Theorem gsumf1o 17550

Description: Re-index a finite group sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumcl.b	|- B = ( Base ` G )
gsumcl.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsumcl.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsumcl.a	|- ( ph -> A e. V )
gsumcl.f	|- ( ph -> F : A --> B )
gsumcl.w	|- ( ph -> F finSupp .0. )
gsumf1o.h	|- ( ph -> H : C -1-1-onto-> A )

Assertion

Ref	Expression
gsumf1o	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( F o. H ) ) )

Proof of Theorem gsumf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumcl.b	. 2 |- B = ( Base ` G )
2		gsumcl.z	. 2 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2451	. 2 |- (Cntz ` G ) = (Cntz ` G )
4		gsumcl.g	. . 3 |- ( ph -> G e. CMnd )
5		cmnmnd 17445	. . 3 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
6	4, 5	syl 17	. 2 |- ( ph -> G e. Mnd )
7		gsumcl.a	. 2 |- ( ph -> A e. V )
8		gsumcl.f	. 2 |- ( ph -> F : A --> B )
9	1, 3, 4, 8	cntzcmnf 17483	. 2 |- ( ph -> ran F C_ ( (Cntz ` G ) ` ran F ) )
10		gsumcl.w	. 2 |- ( ph -> F finSupp .0. )
11		gsumf1o.h	. 2 |- ( ph -> H : C -1-1-onto-> A )
12	1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11	gsumzf1o 17546	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( G gsumg ( F o. H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1444   e. wcel 1887   class class class wbr 4402   o. ccom 4838   -->wf 5578   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   finSupp cfsupp 7883   Basecbs 15121   0gc0g 15338   gsum_g cgsu 15339   Mndcmnd 16535  Cntzccntz 16969  CMndccmn 17430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-cntz 16971  df-cmn 17432

This theorem is referenced by:  gsummptshft  17569  gsummptf1o  17595  gsummptfif1o  17600  gsum2dlem2  17603  gsumcom2  17607  psrass1lem  18601  psrcom  18633  psropprmul  18831  coe1mul2  18862  ply1coe  18889  ply1coeOLD  18890  tsmsf1o  21159  lgseisenlem3  24279  gsummpt2d  28544