MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumf1o Structured version   Unicode version

Theorem gsumf1o 16389
Description: Re-index a finite group sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumcl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumcl.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumcl.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumcl.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumcl.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumcl.w  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
gsumf1o.h  |-  ( ph  ->  H : C -1-1-onto-> A )
Assertion
Ref Expression
gsumf1o  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( F  o.  H
) ) )

Proof of Theorem gsumf1o
StepHypRef Expression
1 gsumcl.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumcl.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2438 . 2  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
4 gsumcl.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 cmnmnd 16283 . . 3  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
7 gsumcl.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8 gsumcl.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
91, 3, 4, 8cntzcmnf 16318 . 2  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  F ) )
10 gsumcl.w . 2  |-  ( ph  ->  F finSupp  .0.  )
11 gsumf1o.h . 2  |-  ( ph  ->  H : C -1-1-onto-> A )
121, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11gsumzf1o 16382 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  =  ( G  gsumg  ( F  o.  H
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4287    o. ccom 4839   -->wf 5409   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   finSupp cfsupp 7612   Basecbs 14166   0gc0g 14370    gsumg cgsu 14371   Mndcmnd 15401  Cntzccntz 15824  CMndccmn 16268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-hash 12096  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-mnd 15407  df-cntz 15826  df-cmn 16270
This theorem is referenced by:  gsummptshft  16419  gsummptfif1o  16447  gsum2dlem2  16450  gsumcom2  16455  psrass1lem  17424  psrcom  17458  psropprmul  17668  coe1mul2  17698  ply1coe  17721  ply1coeOLD  17722  tsmsf1o  19694  lgseisenlem3  22665
  Copyright terms: Public domain W3C validator