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Theorem gsumconst 16553
Description: Sum of a constant series. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumconst.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumconst.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
gsumconst  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, G    k, X
Allowed substitution hint:    .x. ( k)

Proof of Theorem gsumconst
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 993 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  ->  X  e.  B )
2 gsumconst.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4 gsumconst.m . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
52, 3, 4mulg0 15755 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  ( 0g `  G ) )
61, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( 0  .x.  X
)  =  ( 0g
`  G ) )
7 fveq2 5802 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( # `  A )  =  (
# `  (/) ) )
87adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( # `  A )  =  ( # `  (/) ) )
9 hash0 12256 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
108, 9syl6eq 2511 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( # `  A )  =  0 )
1110oveq1d 6218 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( ( # `  A
)  .x.  X )  =  ( 0  .x. 
X ) )
12 mpteq1 4483 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  (/)  |->  X ) )
1312adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  (/)  |->  X ) )
14 mpt0 5649 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  (/)  |->  X )  =  (/)
1513, 14syl6eq 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( k  e.  A  |->  X )  =  (/) )
1615oveq2d 6219 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
173gsum0 15633 . . . . 5  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  G )
1816, 17syl6eq 2511 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( 0g `  G
) )
196, 11, 183eqtr4rd 2506 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
2019ex 434 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( A  =  (/)  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
) )
21 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( # `  A )  e.  NN )
22 nnuz 11011 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2321, 22syl6eleq 2552 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( # `  A )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
24 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )
25 simpl3 993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  X  e.  B )
2625adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  X  e.  B )
27 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  X )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) 
|->  X )
2827fvmpt2 5893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  |->  X ) `  x )  =  X )
2924, 26, 28syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  X ) `
 x )  =  X )
30 f1of 5752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
3130ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
3231ffvelrnda 5955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  A
)
3331feqmptd 5856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f  =  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  ( f `
 x ) ) )
34 eqidd 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  A  |->  X ) )
35 eqidd 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  X  =  X )
3632, 33, 34, 35fmptco 5988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  X ) )
3736fveq1d 5804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) `  x )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  |->  X ) `  x ) )
3837adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( (
( k  e.  A  |->  X )  o.  f
) `  x )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  X ) `
 x ) )
39 elfznn 11599 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  x  e.  NN )
40 fvconst2g 6043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) `  x )  =  X )
4125, 39, 40syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( ( NN  X.  { X }
) `  x )  =  X )
4229, 38, 413eqtr4d 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( (
( k  e.  A  |->  X )  o.  f
) `  x )  =  ( ( NN 
X.  { X }
) `  x )
)
4323, 42seqfveq 11951 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 ( # `  A
) ) )
44 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
45 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
46 simpl1 991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  G  e.  Mnd )
47 simpl2 992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  A  e.  Fin )
4825adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
49 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  A  |->  X )
5048, 49fmptd 5979 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  X ) : A --> B )
51 eqidd 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( X ( +g  `  G ) X )  =  ( X ( +g  `  G ) X ) )
522, 44, 45elcntzsn 15966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  B  ->  ( X  e.  ( (Cntz `  G ) `  { X } )  <->  ( X  e.  B  /\  ( X ( +g  `  G
) X )  =  ( X ( +g  `  G ) X ) ) ) )
5325, 52syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( X  e.  ( (Cntz `  G ) `  { X } )  <-> 
( X  e.  B  /\  ( X ( +g  `  G ) X )  =  ( X ( +g  `  G ) X ) ) ) )
5425, 51, 53mpbir2and 913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  X  e.  ( (Cntz `  G ) `  { X } ) )
5554snssd 4129 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  { X }  C_  (
(Cntz `  G ) `  { X } ) )
56 snidg 4014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  { X } )
5725, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  X  e.  { X } )
5857adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  { X } )
5958, 49fmptd 5979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  X ) : A --> { X } )
60 frn 5676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  A  |->  X ) : A --> { X }  ->  ran  ( k  e.  A  |->  X ) 
C_  { X }
)
6159, 60syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ran  ( k  e.  A  |->  X )  C_  { X } )
6245cntzidss 15978 . . . . . . . 8  |-  ( ( { X }  C_  ( (Cntz `  G ) `  { X } )  /\  ran  ( k  e.  A  |->  X ) 
C_  { X }
)  ->  ran  ( k  e.  A  |->  X ) 
C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( k  e.  A  |->  X ) ) )
6355, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ran  ( k  e.  A  |->  X )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  ( k  e.  A  |->  X ) ) )
64 f1of1 5751 . . . . . . . 8  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) )
-1-1-> A )
6564ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-> A )
66 suppssdm 6816 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  A  |->  X ) supp  ( 0g `  G ) )  C_  dom  ( k  e.  A  |->  X )
6766a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  X ) supp  ( 0g `  G ) ) 
C_  dom  ( k  e.  A  |->  X ) )
6849dmmptss 5445 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
k  e.  A  |->  X )  C_  A
6968a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  dom  ( k  e.  A  |->  X )  C_  A
)
7067, 69sstrd 3477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  X ) supp  ( 0g `  G ) ) 
C_  A )
71 f1ofo 5759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) )
-onto-> A )
72 forn 5734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -onto-> A  ->  ran  f  =  A
)
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ran  f  =  A )
7473ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ran  f  =  A
)
7574sseq2d 3495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  X ) supp  ( 0g `  G
) )  C_  ran  f 
<->  ( ( k  e.  A  |->  X ) supp  ( 0g `  G ) ) 
C_  A ) )
7670, 75mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  X ) supp  ( 0g `  G ) ) 
C_  ran  f )
77 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f
) supp  ( 0g `  G ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) supp  ( 0g `  G ) )
782, 3, 44, 45, 46, 47, 50, 63, 21, 65, 76, 77gsumval3 16510 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) )
79 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) )
802, 44, 4, 79mulgnn 15756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( ( # `  A
)  .x.  X )  =  (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  ( # `
 A ) ) )
8121, 25, 80syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( # `  A
)  .x.  X )  =  (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  ( # `
 A ) ) )
8243, 78, 813eqtr4d 2505 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
8382expr 615 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( (
# `  A )  .x.  X ) ) )
8483exlimdv 1691 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
) )
8584expimpd 603 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( (
# `  A )  .x.  X ) ) )
86 fz1f1o 13309 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
87863ad2ant2 1010 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
8820, 85, 87mpjaod 381 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758    C_ wss 3439   (/)c0 3748   {csn 3988    |-> cmpt 4461    X. cxp 4949   dom cdm 4951   ran crn 4952    o. ccom 4955   -->wf 5525   -1-1->wf1 5526   -onto->wfo 5527   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   supp csupp 6803   Fincfn 7423   0cc0 9397   1c1 9398   NNcn 10437   ZZ>=cuz 10976   ...cfz 11558    seqcseq 11927   #chash 12224   Basecbs 14296   +g cplusg 14361   0gc0g 14501    gsumg cgsu 14502   Mndcmnd 15532  .gcmg 15537  Cntzccntz 15956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-oi 7839  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-hash 12225  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-mnd 15538  df-mulg 15671  df-cntz 15958
This theorem is referenced by:  gsumconstf  16554  mdetdiagid  18548  tmdgsum2  19809  amgmlem  22526  lgseisenlem4  22834  gsumsn2  26415  chpscmat  31351  chp0mat  31355  chpidmat  31356
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