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Theorem gsumdixp 16691
Description: Distribute a binary product of sums to a sum of binary products in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumdixp.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
gsumdixp.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
gsumdixp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsumdixp.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
gsumdixp.j  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
gsumdixp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
gsumdixp.x  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
gsumdixp.y  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
gsumdixp.xf  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  X ) finSupp  .0.  )
gsumdixp.yf  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  Y ) finSupp  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsumdixp  |-  ( ph  ->  ( ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  X ) )  .x.  ( R 
gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y   
x, B, y    x, I, y    x, J, y   
x, R    x,  .x. , y    y, X    x, Y
Allowed substitution hints:    R( y)    V( x, y)    W( x, y)    X( x)    Y( y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem gsumdixp
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumdixp.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 gsumdixp.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 gsumdixp.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 rngcmn 16665 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6 gsumdixp.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
7 gsumdixp.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
87adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  J  e.  W )
93adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  ->  R  e.  Ring )
10 gsumdixp.x . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
11 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  X )  =  ( x  e.  I  |->  X )
1210, 11fmptd 5864 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
13 simpl 454 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  I  /\  j  e.  J )  ->  i  e.  I )
14 ffvelrn 5838 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  /\  i  e.  I )  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  e.  B )
1512, 13, 14syl2an 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  e.  B
)
16 gsumdixp.y . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
17 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  J  |->  Y )  =  ( y  e.  J  |->  Y )
1816, 17fmptd 5864 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
19 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  I  /\  j  e.  J )  ->  j  e.  J )
20 ffvelrn 5838 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  /\  j  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j )  e.  B )
2118, 19, 20syl2an 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )  e.  B
)
22 gsumdixp.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
231, 22rngcl 16648 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  e.  B  /\  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )  e.  B
)  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  e.  B )
249, 15, 21, 23syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  e.  B )
25 gsumdixp.xf . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  X ) finSupp  .0.  )
2625fsuppimpd 7623 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  e.  Fin )
27 gsumdixp.yf . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  Y ) finSupp  .0.  )
2827fsuppimpd 7623 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )  e.  Fin )
29 xpfi 7579 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  e.  Fin  /\  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )  e.  Fin )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) )  e. 
Fin )
3026, 28, 29syl2anc 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  )  X.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
)  e.  Fin )
31 ianor 485 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  /\  j  e.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
)  <->  ( -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  \/  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )
32 brxp 4866 . . . . . . 7  |-  ( i ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  )  X.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) j  <->  ( i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  /\  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )
3331, 32xchnxbir 309 . . . . . 6  |-  ( -.  i ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) j  <->  ( -.  i  e.  ( (
x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  \/  -.  j  e.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )
34 simprl 750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
i  e.  I )
35 eldif 3335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  <->  ( i  e.  I  /\  -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) ) )
3635biimpri 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  I  /\  -.  i  e.  (
( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
)  ->  i  e.  ( I  \  (
( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
) )
3734, 36sylan 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  ->  i  e.  ( I  \  (
( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
) )
3812adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
39 ssid 3372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  C_  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  C_  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )
416adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  ->  I  e.  V )
42 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
432, 42eqeltri 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  e.  _V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  ->  .0.  e.  _V )
4538, 40, 41, 44suppssr 6719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  i  e.  ( I  \  (
( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
) )  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  =  .0.  )
4637, 45syldan 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  =  .0.  )
4746oveq1d 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  (  .0.  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
481, 22, 2rnglz 16671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
)  e.  B )  ->  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  .0.  )
499, 21, 48syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
(  .0.  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  .0.  )
5049adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  ->  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) )  =  .0.  )
5147, 50eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  .0.  )
52 simprr 751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
j  e.  J )
53 eldif 3335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( J  \ 
( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )  <->  ( j  e.  J  /\  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )
5453biimpri 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  J  /\  -.  j  e.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
)  ->  j  e.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )
5552, 54sylan 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )  ->  j  e.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )
5618adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
57 ssid 3372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )  C_  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )  C_  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) )
597adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  ->  J  e.  W )
6056, 58, 59, 44suppssr 6719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  j  e.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
)  =  .0.  )
6155, 60syldan 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
)  =  .0.  )
6261oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  .0.  ) )
631, 22, 2rngrz 16672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  e.  B )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) 
.x.  .0.  )  =  .0.  )
649, 15, 63syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6564adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6662, 65eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  .0.  )
6751, 66jaodan 778 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  ( -.  i  e.  ( (
x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  \/  -.  j  e.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  .0.  )
6833, 67sylan2b 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i
( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  )  X.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) j )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  .0.  )
6968anasss 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
i  e.  I  /\  j  e.  J )  /\  -.  i ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) j ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  .0.  )
701, 2, 5, 6, 8, 24, 30, 69gsum2d2 16456 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( i  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) ) ) ) )
71 nffvmpt1 5696 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
72 nfcv 2577 . . . . . . 7  |-  F/_ x  .x.
73 nfcv 2577 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
7471, 72, 73nfov 6113 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
75 nfcv 2577 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
76 nfcv 2577 . . . . . . 7  |-  F/_ y  .x.
77 nffvmpt1 5696 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
7875, 76, 77nfov 6113 . . . . . 6  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
79 nfcv 2577 . . . . . 6  |-  F/_ i
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
80 nfcv 2577 . . . . . 6  |-  F/_ j
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
81 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( i  =  x  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x ) )
82 fveq2 5688 . . . . . . 7  |-  ( j  =  y  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
)  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
8381, 82oveqan12d 6109 . . . . . 6  |-  ( ( i  =  x  /\  j  =  y )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )
8474, 78, 79, 80, 83cbvmpt2 6164 . . . . 5  |-  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) ) )
85 simp2 984 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  x  e.  I )
86103adant3 1003 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  X  e.  B )
8711fvmpt2 5778 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  /\  X  e.  B )  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
8885, 86, 87syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
89 simp3 985 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  y  e.  J )
90163adant2 1002 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  Y  e.  B )
9117fvmpt2 5778 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  J  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
9289, 90, 91syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
9388, 92oveq12d 6108 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( X 
.x.  Y ) )
9493mpt2eq3dva 6149 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) )
9584, 94syl5eq 2485 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) )
9695oveq2d 6106 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) )
97 nfcv 2577 . . . . . . 7  |-  F/_ x R
98 nfcv 2577 . . . . . . 7  |-  F/_ x  gsumg
99 nfcv 2577 . . . . . . . 8  |-  F/_ x J
10099, 74nfmpt 4377 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
10197, 98, 100nfov 6113 . . . . . 6  |-  F/_ x
( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )
102 nfcv 2577 . . . . . 6  |-  F/_ i
( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) )
10381oveq1d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  x  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
104103mpteq2dv 4376 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  x  ->  (
j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )  =  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )
105 nfcv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )
106105, 76, 77nfov 6113 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
10782oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  y  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) ) )
108106, 80, 107cbvmpt 4379 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )  =  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) ) )
109104, 108syl6eq 2489 . . . . . . 7  |-  ( i  =  x  ->  (
j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )  =  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) )
110109oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( i  =  x  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) ) )
111101, 102, 110cbvmpt 4379 . . . . 5  |-  ( i  e.  I  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) ) )
112933expa 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  J )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) )  =  ( X  .x.  Y ) )
113112mpteq2dva 4375 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) )
114113oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) )
115114mpteq2dva 4375 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) )
116111, 115syl5eq 2485 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) )
117116oveq2d 6106 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) ) )
11870, 96, 1173eqtr3d 2481 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) ) )
119 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
1203adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
1217adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  J  e.  W )
12216adantlr 709 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
12327adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
y  e.  J  |->  Y ) finSupp  .0.  )
1241, 2, 119, 22, 120, 121, 10, 122, 123gsummulc2 16686 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) )
125124mpteq2dva 4375 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) ) )
126125oveq2d 6106 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) ) ) )
1271, 2, 5, 7, 18, 27gsumcl 16390 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) )  e.  B )
1281, 2, 119, 22, 3, 6, 127, 10, 25gsummulc1 16685 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  X ) )  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) )
129118, 126, 1283eqtrrd 2478 1  |-  ( ph  ->  ( ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  X ) )  .x.  ( R 
gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    C_ wss 3325   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   supp csupp 6689   Fincfn 7306   finSupp cfsupp 7616   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   .rcmulr 14235   0gc0g 14374    gsumg cgsu 14375  CMndccmn 16270   Ringcrg 16635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-hash 12100  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541  df-ghm 15738  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637
This theorem is referenced by:  evlslem2  17581
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