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Theorem gsumconst 16406
Description: Sum of a constant series. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumconst.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumconst.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
gsumconst  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, G    k, X
Allowed substitution hint:    .x. ( k)

Proof of Theorem gsumconst
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 986 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  ->  X  e.  B )
2 gsumconst.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2433 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4 gsumconst.m . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
52, 3, 4mulg0 15612 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  ( 0g `  G ) )
61, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( 0  .x.  X
)  =  ( 0g
`  G ) )
7 fveq2 5679 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( # `  A )  =  (
# `  (/) ) )
87adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( # `  A )  =  ( # `  (/) ) )
9 hash0 12119 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
108, 9syl6eq 2481 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( # `  A )  =  0 )
1110oveq1d 6095 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( ( # `  A
)  .x.  X )  =  ( 0  .x. 
X ) )
12 mpteq1 4360 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  (/)  |->  X ) )
1312adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  (/)  |->  X ) )
14 mpt0 5526 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  (/)  |->  X )  =  (/)
1513, 14syl6eq 2481 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( k  e.  A  |->  X )  =  (/) )
1615oveq2d 6096 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
173gsum0 15490 . . . . 5  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  G )
1816, 17syl6eq 2481 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( 0g `  G
) )
196, 11, 183eqtr4rd 2476 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
2019ex 434 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( A  =  (/)  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
) )
21 simprl 748 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( # `  A )  e.  NN )
22 nnuz 10884 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2321, 22syl6eleq 2523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( # `  A )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
24 simpr 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )
25 simpl3 986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  X  e.  B )
2625adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  X  e.  B )
27 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  X )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) 
|->  X )
2827fvmpt2 5769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  |->  X ) `  x )  =  X )
2924, 26, 28syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  X ) `
 x )  =  X )
30 f1of 5629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
3130ad2antll 721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
3231ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  A
)
3331feqmptd 5732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f  =  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  ( f `
 x ) ) )
34 eqidd 2434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  A  |->  X ) )
35 eqidd 2434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  X  =  X )
3632, 33, 34, 35fmptco 5863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  X ) )
3736fveq1d 5681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) `  x )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  |->  X ) `  x ) )
3837adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( (
( k  e.  A  |->  X )  o.  f
) `  x )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  X ) `
 x ) )
39 elfznn 11465 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  x  e.  NN )
40 fvconst2g 5918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) `  x )  =  X )
4125, 39, 40syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( ( NN  X.  { X }
) `  x )  =  X )
4229, 38, 413eqtr4d 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( (
( k  e.  A  |->  X )  o.  f
) `  x )  =  ( ( NN 
X.  { X }
) `  x )
)
4323, 42seqfveq 11814 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 ( # `  A
) ) )
44 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
45 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
46 simpl1 984 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  G  e.  Mnd )
47 simpl2 985 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  A  e.  Fin )
4825adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
49 eqid 2433 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  A  |->  X )
5048, 49fmptd 5855 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  X ) : A --> B )
51 eqidd 2434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( X ( +g  `  G ) X )  =  ( X ( +g  `  G ) X ) )
522, 44, 45elcntzsn 15823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  B  ->  ( X  e.  ( (Cntz `  G ) `  { X } )  <->  ( X  e.  B  /\  ( X ( +g  `  G
) X )  =  ( X ( +g  `  G ) X ) ) ) )
5325, 52syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( X  e.  ( (Cntz `  G ) `  { X } )  <-> 
( X  e.  B  /\  ( X ( +g  `  G ) X )  =  ( X ( +g  `  G ) X ) ) ) )
5425, 51, 53mpbir2and 906 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  X  e.  ( (Cntz `  G ) `  { X } ) )
5554snssd 4006 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  { X }  C_  (
(Cntz `  G ) `  { X } ) )
56 snidg 3891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  { X } )
5725, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  X  e.  { X } )
5857adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  { X } )
5958, 49fmptd 5855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  X ) : A --> { X } )
60 frn 5553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  A  |->  X ) : A --> { X }  ->  ran  ( k  e.  A  |->  X ) 
C_  { X }
)
6159, 60syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ran  ( k  e.  A  |->  X )  C_  { X } )
6245cntzidss 15835 . . . . . . . 8  |-  ( ( { X }  C_  ( (Cntz `  G ) `  { X } )  /\  ran  ( k  e.  A  |->  X ) 
C_  { X }
)  ->  ran  ( k  e.  A  |->  X ) 
C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( k  e.  A  |->  X ) ) )
6355, 61, 62syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ran  ( k  e.  A  |->  X )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  ( k  e.  A  |->  X ) ) )
64 f1of1 5628 . . . . . . . 8  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) )
-1-1-> A )
6564ad2antll 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-> A )
66 suppssdm 6692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  A  |->  X ) supp  ( 0g `  G ) )  C_  dom  ( k  e.  A  |->  X )
6766a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  X ) supp  ( 0g `  G ) ) 
C_  dom  ( k  e.  A  |->  X ) )
6849dmmptss 5322 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
k  e.  A  |->  X )  C_  A
6968a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  dom  ( k  e.  A  |->  X )  C_  A
)
7067, 69sstrd 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  X ) supp  ( 0g `  G ) ) 
C_  A )
71 f1ofo 5636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) )
-onto-> A )
72 forn 5611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -onto-> A  ->  ran  f  =  A
)
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ran  f  =  A )
7473ad2antll 721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ran  f  =  A
)
7574sseq2d 3372 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  X ) supp  ( 0g `  G
) )  C_  ran  f 
<->  ( ( k  e.  A  |->  X ) supp  ( 0g `  G ) ) 
C_  A ) )
7670, 75mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  X ) supp  ( 0g `  G ) ) 
C_  ran  f )
77 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f
) supp  ( 0g `  G ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) supp  ( 0g `  G ) )
782, 3, 44, 45, 46, 47, 50, 63, 21, 65, 76, 77gsumval3 16365 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) )
79 eqid 2433 . . . . . . . 8  |-  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) )
802, 44, 4, 79mulgnn 15613 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( ( # `  A
)  .x.  X )  =  (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  ( # `
 A ) ) )
8121, 25, 80syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( # `  A
)  .x.  X )  =  (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  ( # `
 A ) ) )
8243, 78, 813eqtr4d 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
8382expr 610 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( (
# `  A )  .x.  X ) ) )
8483exlimdv 1689 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
) )
8584expimpd 598 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( (
# `  A )  .x.  X ) ) )
86 fz1f1o 13171 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
87863ad2ant2 1003 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
8820, 85, 87mpjaod 381 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362   E.wex 1589    e. wcel 1755    C_ wss 3316   (/)c0 3625   {csn 3865    e. cmpt 4338    X. cxp 4825   dom cdm 4827   ran crn 4828    o. ccom 4831   -->wf 5402   -1-1->wf1 5403   -onto->wfo 5404   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   supp csupp 6679   Fincfn 7298   0cc0 9270   1c1 9271   NNcn 10310   ZZ>=cuz 10849   ...cfz 11424    seqcseq 11790   #chash 12087   Basecbs 14157   +g cplusg 14221   0gc0g 14361    gsumg cgsu 14362   Mndcmnd 15392  .gcmg 15397  Cntzccntz 15813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-hash 12088  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-mnd 15398  df-mulg 15528  df-cntz 15815
This theorem is referenced by:  gsumsn  16425  gsumsnd  16426  tmdgsum2  19509  amgmlem  22268  lgseisenlem4  22576  gsumsn2  26092  gsumconstf  26095
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