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Theorem gsumdixp 17237
Description: Distribute a binary product of sums to a sum of binary products in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumdixp.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
gsumdixp.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
gsumdixp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsumdixp.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
gsumdixp.j  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
gsumdixp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
gsumdixp.x  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
gsumdixp.y  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
gsumdixp.xf  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  X ) finSupp  .0.  )
gsumdixp.yf  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  Y ) finSupp  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsumdixp  |-  ( ph  ->  ( ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  X ) )  .x.  ( R 
gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y   
x, B, y    x, I, y    x, J, y   
x, R    x,  .x. , y    y, X    x, Y
Allowed substitution hints:    R( y)    V( x, y)    W( x, y)    X( x)    Y( y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem gsumdixp
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumdixp.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 gsumdixp.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 gsumdixp.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 ringcmn 17208 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6 gsumdixp.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
7 gsumdixp.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
87adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  J  e.  W )
93adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  ->  R  e.  Ring )
10 gsumdixp.x . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
11 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  X )  =  ( x  e.  I  |->  X )
1210, 11fmptd 6040 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
13 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  I  /\  j  e.  J )  ->  i  e.  I )
14 ffvelrn 6014 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  /\  i  e.  I )  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  e.  B )
1512, 13, 14syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  e.  B
)
16 gsumdixp.y . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
17 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  J  |->  Y )  =  ( y  e.  J  |->  Y )
1816, 17fmptd 6040 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
19 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  I  /\  j  e.  J )  ->  j  e.  J )
20 ffvelrn 6014 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  /\  j  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j )  e.  B )
2118, 19, 20syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )  e.  B
)
22 gsumdixp.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
231, 22ringcl 17191 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  e.  B  /\  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )  e.  B
)  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  e.  B )
249, 15, 21, 23syl3anc 1229 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  e.  B )
25 gsumdixp.xf . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  X ) finSupp  .0.  )
2625fsuppimpd 7838 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  e.  Fin )
27 gsumdixp.yf . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  Y ) finSupp  .0.  )
2827fsuppimpd 7838 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )  e.  Fin )
29 xpfi 7793 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  e.  Fin  /\  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )  e.  Fin )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) )  e. 
Fin )
3026, 28, 29syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  )  X.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
)  e.  Fin )
31 ianor 488 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  /\  j  e.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
)  <->  ( -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  \/  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )
32 brxp 5020 . . . . . . 7  |-  ( i ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  )  X.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) j  <->  ( i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  /\  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )
3331, 32xchnxbir 309 . . . . . 6  |-  ( -.  i ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) j  <->  ( -.  i  e.  ( (
x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  \/  -.  j  e.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )
34 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
i  e.  I )
35 eldif 3471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  <->  ( i  e.  I  /\  -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) ) )
3635biimpri 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  I  /\  -.  i  e.  (
( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
)  ->  i  e.  ( I  \  (
( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
) )
3734, 36sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  ->  i  e.  ( I  \  (
( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
) )
3812adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
39 ssid 3508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  C_  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  C_  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )
416adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  ->  I  e.  V )
42 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
432, 42eqeltri 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  e.  _V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  ->  .0.  e.  _V )
4538, 40, 41, 44suppssr 6933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  i  e.  ( I  \  (
( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
) )  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  =  .0.  )
4637, 45syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  =  .0.  )
4746oveq1d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  (  .0.  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
481, 22, 2ringlz 17214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
)  e.  B )  ->  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  .0.  )
499, 21, 48syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
(  .0.  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  .0.  )
5049adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  ->  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) )  =  .0.  )
5147, 50eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  .0.  )
52 simprr 757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
j  e.  J )
53 eldif 3471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( J  \ 
( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )  <->  ( j  e.  J  /\  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )
5453biimpri 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  J  /\  -.  j  e.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
)  ->  j  e.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )
5552, 54sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )  ->  j  e.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )
5618adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
57 ssid 3508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )  C_  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )  C_  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) )
597adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  ->  J  e.  W )
6056, 58, 59, 44suppssr 6933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  j  e.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
)  =  .0.  )
6155, 60syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
)  =  .0.  )
6261oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  .0.  ) )
631, 22, 2ringrz 17215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  e.  B )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) 
.x.  .0.  )  =  .0.  )
649, 15, 63syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6564adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6662, 65eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  .0.  )
6751, 66jaodan 785 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  ( -.  i  e.  ( (
x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  \/  -.  j  e.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  .0.  )
6833, 67sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i
( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  )  X.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) j )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  .0.  )
6968anasss 647 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
i  e.  I  /\  j  e.  J )  /\  -.  i ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) j ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  .0.  )
701, 2, 5, 6, 8, 24, 30, 69gsum2d2 16981 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( i  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) ) ) ) )
71 nffvmpt1 5864 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
72 nfcv 2605 . . . . . . 7  |-  F/_ x  .x.
73 nfcv 2605 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
7471, 72, 73nfov 6307 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
75 nfcv 2605 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
76 nfcv 2605 . . . . . . 7  |-  F/_ y  .x.
77 nffvmpt1 5864 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
7875, 76, 77nfov 6307 . . . . . 6  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
79 nfcv 2605 . . . . . 6  |-  F/_ i
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
80 nfcv 2605 . . . . . 6  |-  F/_ j
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
81 fveq2 5856 . . . . . . 7  |-  ( i  =  x  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x ) )
82 fveq2 5856 . . . . . . 7  |-  ( j  =  y  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
)  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
8381, 82oveqan12d 6300 . . . . . 6  |-  ( ( i  =  x  /\  j  =  y )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )
8474, 78, 79, 80, 83cbvmpt2 6361 . . . . 5  |-  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) ) )
85 simp2 998 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  x  e.  I )
86103adant3 1017 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  X  e.  B )
8711fvmpt2 5948 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  /\  X  e.  B )  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
8885, 86, 87syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
89 simp3 999 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  y  e.  J )
90163adant2 1016 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  Y  e.  B )
9117fvmpt2 5948 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  J  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
9289, 90, 91syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
9388, 92oveq12d 6299 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( X 
.x.  Y ) )
9493mpt2eq3dva 6346 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) )
9584, 94syl5eq 2496 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) )
9695oveq2d 6297 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) )
97 nfcv 2605 . . . . . . 7  |-  F/_ x R
98 nfcv 2605 . . . . . . 7  |-  F/_ x  gsumg
99 nfcv 2605 . . . . . . . 8  |-  F/_ x J
10099, 74nfmpt 4525 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
10197, 98, 100nfov 6307 . . . . . 6  |-  F/_ x
( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )
102 nfcv 2605 . . . . . 6  |-  F/_ i
( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) )
10381oveq1d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  x  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
104103mpteq2dv 4524 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  x  ->  (
j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )  =  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )
105 nfcv 2605 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )
106105, 76, 77nfov 6307 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
10782oveq2d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  y  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) ) )
108106, 80, 107cbvmpt 4527 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )  =  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) ) )
109104, 108syl6eq 2500 . . . . . . 7  |-  ( i  =  x  ->  (
j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )  =  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) )
110109oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( i  =  x  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) ) )
111101, 102, 110cbvmpt 4527 . . . . 5  |-  ( i  e.  I  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) ) )
112933expa 1197 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  J )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) )  =  ( X  .x.  Y ) )
113112mpteq2dva 4523 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) )
114113oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) )
115114mpteq2dva 4523 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) )
116111, 115syl5eq 2496 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) )
117116oveq2d 6297 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) ) )
11870, 96, 1173eqtr3d 2492 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) ) )
119 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
1203adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
1217adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  J  e.  W )
12216adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
12327adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
y  e.  J  |->  Y ) finSupp  .0.  )
1241, 2, 119, 22, 120, 121, 10, 122, 123gsummulc2 17232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) )
125124mpteq2dva 4523 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) ) )
126125oveq2d 6297 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) ) ) )
1271, 2, 5, 7, 18, 27gsumcl 16902 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) )  e.  B )
1281, 2, 119, 22, 3, 6, 127, 10, 25gsummulc1 17231 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  X ) )  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) )
129118, 126, 1283eqtrrd 2489 1  |-  ( ph  ->  ( ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  X ) )  .x.  ( R 
gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    C_ wss 3461   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    |-> cmpt2 6283   supp csupp 6903   Fincfn 7518   finSupp cfsupp 7831   Basecbs 14614   +g cplusg 14679   .rcmulr 14680   0gc0g 14819    gsumg cgsu 14820  CMndccmn 16777   Ringcrg 17177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-seq 12090  df-hash 12388  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-mhm 15945  df-submnd 15946  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-mulg 16039  df-ghm 16244  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-abl 16780  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179
This theorem is referenced by:  evlslem2  18159
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