Theorem gsumf1o 16522

Description: Re-index a finite group sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumcl.b	|- B = ( Base ` G )
gsumcl.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsumcl.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumcl.a	|- ( ph -> A e. V )
gsumcl.f	|- ( ph -> F : A --> B )
gsumcl.w	|- ( ph -> F finSupp .0. )
gsumf1o.h	|- ( ph -> H : C -1-1-onto-> A )

Assertion

Ref	Expression
gsumf1o	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( F o. H ) ) )

Proof of Theorem gsumf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumcl.b	. 2 |- B = ( Base ` G )
2		gsumcl.z	. 2 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2454	. 2 |- (Cntz ` G ) = (Cntz ` G )
4		gsumcl.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
5		cmnmnd 16416	. . 3 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
6	4, 5	syl 16	. 2 |- ( ph -> G e. Mnd )
7		gsumcl.a	. 2 |- ( ph -> A e. V )
8		gsumcl.f	. 2 |- ( ph -> F : A --> B )
9	1, 3, 4, 8	cntzcmnf 16451	. 2 |- ( ph -> ran F C_ ( (Cntz ` G ) ` ran F ) )
10		gsumcl.w	. 2 |- ( ph -> F finSupp .0. )
11		gsumf1o.h	. 2 |- ( ph -> H : C -1-1-onto-> A )
12	1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11	gsumzf1o 16515	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( F o. H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1370   e. wcel 1758   class class class wbr 4403   o. ccom 4955   -->wf 5525   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   finSupp cfsupp 7734   Basecbs 14295   0gc0g 14500   gsum_g cgsu 14501   Mndcmnd 15531  Cntzccntz 15955  CMndccmn 16401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-mnd 15537  df-cntz 15957  df-cmn 16403

This theorem is referenced by:  gsummptshft  16554  gsummptfif1o  16584  gsum2dlem2  16587  gsumcom2  16592  psrass1lem  17573  psrcom  17608  psropprmul  17819  coe1mul2  17849  ply1coe  17874  ply1coeOLD  17875  tsmsf1o  19854  lgseisenlem3  22826