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Theorem gsumdixpOLD 16705
Description: Distribute a binary product of sums to a sum of binary products in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) Obsolete version of gsumdixp 16706 as of 10-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumdixp.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
gsumdixp.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
gsumdixp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsumdixp.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
gsumdixp.j  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
gsumdixp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
gsumdixp.x  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
gsumdixp.y  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
gsumdixpOLD.xf  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
gsumdixpOLD.yf  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
gsumdixpOLD  |-  ( ph  ->  ( ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  X ) )  .x.  ( R 
gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y   
x, B, y    x, I, y    x, J, y   
x, R    x,  .x. , y    y, X    x, Y
Allowed substitution hints:    R( y)    V( x, y)    W( x, y)    X( x)    Y( y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem gsumdixpOLD
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumdixp.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 gsumdixp.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 gsumdixp.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 rngcmn 16680 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6 gsumdixp.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
7 gsumdixp.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
87adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  J  e.  W )
93adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  ->  R  e.  Ring )
10 gsumdixp.x . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
11 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  X )  =  ( x  e.  I  |->  X )
1210, 11fmptd 5872 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
13 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  I  /\  j  e.  J )  ->  i  e.  I )
14 ffvelrn 5846 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  /\  i  e.  I )  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  e.  B )
1512, 13, 14syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  e.  B
)
16 gsumdixp.y . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
17 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  J  |->  Y )  =  ( y  e.  J  |->  Y )
1816, 17fmptd 5872 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
19 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  I  /\  j  e.  J )  ->  j  e.  J )
20 ffvelrn 5846 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  /\  j  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j )  e.  B )
2118, 19, 20syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )  e.  B
)
22 gsumdixp.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
231, 22rngcl 16663 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  e.  B  /\  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )  e.  B
)  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  e.  B )
249, 15, 21, 23syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  e.  B )
25 gsumdixpOLD.xf . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
26 gsumdixpOLD.yf . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin )
27 xpfi 7588 . . . . 5  |-  ( ( ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  e.  Fin  /\  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )  ->  (
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )  e. 
Fin )
2825, 26, 27syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  e.  Fin )
29 ianor 488 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  /\  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) )  <->  ( -.  i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  \/  -.  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )
30 brxp 4875 . . . . . . 7  |-  ( i ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) j  <->  ( i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  /\  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
3129, 30xchnxbir 309 . . . . . 6  |-  ( -.  i ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) j  <->  ( -.  i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) )  \/  -.  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
32 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
i  e.  I )
33 eldif 3343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( I  \ 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <->  ( i  e.  I  /\  -.  i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
3433biimpri 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  I  /\  -.  i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  i  e.  ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )
3532, 34sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  i  e.  ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
3612adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
37 ssid 3380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
3837a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
3936, 38suppssrOLD 5842 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  i  e.  ( I  \  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  i )  =  .0.  )
4035, 39syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  i )  =  .0.  )
4140oveq1d 6111 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  (  .0. 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) ) )
421, 22, 2rnglz 16686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
)  e.  B )  ->  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  .0.  )
439, 21, 42syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
(  .0.  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  .0.  )
4443adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  .0.  )
4541, 44eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  .0.  )
46 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
j  e.  J )
47 eldif 3343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( J  \ 
( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  <->  ( j  e.  J  /\  -.  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
4847biimpri 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  J  /\  -.  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  j  e.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )
4946, 48sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  j  e.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )
5018adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
51 ssid 3380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )
5251a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) 
C_  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) ) )
5350, 52suppssrOLD 5842 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  j  e.  ( J  \  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) )  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j )  =  .0.  )
5449, 53syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j )  =  .0.  )
5554oveq2d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  .0.  )
)
561, 22, 2rngrz 16687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  e.  B )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) 
.x.  .0.  )  =  .0.  )
579, 15, 56syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
5857adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  .0.  )  =  .0.  )
5955, 58eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  .0.  )
6045, 59jaodan 783 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  ( -.  i  e.  ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  \/  -.  j  e.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) " ( _V  \  {  .0.  }
) ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) )  =  .0.  )
6131, 60sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i
( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) ) ) j )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  .0.  )
6261anasss 647 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
i  e.  I  /\  j  e.  J )  /\  -.  i ( ( `' ( x  e.  I  |->  X ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  X.  ( `' ( y  e.  J  |->  Y )
" ( _V  \  {  .0.  } ) ) ) j ) )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) 
.x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) )  =  .0.  )
631, 2, 5, 6, 8, 24, 28, 62gsum2d2 16471 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( i  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) ) ) ) )
64 nffvmpt1 5704 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
65 nfcv 2584 . . . . . . 7  |-  F/_ x  .x.
66 nfcv 2584 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
6764, 65, 66nfov 6119 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
68 nfcv 2584 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
69 nfcv 2584 . . . . . . 7  |-  F/_ y  .x.
70 nffvmpt1 5704 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
7168, 69, 70nfov 6119 . . . . . 6  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
72 nfcv 2584 . . . . . 6  |-  F/_ i
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
73 nfcv 2584 . . . . . 6  |-  F/_ j
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
74 fveq2 5696 . . . . . . 7  |-  ( i  =  x  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x ) )
75 fveq2 5696 . . . . . . 7  |-  ( j  =  y  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
)  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
7674, 75oveqan12d 6115 . . . . . 6  |-  ( ( i  =  x  /\  j  =  y )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )
7767, 71, 72, 73, 76cbvmpt2 6170 . . . . 5  |-  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) ) )
78 simp2 989 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  x  e.  I )
79103adant3 1008 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  X  e.  B )
8011fvmpt2 5786 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  /\  X  e.  B )  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
8178, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
82 simp3 990 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  y  e.  J )
83163adant2 1007 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  Y  e.  B )
8417fvmpt2 5786 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  J  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
8582, 83, 84syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
8681, 85oveq12d 6114 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( X 
.x.  Y ) )
8786mpt2eq3dva 6155 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) )
8877, 87syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) )
8988oveq2d 6112 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) )
90 nfcv 2584 . . . . . . 7  |-  F/_ x R
91 nfcv 2584 . . . . . . 7  |-  F/_ x  gsumg
92 nfcv 2584 . . . . . . . 8  |-  F/_ x J
9392, 67nfmpt 4385 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
9490, 91, 93nfov 6119 . . . . . 6  |-  F/_ x
( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )
95 nfcv 2584 . . . . . 6  |-  F/_ i
( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) )
9674oveq1d 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  x  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
9796mpteq2dv 4384 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  x  ->  (
j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )  =  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )
98 nfcv 2584 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )
9998, 69, 70nfov 6119 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
10075oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  y  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) ) )
10199, 73, 100cbvmpt 4387 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )  =  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) ) )
10297, 101syl6eq 2491 . . . . . . 7  |-  ( i  =  x  ->  (
j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )  =  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) )
103102oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( i  =  x  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) ) )
10494, 95, 103cbvmpt 4387 . . . . 5  |-  ( i  e.  I  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) ) )
105863expa 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  J )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) )  =  ( X  .x.  Y ) )
106105mpteq2dva 4383 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) )
107106oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) )
108107mpteq2dva 4383 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) )
109104, 108syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) )
110109oveq2d 6112 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) ) )
11163, 89, 1103eqtr3d 2483 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) ) )
112 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
1133adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
1147adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  J  e.  W )
11516adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
11626adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( `' ( y  e.  J  |->  Y ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
1171, 2, 112, 22, 113, 114, 10, 115, 116gsummulc2OLD 16703 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) )
118117mpteq2dva 4383 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) ) )
119118oveq2d 6112 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) ) ) )
1201, 2, 5, 7, 18, 26gsumclOLD 16405 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) )  e.  B )
1211, 2, 112, 22, 3, 6, 120, 10, 25gsummulc1OLD 16702 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  X ) )  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) )
122111, 119, 1213eqtrrd 2480 1  |-  ( ph  ->  ( ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  X ) )  .x.  ( R 
gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2977    \ cdif 3330    C_ wss 3333   {csn 3882   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355    X. cxp 4843   `'ccnv 4844   "cima 4848   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    e. cmpt2 6098   Fincfn 7315   Basecbs 14179   +g cplusg 14243   .rcmulr 14244   0gc0g 14383    gsumg cgsu 14384  CMndccmn 16282   Ringcrg 16650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-oi 7729  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-hash 12109  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-mulg 15553  df-ghm 15750  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652
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