Theorem gsumf1o 17246

Description: Re-index a finite group sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumcl.b	|- B = ( Base ` G )
gsumcl.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsumcl.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumcl.a	|- ( ph -> A e. V )
gsumcl.f	|- ( ph -> F : A --> B )
gsumcl.w	|- ( ph -> F finSupp .0. )
gsumf1o.h	|- ( ph -> H : C -1-1-onto-> A )

Assertion

Ref	Expression
gsumf1o	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( F o. H ) ) )

Proof of Theorem gsumf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumcl.b	. 2 |- B = ( Base ` G )
2		gsumcl.z	. 2 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2402	. 2 |- (Cntz ` G ) = (Cntz ` G )
4		gsumcl.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
5		cmnmnd 17135	. . 3 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
6	4, 5	syl 17	. 2 |- ( ph -> G e. Mnd )
7		gsumcl.a	. 2 |- ( ph -> A e. V )
8		gsumcl.f	. 2 |- ( ph -> F : A --> B )
9	1, 3, 4, 8	cntzcmnf 17173	. 2 |- ( ph -> ran F C_ ( (Cntz ` G ) ` ran F ) )
10		gsumcl.w	. 2 |- ( ph -> F finSupp .0. )
11		gsumf1o.h	. 2 |- ( ph -> H : C -1-1-onto-> A )
12	1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11	gsumzf1o 17239	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( F o. H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1405   e. wcel 1842   class class class wbr 4394   o. ccom 4826   -->wf 5564   -1-1-onto->wf1o 5567   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   finSupp cfsupp 7862   Basecbs 14839   0gc0g 15052   gsum_g cgsu 15053   Mndcmnd 16241  Cntzccntz 16675  CMndccmn 17120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-hash 12451  df-0g 15054  df-gsum 15055  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-cntz 16677  df-cmn 17122

This theorem is referenced by:  gsummptshft  17277  gsummptf1o  17309  gsummptfif1o  17314  gsum2dlem2  17317  gsumcom2  17322  psrass1lem  18347  psrcom  18382  psropprmul  18597  coe1mul2  18628  ply1coe  18655  ply1coeOLD  18656  tsmsf1o  20937  lgseisenlem3  24005  gsummpt2d  28209