MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumconstf Structured version   Unicode version

Theorem gsumconstf 16545
Description: Sum of a constant series (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumconstf.k  |-  F/_ k X
gsumconstf.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumconstf.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
gsumconstf  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
Distinct variable group:    A, k
Allowed substitution hints:    B( k)    .x. ( k)    G( k)    X( k)

Proof of Theorem gsumconstf
Dummy variable  l is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2614 . . . 4  |-  F/_ l X
2 gsumconstf.k . . . 4  |-  F/_ k X
3 eqidd 2453 . . . 4  |-  ( k  =  l  ->  X  =  X )
41, 2, 3cbvmpt 4485 . . 3  |-  ( k  e.  A  |->  X )  =  ( l  e.  A  |->  X )
54oveq2i 6206 . 2  |-  ( G 
gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( l  e.  A  |->  X ) )
6 gsumconstf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
7 gsumconstf.m . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
86, 7gsumconst 16544 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( l  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
95, 8syl5eq 2505 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   F/_wnfc 2600    |-> cmpt 4453   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   Fincfn 7415   #chash 12215   Basecbs 14287    gsumg cgsu 14493   Mndcmnd 15523  .gcmg 15528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-oi 7830  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-seq 11919  df-hash 12216  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-mnd 15529  df-mulg 15662  df-cntz 15949
This theorem is referenced by:  gsumsnf  26384  esumcst  26654  gsumsndf  30906
  Copyright terms: Public domain W3C validator