MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumdifsnd Structured version   Unicode version

Theorem gsumdifsnd 16790
Description: Extract a summand from a finitely supported group sum. (Contributed by AV, 21-Apr-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumdifsnd.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumdifsnd.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
gsumdifsnd.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumdifsnd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  W )
gsumdifsnd.f  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  X ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
gsumdifsnd.e  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
gsumdifsnd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  A )
gsumdifsnd.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
gsumdifsnd.s  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  =  Y )
Assertion
Ref Expression
gsumdifsnd  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  \  { M } )  |->  X ) )  .+  Y
) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, G    k, M    ph, k    k, Y
Allowed substitution hints:    .+ ( k)    W( k)    X( k)

Proof of Theorem gsumdifsnd
StepHypRef Expression
1 gsumdifsnd.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsumdifsnd.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4 gsumdifsnd.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 gsumdifsnd.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  W )
6 gsumdifsnd.e . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
7 gsumdifsnd.f . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  X ) finSupp  ( 0g
`  G ) )
8 difid 3895 . . . 4  |-  ( { M }  \  { M } )  =  (/)
9 gsumdifsnd.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  A )
109snssd 4172 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { M }  C_  A )
11 difin2 3760 . . . . 5  |-  ( { M }  C_  A  ->  ( { M }  \  { M } )  =  ( ( A 
\  { M }
)  i^i  { M } ) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { M }  \  { M } )  =  ( ( A 
\  { M }
)  i^i  { M } ) )
138, 12syl5reqr 2523 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  \  { M } )  i^i 
{ M } )  =  (/) )
14 difsnid 4173 . . . . 5  |-  ( M  e.  A  ->  (
( A  \  { M } )  u.  { M } )  =  A )
159, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  \  { M } )  u. 
{ M } )  =  A )
1615eqcomd 2475 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( A  \  { M } )  u.  { M } ) )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 16gsumsplit2 16751 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  \  { M } )  |->  X ) )  .+  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) ) )
18 cmnmnd 16619 . . . . 5  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
194, 18syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
20 gsumdifsnd.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
21 gsumdifsnd.s . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  X  =  Y )
221, 19, 9, 20, 21gsumsnd 16782 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) )  =  Y )
2322oveq2d 6300 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  \  { M } )  |->  X ) )  .+  ( G  gsumg  ( k  e.  { M }  |->  X ) ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  \  { M } )  |->  X ) )  .+  Y ) )
2417, 23eqtrd 2508 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( G  gsumg  ( k  e.  ( A  \  { M } )  |->  X ) )  .+  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   finSupp cfsupp 7829   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   0gc0g 14695    gsumg cgsu 14696   Mndcmnd 15726  CMndccmn 16604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606
This theorem is referenced by:  dmatmul  18794  lincdifsn  32124
  Copyright terms: Public domain W3C validator