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Theorem gsumdixp 17059
Description: Distribute a binary product of sums to a sum of binary products in a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumdixp.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
gsumdixp.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
gsumdixp.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
gsumdixp.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
gsumdixp.j  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
gsumdixp.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
gsumdixp.x  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
gsumdixp.y  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
gsumdixp.xf  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  X ) finSupp  .0.  )
gsumdixp.yf  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  Y ) finSupp  .0.  )
Assertion
Ref Expression
gsumdixp  |-  ( ph  ->  ( ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  X ) )  .x.  ( R 
gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, x, y   
x, B, y    x, I, y    x, J, y   
x, R    x,  .x. , y    y, X    x, Y
Allowed substitution hints:    R( y)    V( x, y)    W( x, y)    X( x)    Y( y)    .0. ( x, y)

Proof of Theorem gsumdixp
Dummy variables  i 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsumdixp.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 gsumdixp.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
3 gsumdixp.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 rngcmn 17030 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
6 gsumdixp.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
7 gsumdixp.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  W )
87adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  i  e.  I )  ->  J  e.  W )
93adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  ->  R  e.  Ring )
10 gsumdixp.x . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  X  e.  B )
11 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  I  |->  X )  =  ( x  e.  I  |->  X )
1210, 11fmptd 6045 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
13 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  I  /\  j  e.  J )  ->  i  e.  I )
14 ffvelrn 6019 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) : I --> B  /\  i  e.  I )  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  e.  B )
1512, 13, 14syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  e.  B
)
16 gsumdixp.y . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
17 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  J  |->  Y )  =  ( y  e.  J  |->  Y )
1816, 17fmptd 6045 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
19 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  I  /\  j  e.  J )  ->  j  e.  J )
20 ffvelrn 6019 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B  /\  j  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j )  e.  B )
2118, 19, 20syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )  e.  B
)
22 gsumdixp.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
231, 22rngcl 17013 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  e.  B  /\  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )  e.  B
)  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  e.  B )
249, 15, 21, 23syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  e.  B )
25 gsumdixp.xf . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  X ) finSupp  .0.  )
2625fsuppimpd 7836 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  e.  Fin )
27 gsumdixp.yf . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  J  |->  Y ) finSupp  .0.  )
2827fsuppimpd 7836 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )  e.  Fin )
29 xpfi 7791 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  e.  Fin  /\  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )  e.  Fin )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) )  e. 
Fin )
3026, 28, 29syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  )  X.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
)  e.  Fin )
31 ianor 488 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  /\  j  e.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
)  <->  ( -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  \/  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )
32 brxp 5030 . . . . . . 7  |-  ( i ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  )  X.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) j  <->  ( i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  /\  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )
3331, 32xchnxbir 309 . . . . . 6  |-  ( -.  i ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) j  <->  ( -.  i  e.  ( (
x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  \/  -.  j  e.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )
34 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
i  e.  I )
35 eldif 3486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  ( I  \ 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  <->  ( i  e.  I  /\  -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) ) )
3635biimpri 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  I  /\  -.  i  e.  (
( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
)  ->  i  e.  ( I  \  (
( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
) )
3734, 36sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  ->  i  e.  ( I  \  (
( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
) )
3812adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( x  e.  I  |->  X ) : I --> B )
39 ssid 3523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  C_  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  C_  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  ) )
416adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  ->  I  e.  V )
42 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
432, 42eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  e.  _V
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  ->  .0.  e.  _V )
4538, 40, 41, 44suppssr 6931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  i  e.  ( I  \  (
( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )
) )  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  =  .0.  )
4637, 45syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  =  .0.  )
4746oveq1d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  (  .0.  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
481, 22, 2rnglz 17036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
)  e.  B )  ->  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  .0.  )
499, 21, 48syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
(  .0.  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  .0.  )
5049adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  ->  (  .0.  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `
 j ) )  =  .0.  )
5147, 50eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i  e.  ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  .0.  )
52 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
j  e.  J )
53 eldif 3486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( J  \ 
( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )  <->  ( j  e.  J  /\  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) )
5453biimpri 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  J  /\  -.  j  e.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
)  ->  j  e.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )
5552, 54sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )  ->  j  e.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )
5618adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( y  e.  J  |->  Y ) : J --> B )
57 ssid 3523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )  C_  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )  C_  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp 
.0.  ) )
597adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  ->  J  e.  W )
6056, 58, 59, 44suppssr 6931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  j  e.  ( J  \  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
)  =  .0.  )
6155, 60syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
)  =  .0.  )
6261oveq2d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  .0.  ) )
631, 22, 2rngrz 17037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  e.  B )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i ) 
.x.  .0.  )  =  .0.  )
649, 15, 63syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  I  /\  j  e.  J ) )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6564adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  .0.  )  =  .0.  )
6662, 65eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  j  e.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  .0.  )
6751, 66jaodan 783 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  ( -.  i  e.  ( (
x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  \/  -.  j  e.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  .0.  )
6833, 67sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  I  /\  j  e.  J )
)  /\  -.  i
( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp 
.0.  )  X.  (
( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  )
) j )  -> 
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  .0.  )
6968anasss 647 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
i  e.  I  /\  j  e.  J )  /\  -.  i ( ( ( x  e.  I  |->  X ) supp  .0.  )  X.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) supp  .0.  ) ) j ) )  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  .0.  )
701, 2, 5, 6, 8, 24, 30, 69gsum2d2 16805 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( i  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) ) ) ) )
71 nffvmpt1 5874 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
72 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ x  .x.
73 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
7471, 72, 73nfov 6307 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
75 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )
76 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ y  .x.
77 nffvmpt1 5874 . . . . . . 7  |-  F/_ y
( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j )
7875, 76, 77nfov 6307 . . . . . 6  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
79 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ i
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
80 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ j
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
81 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( i  =  x  ->  (
( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  =  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x ) )
82 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( j  =  y  ->  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
)  =  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )
8381, 82oveqan12d 6303 . . . . . 6  |-  ( ( i  =  x  /\  j  =  y )  ->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )
8474, 78, 79, 80, 83cbvmpt2 6360 . . . . 5  |-  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) ) )
85 simp2 997 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  x  e.  I )
86103adant3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  X  e.  B )
8711fvmpt2 5957 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  I  /\  X  e.  B )  ->  ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
8885, 86, 87syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  X ) `  x )  =  X )
89 simp3 998 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  y  e.  J )
90163adant2 1015 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  Y  e.  B )
9117fvmpt2 5957 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  J  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
9289, 90, 91syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y )  =  Y )
9388, 92oveq12d 6302 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I  /\  y  e.  J
)  ->  ( (
( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  y ) )  =  ( X 
.x.  Y ) )
9493mpt2eq3dva 6345 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) )
9584, 94syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )  =  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y ) ) )
9695oveq2d 6300 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  I ,  j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) )
97 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ x R
98 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ x  gsumg
99 nfcv 2629 . . . . . . . 8  |-  F/_ x J
10099, 74nfmpt 4535 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )
10197, 98, 100nfov 6307 . . . . . 6  |-  F/_ x
( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )
102 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ i
( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) )
10381oveq1d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  x  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )
104103mpteq2dv 4534 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  x  ->  (
j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )  =  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )
105 nfcv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ y
( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )
106105, 76, 77nfov 6307 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y
( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) )
10782oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  y  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) )  =  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) ) )
108106, 80, 107cbvmpt 4537 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x
)  .x.  ( (
y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) )  =  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) ) )
109104, 108syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( i  =  x  ->  (
j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  i )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  j
) ) )  =  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) )
110109oveq2d 6300 . . . . . 6  |-  ( i  =  x  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) ) )
111101, 102, 110cbvmpt 4537 . . . . 5  |-  ( i  e.  I  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) ) )
112933expa 1196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  J )  ->  (
( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) )  =  ( X  .x.  Y ) )
113112mpteq2dva 4533 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `  x )  .x.  (
( y  e.  J  |->  Y ) `  y
) ) )  =  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) )
114113oveq2d 6300 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) )
115114mpteq2dva 4533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 x )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  y ) ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) )
116111, 115syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( i  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) )
117116oveq2d 6300 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( i  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  J  |->  ( ( ( x  e.  I  |->  X ) `
 i )  .x.  ( ( y  e.  J  |->  Y ) `  j ) ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) ) )
11870, 96, 1173eqtr3d 2516 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) ) )
119 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
1203adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  R  e.  Ring )
1217adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  J  e.  W )
12216adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  I )  /\  y  e.  J )  ->  Y  e.  B )
12327adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
y  e.  J  |->  Y ) finSupp  .0.  )
1241, 2, 119, 22, 120, 121, 10, 122, 123gsummulc2 17054 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) )
125124mpteq2dva 4533 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) )  =  ( x  e.  I  |->  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) ) )
126125oveq2d 6300 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  ( X  .x.  Y
) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( x  e.  I  |->  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) ) ) )
1271, 2, 5, 7, 18, 27gsumcl 16726 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) )  e.  B )
1281, 2, 119, 22, 3, 6, 127, 10, 25gsummulc1 17053 . 2  |-  ( ph  ->  ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  X ) )  .x.  ( R  gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) ) )
129118, 126, 1283eqtrrd 2513 1  |-  ( ph  ->  ( ( R  gsumg  ( x  e.  I  |->  X ) )  .x.  ( R 
gsumg  ( y  e.  J  |->  Y ) ) )  =  ( R  gsumg  ( x  e.  I ,  y  e.  J  |->  ( X 
.x.  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286   supp csupp 6901   Fincfn 7516   finSupp cfsupp 7829   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   .rcmulr 14556   0gc0g 14695    gsumg cgsu 14696  CMndccmn 16604   Ringcrg 17000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-mhm 15786  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-mulg 15870  df-ghm 16070  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002
This theorem is referenced by:  evlslem2  17979
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