveq2d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  a
) )  =  ( M  gsumg  ( G  |`  A ) ) )
3330, 32breq12d 4326 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) )  <->  ( M  gsumg  ( F  |`  A ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  A ) ) ) )
3428, 33imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( ph  /\  a  C_  A )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  a
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  a ) ) )  <->  ( ( ph  /\  A  C_  A
)  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  A )
)  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  A ) ) ) ) )
35 gsumle.m . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e. oMnd )
36 omndtos 26190 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e. oMnd  ->  M  e. Toset )
37 tospos 26141 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e. Toset  ->  M  e.  Poset )
3835, 36, 373syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  Poset )
39 res0 5136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
4039oveq2i 6123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M 
gsumg  ( F  |`  (/) ) )  =  ( M  gsumg  (/) )
41 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  M )  =  ( 0g `  M
)
4241gsum0 15531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  M )
4340, 42eqtri 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( M 
gsumg  ( F  |`  (/) ) )  =  ( 0g `  M )
44 omndmnd 26189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e. oMnd  ->  M  e.  Mnd )
45 gsumle.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  M
)
4645, 41mndidcl 15460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  Mnd  ->  ( 0g `  M )  e.  B )
4735, 44, 463syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0g `  M
)  e.  B )
4843, 47syl5eqel 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) )  e.  B )
49 gsumle.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  M )
5045, 49posref 15142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Poset  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) )  e.  B )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) )
5138, 48, 50syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) )
52 res0 5136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  |`  (/) )  =  (/)
5339, 52eqtr4i 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  |`  (/) )  =  ( G  |`  (/) )
5453oveq2i 6123 . . . . . . . . 9  |-  ( M 
gsumg  ( F  |`  (/) ) )  =  ( M  gsumg  ( G  |`  (/) ) )
5554breq2i 4321 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) )  <-> 
( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (/) ) ) )
5651, 55sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (/) ) ) )
5756adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  A
)  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (/) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (/) ) ) )
58 ssun1 3540 . . . . . . . . . 10  |-  e  C_  ( e  u.  {
y } )
59 sstr2 3384 . . . . . . . . . 10  |-  ( e 
C_  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( ( e  u.  { y } )  C_  A  ->  e 
C_  A ) )
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( e  u.  { y } )  C_  A  ->  e  C_  A )
6160anim2i 569 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( e  u.  { y } ) 
C_  A )  -> 
( ph  /\  e  C_  A ) )
6261imim1i 58 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  (
( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e )
)  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e ) ) ) )
63 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ y } ) 
C_  A ) )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) )  -> 
( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
) )
64 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ y } ) 
C_  A ) )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) )  ->  -.  y  e.  e
)
65 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ y } ) 
C_  A ) )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )
66 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  M )  =  ( +g  `  M )
6735ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  M  e. oMnd )
68 gsumle.g . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G : A --> B )
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  G : A --> B )
70 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  (
e  u.  { y } )  C_  A
)
71 ssun2 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { y }  C_  ( e  u.  { y } )
72 vex 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  y  e. 
_V
7372snss 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( e  u. 
{ y } )  <->  { y }  C_  ( e  u.  {
y } ) )
7471, 73mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e.  ( e  u.  {
y } )
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  y  e.  ( e  u.  {
y } ) )
7670, 75sseldd 3378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  y  e.  A )
7769, 76ffvelrnd 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( G `  y )  e.  B )
7877adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( G `  y )  e.  B )
79 gsumle.n . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e. CMnd )
8079ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  M  e. CMnd )
81 vex 2996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  e  e. 
_V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  e  e.  _V )
83 gsumle.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
8483ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  F : A --> B )
8558, 70syl5ss 3388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  e  C_  A )
86 fssres 5599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A --> B  /\  e  C_  A )  -> 
( F  |`  e
) : e --> B )
8784, 85, 86syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( F  |`  e ) : e --> B )
881ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  A  e.  Fin )
89 ssfi 7554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  e  C_  A )  -> 
e  e.  Fin )
9088, 85, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  e  e.  Fin )
9190, 87fisuppfi 7649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( `' ( F  |`  e ) " ( _V  \  { ( 0g
`  M ) } ) )  e.  Fin )
9245, 41, 80, 82, 87, 91gsumclOLD 16421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  e.  B
)
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  e.  B
)
9484, 76ffvelrnd 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( F `  y )  e.  B )
9594adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  B )
96 fssres 5599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : A --> B  /\  e  C_  A )  -> 
( G  |`  e
) : e --> B )
9769, 85, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( G  |`  e ) : e --> B )
9890, 97fisuppfi 7649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( `' ( G  |`  e ) " ( _V  \  { ( 0g
`  M ) } ) )  e.  Fin )
9945, 41, 80, 82, 97, 98gsumclOLD 16421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) )  e.  B
)
10099adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) )  e.  B
)
101 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )
102 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ph )
103 gsumle.c . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F  oR  .<_  G )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  F  oR  .<_  G )
105 ffn 5580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
10683, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
107 ffn 5580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : A --> B  ->  G  Fn  A )
10868, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
109 inidm 3580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  i^i  A )  =  A
110 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
111 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( G `  y )  =  ( G `  y ) )
112106, 108, 1, 1, 109, 110, 111ofrval 6351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  F  oR  .<_  G  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  .<_  ( G `  y
) )
113102, 104, 76, 112syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( F `  y )  .<_  ( G `  y
) )
114113adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( F `  y )  .<_  ( G `  y
) )
11580adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  M  e. CMnd )
11645, 49, 66, 67, 78, 93, 95, 100, 101, 114, 115omndadd2d 26193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  (
( M  gsumg  ( F  |`  e
) ) ( +g  `  M ) ( F `
 y ) ) 
.<_  ( ( M  gsumg  ( G  |`  e ) ) ( +g  `  M ) ( G `  y
) ) )
117 snex 4554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { y }  e.  _V
11881, 117unex 6399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( e  u.  { y } )  e.  _V
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  (
e  u.  { y } )  e.  _V )
120 fssres 5599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( F  |`  ( e  u. 
{ y } ) ) : ( e  u.  { y } ) --> B )
12184, 70, 120syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( F  |`  ( e  u. 
{ y } ) ) : ( e  u.  { y } ) --> B )
122 cnvimass 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( `' ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  M
) } ) ) 
C_  dom  ( F  |`  ( e  u.  {
y } ) )
123 dmres 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  ( F  |`  ( e  u. 
{ y } ) )  =  ( ( e  u.  { y } )  i^i  dom  F )
124122, 123sseqtri 3409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  M
) } ) ) 
C_  ( ( e  u.  { y } )  i^i  dom  F
)
125 inss1 3591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( e  u.  { y } )  i^i  dom  F )  C_  ( e  u.  { y } )
126124, 125sstri 3386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  M
) } ) ) 
C_  ( e  u. 
{ y } )
127126, 70syl5ss 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( `' ( F  |`  ( e  u.  {
y } ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  M ) } ) )  C_  A )
128 ssfi 7554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( `' ( F  |`  ( e  u.  {
y } ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  M ) } ) )  C_  A )  ->  ( `' ( F  |`  ( e  u.  {
y } ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  M ) } ) )  e.  Fin )
12988, 127, 128syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( `' ( F  |`  ( e  u.  {
y } ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  M ) } ) )  e.  Fin )
130 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  -.  y  e.  e )
131 disjsn 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( e  i^i  { y } )  =  (/)  <->  -.  y  e.  e )
132130, 131sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  (
e  i^i  { y } )  =  (/) )
133 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  (
e  u.  { y } )  =  ( e  u.  { y } ) )
13445, 41, 66, 80, 119, 121, 129, 132, 133gsumsplitOLD 16442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( ( F  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e ) ) ( +g  `  M ) ( M  gsumg  ( ( F  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } ) ) ) )
135 resabs1 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e 
C_  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( ( F  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e )  =  ( F  |`  e )
)
13658, 135ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  |`  ( e  u.  { y } ) )  |`  e )  =  ( F  |`  e )
137136oveq2i 6123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M 
gsumg  ( ( F  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e ) )  =  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )
138 resabs1 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { y }  C_  (
e  u.  { y } )  ->  (
( F  |`  (
e  u.  { y } ) )  |`  { y } )  =  ( F  |`  { y } ) )
13971, 138ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  |`  ( e  u.  { y } ) )  |`  { y } )  =  ( F  |`  { y } )
140139oveq2i 6123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M 
gsumg  ( ( F  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } ) )  =  ( M 
gsumg  ( F  |`  { y } ) )
141137, 140oveq12i 6124 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  gsumg  ( ( F  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e ) ) ( +g  `  M ) ( M  gsumg  ( ( F  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( F  |`  e
) ) ( +g  `  M ) ( M 
gsumg  ( F  |`  { y } ) ) )
142134, 141syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( F  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( M  gsumg  ( F  |`  { y } ) ) ) )
14371, 70syl5ss 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  { y }  C_  A )
14484, 143feqresmpt 5766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( F  |`  { y } )  =  ( x  e.  { y } 
|->  ( F `  x
) ) )
145144oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  { y } ) )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  {
y }  |->  ( F `
 x ) ) ) )
146 cmnmnd 16313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e. CMnd  ->  M  e.  Mnd )
14780, 146syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  M  e.  Mnd )
14872a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  y  e.  _V )
149 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
15045, 149gsumsn 16471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  y  e.  _V  /\  ( F `  y )  e.  B )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  {
y }  |->  ( F `
 x ) ) )  =  ( F `
 y ) )
151147, 148, 94, 150syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  {
y }  |->  ( F `
 x ) ) )  =  ( F `
 y ) )
152145, 151eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  { y } ) )  =  ( F `  y
) )
153152oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  (
( M  gsumg  ( F  |`  e
) ) ( +g  `  M ) ( M 
gsumg  ( F  |`  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( F  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( F `  y ) ) )
154142, 153eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( F  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( F `  y ) ) )
155154adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( F  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( F `  y ) ) )
156 fssres 5599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G : A --> B  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( G  |`  ( e  u. 
{ y } ) ) : ( e  u.  { y } ) --> B )
15769, 70, 156syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( G  |`  ( e  u. 
{ y } ) ) : ( e  u.  { y } ) --> B )
158 cnvimass 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( `' ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  M
) } ) ) 
C_  dom  ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )
159 dmres 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  ( G  |`  ( e  u. 
{ y } ) )  =  ( ( e  u.  { y } )  i^i  dom  G )
160158, 159sseqtri 3409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  M
) } ) ) 
C_  ( ( e  u.  { y } )  i^i  dom  G
)
161 inss1 3591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( e  u.  { y } )  i^i  dom  G )  C_  ( e  u.  { y } )
162160, 161sstri 3386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  M
) } ) ) 
C_  ( e  u. 
{ y } )
163162, 70syl5ss 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( `' ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  M ) } ) )  C_  A )
164 ssfi 7554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( `' ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  M ) } ) )  C_  A )  ->  ( `' ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  M ) } ) )  e.  Fin )
16588, 163, 164syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( `' ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  M ) } ) )  e.  Fin )
16645, 41, 66, 80, 119, 157, 165, 132, 133gsumsplitOLD 16442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e ) ) ( +g  `  M ) ( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } ) ) ) )
167 resabs1 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( e 
C_  ( e  u. 
{ y } )  ->  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e )  =  ( G  |`  e )
)
16858, 167ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  |`  ( e  u.  { y } ) )  |`  e )  =  ( G  |`  e )
169168oveq2i 6123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M 
gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e ) )  =  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) )
170 resabs1 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { y }  C_  (
e  u.  { y } )  ->  (
( G  |`  (
e  u.  { y } ) )  |`  { y } )  =  ( G  |`  { y } ) )
17171, 170ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  |`  ( e  u.  { y } ) )  |`  { y } )  =  ( G  |`  { y } )
172171oveq2i 6123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M 
gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } ) )  =  ( M 
gsumg  ( G  |`  { y } ) )
173169, 172oveq12i 6124 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  e ) ) ( +g  `  M ) ( M  gsumg  ( ( G  |`  ( e  u.  {
y } ) )  |`  { y } ) ) )  =  ( ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) ( +g  `  M ) ( M 
gsumg  ( G  |`  { y } ) ) )
174166, 173syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( M  gsumg  ( G  |`  { y } ) ) ) )
17569, 143feqresmpt 5766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( G  |`  { y } )  =  ( x  e.  { y } 
|->  ( G `  x
) ) )
176175oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  { y } ) )  =  ( M  gsumg  ( x  e.  {
y }  |->  ( G `
 x ) ) ) )
177 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
17845, 177gsumsn 16471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  Mnd  /\  y  e.  _V  /\  ( G `  y )  e.  B )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  {
y }  |->  ( G `
 x ) ) )  =  ( G `
 y ) )
179147, 148, 77, 178syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( x  e.  {
y }  |->  ( G `
 x ) ) )  =  ( G `
 y ) )
180176, 179eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  { y } ) )  =  ( G `  y
) )
181180oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  (
( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) ( +g  `  M ) ( M 
gsumg  ( G  |`  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( G `  y ) ) )
182174, 181eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  /\  -.  y  e.  e )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( G `  y ) ) )
183182adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) )  =  ( ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) ( +g  `  M
) ( G `  y ) ) )
184116, 155, 1833brtr4d 4343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) )
18563, 64, 65, 184syl21anc 1217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( e  e. 
Fin  /\  -.  y  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u. 
{ y } ) 
C_  A ) )  /\  ( M  gsumg  ( F  |`  e ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) ) )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) )
186185ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( e  e.  Fin  /\ 
-.  y  e.  e )  /\  ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A ) )  -> 
( ( M  gsumg  ( F  |`  e ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) ) )
187186ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  y  e.  e
)  ->  ( ( ph  /\  ( e  u. 
{ y } ) 
C_  A )  -> 
( ( M  gsumg  ( F  |`  e ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e
) )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) ) ) )
188187a2d 26 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  y  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e )
)  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  ( ( ph  /\  ( e  u.  {
y } )  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) 
.<_  ( M  gsumg  ( G  |`  (
e  u.  { y } ) ) ) ) ) )
18962, 188syl5 32 . . . . . 6  |-  ( ( e  e.  Fin  /\  -.  y  e.  e
)  ->  ( (
( ph  /\  e  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  e
) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  e ) ) )  ->  (
( ph  /\  (
e  u.  { y } )  C_  A
)  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  ( e  u.  { y } ) ) )  .<_  ( M 
gsumg  ( G  |`  ( e  u.  { y } ) ) ) ) ) )
19010, 18, 26, 34, 57, 189findcard2s 7574 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  A  C_  A )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  A ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  A )
) ) )
191190imp 429 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( ph  /\  A  C_  A ) )  -> 
( M  gsumg  ( F  |`  A ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  A )
) )
1922, 191mpanr2 684 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ph )  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  A )
)  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  A ) ) )
1931, 192mpancom 669 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  A ) )  .<_  ( M  gsumg  ( G  |`  A )
) )
194 fnresdm 5541 . . . 4  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
195106, 194syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  A )  =  F )
196195oveq2d 6128 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( F  |`  A ) )  =  ( M 
gsumg  F ) )
197 fnresdm 5541 . . . 4  |-  ( G  Fn  A  ->  ( G  |`  A )  =  G )
198108, 197syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  |`  A )  =  G )
199198oveq2d 6128 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  ( G  |`  A ) )  =  ( M 
gsumg  G ) )
200193, 196, 1993brtr3d 4342 1  |-  ( ph  ->  ( M  gsumg  F )  .<_  ( M 
gsumg  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2993    \ cdif 3346    u. cun 3347    i^i cin 3348    C_ wss 3349   (/)c0 3658   {csn 3898   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   `'ccnv 4860   dom cdm 4861    |` cres 4863   "cima 4864    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    oRcofr 6340   Fincfn 7331   Basecbs 14195   +g cplusg 14259   lecple 14266   0gc0g 14399    gsumg cgsu 14400   Posetcpo 15131  Tosetctos 15224   Mndcmnd 15430  CMndccmn 16298  oMndcomnd 26182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-ofr 6342  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-oi 7745  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-hash 12125  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-poset 15137  df-toset 15225  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-omnd 26184
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