Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumdixp Structured version   Unicode version

Theorem gsumdixp 17580
 Description: Distribute a binary product of sums to a sum of binary products in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumdixp.b
gsumdixp.t
gsumdixp.z
gsumdixp.i
gsumdixp.j
gsumdixp.r
gsumdixp.x
gsumdixp.y
gsumdixp.xf finSupp
gsumdixp.yf finSupp
Assertion
Ref Expression
gsumdixp g g g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   , ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   ()   ()   (,)

Proof of Theorem gsumdixp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumdixp.b . . . 4
2 gsumdixp.z . . . 4
3 gsumdixp.r . . . . 5
4 ringcmn 17551 . . . . 5 CMnd
53, 4syl 17 . . . 4 CMnd
6 gsumdixp.i . . . 4
7 gsumdixp.j . . . . 5
87adantr 465 . . . 4
93adantr 465 . . . . 5
10 gsumdixp.x . . . . . . 7
11 eqid 2404 . . . . . . 7
1210, 11fmptd 6035 . . . . . 6
13 simpl 457 . . . . . 6
14 ffvelrn 6009 . . . . . 6
1512, 13, 14syl2an 477 . . . . 5
16 gsumdixp.y . . . . . . 7
17 eqid 2404 . . . . . . 7
1816, 17fmptd 6035 . . . . . 6
19 simpr 461 . . . . . 6
20 ffvelrn 6009 . . . . . 6
2118, 19, 20syl2an 477 . . . . 5
22 gsumdixp.t . . . . . 6
231, 22ringcl 17534 . . . . 5
249, 15, 21, 23syl3anc 1232 . . . 4
25 gsumdixp.xf . . . . . 6 finSupp
2625fsuppimpd 7872 . . . . 5 supp
27 gsumdixp.yf . . . . . 6 finSupp
2827fsuppimpd 7872 . . . . 5 supp
29 xpfi 7827 . . . . 5 supp supp supp supp
3026, 28, 29syl2anc 661 . . . 4 supp supp
31 ianor 488 . . . . . . 7 supp supp supp supp
32 brxp 4856 . . . . . . 7 supp supp supp supp
3331, 32xchnxbir 309 . . . . . 6 supp supp supp supp
34 simprl 758 . . . . . . . . . . 11
35 eldif 3426 . . . . . . . . . . . 12 supp supp
3635biimpri 208 . . . . . . . . . . 11 supp supp
3734, 36sylan 471 . . . . . . . . . 10 supp supp
3812adantr 465 . . . . . . . . . . 11
39 ssid 3463 . . . . . . . . . . . 12 supp supp
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 supp supp
416adantr 465 . . . . . . . . . . 11
42 fvex 5861 . . . . . . . . . . . . 13
432, 42eqeltri 2488 . . . . . . . . . . . 12
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11
4538, 40, 41, 44suppssr 6936 . . . . . . . . . 10 supp
4637, 45syldan 470 . . . . . . . . 9 supp
4746oveq1d 6295 . . . . . . . 8 supp
481, 22, 2ringlz 17557 . . . . . . . . . 10
499, 21, 48syl2anc 661 . . . . . . . . 9
5049adantr 465 . . . . . . . 8 supp
5147, 50eqtrd 2445 . . . . . . 7 supp
52 simprr 760 . . . . . . . . . . 11
53 eldif 3426 . . . . . . . . . . . 12 supp supp
5453biimpri 208 . . . . . . . . . . 11 supp supp
5552, 54sylan 471 . . . . . . . . . 10 supp supp
5618adantr 465 . . . . . . . . . . 11
57 ssid 3463 . . . . . . . . . . . 12 supp supp
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11 supp supp
597adantr 465 . . . . . . . . . . 11
6056, 58, 59, 44suppssr 6936 . . . . . . . . . 10 supp
6155, 60syldan 470 . . . . . . . . 9 supp
6261oveq2d 6296 . . . . . . . 8 supp
631, 22, 2ringrz 17558 . . . . . . . . . 10
649, 15, 63syl2anc 661 . . . . . . . . 9
6564adantr 465 . . . . . . . 8 supp
6662, 65eqtrd 2445 . . . . . . 7 supp
6751, 66jaodan 788 . . . . . 6 supp supp
6833, 67sylan2b 475 . . . . 5 supp supp
6968anasss 647 . . . 4 supp supp
701, 2, 5, 6, 8, 24, 30, 69gsum2d2 17325 . . 3 g g g
71 nffvmpt1 5859 . . . . . . 7
72 nfcv 2566 . . . . . . 7
73 nfcv 2566 . . . . . . 7
7471, 72, 73nfov 6306 . . . . . 6
75 nfcv 2566 . . . . . . 7
76 nfcv 2566 . . . . . . 7
77 nffvmpt1 5859 . . . . . . 7
7875, 76, 77nfov 6306 . . . . . 6
79 nfcv 2566 . . . . . 6
80 nfcv 2566 . . . . . 6
81 fveq2 5851 . . . . . . 7
82 fveq2 5851 . . . . . . 7
8381, 82oveqan12d 6299 . . . . . 6
8474, 78, 79, 80, 83cbvmpt2 6359 . . . . 5
85 simp2 1000 . . . . . . . 8
86103adant3 1019 . . . . . . . 8
8711fvmpt2 5943 . . . . . . . 8
8885, 86, 87syl2anc 661 . . . . . . 7
89 simp3 1001 . . . . . . . 8
90163adant2 1018 . . . . . . . 8
9117fvmpt2 5943 . . . . . . . 8
9289, 90, 91syl2anc 661 . . . . . . 7
9388, 92oveq12d 6298 . . . . . 6
9493mpt2eq3dva 6344 . . . . 5
9584, 94syl5eq 2457 . . . 4
9695oveq2d 6296 . . 3 g g
97 nfcv 2566 . . . . . . 7
98 nfcv 2566 . . . . . . 7 g
99 nfcv 2566 . . . . . . . 8
10099, 74nfmpt 4485 . . . . . . 7
10197, 98, 100nfov 6306 . . . . . 6 g
102 nfcv 2566 . . . . . 6 g
10381oveq1d 6295 . . . . . . . . 9
104103mpteq2dv 4484 . . . . . . . 8
105 nfcv 2566 . . . . . . . . . 10
106105, 76, 77nfov 6306 . . . . . . . . 9
10782oveq2d 6296 . . . . . . . . 9
108106, 80, 107cbvmpt 4488 . . . . . . . 8
109104, 108syl6eq 2461 . . . . . . 7
110109oveq2d 6296 . . . . . 6 g g
111101, 102, 110cbvmpt 4488 . . . . 5 g g
112933expa 1199 . . . . . . . 8
113112mpteq2dva 4483 . . . . . . 7
114113oveq2d 6296 . . . . . 6 g g
115114mpteq2dva 4483 . . . . 5 g g
116111, 115syl5eq 2457 . . . 4 g g
117116oveq2d 6296 . . 3 g g g g
11870, 96, 1173eqtr3d 2453 . 2 g g g
119 eqid 2404 . . . . 5
1203adantr 465 . . . . 5
1217adantr 465 . . . . 5
12216adantlr 715 . . . . 5
12327adantr 465 . . . . 5 finSupp
1241, 2, 119, 22, 120, 121, 10, 122, 123gsummulc2 17575 . . . 4 g g
125124mpteq2dva 4483 . . 3 g g
126125oveq2d 6296 . 2 g g g g
1271, 2, 5, 7, 18, 27gsumcl 17249 . . 3 g
1281, 2, 119, 22, 3, 6, 127, 10, 25gsummulc1 17574 . 2 g g g g
129118, 126, 1283eqtrrd 2450 1 g g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 368   wa 369   w3a 976   wceq 1407   wcel 1844  cvv 3061   cdif 3413   wss 3416   class class class wbr 4397   cmpt 4455   cxp 4823  wf 5567  cfv 5571  (class class class)co 6280   cmpt2 6282   supp csupp 6904  cfn 7556   finSupp cfsupp 7865  cbs 14843   cplusg 14911  cmulr 14912  c0g 15056   g cgsu 15057  CMndccmn 17124  crg 17520 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-oi 7971  df-card 8354  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-seq 12154  df-hash 12455  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-mhm 16292  df-submnd 16293  df-grp 16383  df-minusg 16384  df-mulg 16386  df-ghm 16591  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-abl 17127  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522 This theorem is referenced by:  evlslem2  18502
 Copyright terms: Public domain W3C validator