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Theorem gsumconst 17277
Description: Sum of a constant series. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumconst.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumconst.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
gsumconst  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, G    k, X
Allowed substitution hint:    .x. ( k)

Proof of Theorem gsumconst
Dummy variables  f  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1002 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  ->  X  e.  B )
2 gsumconst.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4 gsumconst.m . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
52, 3, 4mulg0 16471 . . . . 5  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  ( 0g `  G ) )
61, 5syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( 0  .x.  X
)  =  ( 0g
`  G ) )
7 fveq2 5849 . . . . . . 7  |-  ( A  =  (/)  ->  ( # `  A )  =  (
# `  (/) ) )
87adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( # `  A )  =  ( # `  (/) ) )
9 hash0 12485 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
108, 9syl6eq 2459 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( # `  A )  =  0 )
1110oveq1d 6293 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( ( # `  A
)  .x.  X )  =  ( 0  .x. 
X ) )
12 mpteq1 4475 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  (/)  |->  X ) )
1312adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  (/)  |->  X ) )
14 mpt0 5691 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  (/)  |->  X )  =  (/)
1513, 14syl6eq 2459 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( k  e.  A  |->  X )  =  (/) )
1615oveq2d 6294 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  (/) ) )
173gsum0 16229 . . . . 5  |-  ( G 
gsumg  (/) )  =  ( 0g
`  G )
1816, 17syl6eq 2459 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( 0g `  G
) )
196, 11, 183eqtr4rd 2454 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  A  =  (/) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
2019ex 432 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( A  =  (/)  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
) )
21 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( # `  A )  e.  NN )
22 nnuz 11162 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2321, 22syl6eleq 2500 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( # `  A )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
24 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )
25 simpl3 1002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  X  e.  B )
2625adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  X  e.  B )
27 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  X )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) 
|->  X )
2827fvmpt2 5941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  |->  X ) `  x )  =  X )
2924, 26, 28syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( (
x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  X ) `
 x )  =  X )
30 f1of 5799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
3130ad2antll 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
3231ffvelrnda 6009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  A
)
3331feqmptd 5902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f  =  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  ( f `
 x ) ) )
34 eqidd 2403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  A  |->  X ) )
35 eqidd 2403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  X  =  X )
3632, 33, 34, 35fmptco 6043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f )  =  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  X ) )
3736fveq1d 5851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) `  x )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  |->  X ) `  x ) )
3837adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( (
( k  e.  A  |->  X )  o.  f
) `  x )  =  ( ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  |->  X ) `
 x ) )
39 elfznn 11768 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  x  e.  NN )
40 fvconst2g 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  x  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { X } ) `  x )  =  X )
4125, 39, 40syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( ( NN  X.  { X }
) `  x )  =  X )
4229, 38, 413eqtr4d 2453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) )  ->  ( (
( k  e.  A  |->  X )  o.  f
) `  x )  =  ( ( NN 
X.  { X }
) `  x )
)
4323, 42seqfveq 12175 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `
 ( # `  A
) ) )
44 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
45 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
46 simpl1 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  G  e.  Mnd )
47 simpl2 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  A  e.  Fin )
4825adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  B )
49 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  |->  X )  =  ( k  e.  A  |->  X )
5048, 49fmptd 6033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  X ) : A --> B )
51 eqidd 2403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( X ( +g  `  G ) X )  =  ( X ( +g  `  G ) X ) )
522, 44, 45elcntzsn 16687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  B  ->  ( X  e.  ( (Cntz `  G ) `  { X } )  <->  ( X  e.  B  /\  ( X ( +g  `  G
) X )  =  ( X ( +g  `  G ) X ) ) ) )
5325, 52syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( X  e.  ( (Cntz `  G ) `  { X } )  <-> 
( X  e.  B  /\  ( X ( +g  `  G ) X )  =  ( X ( +g  `  G ) X ) ) ) )
5425, 51, 53mpbir2and 923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  X  e.  ( (Cntz `  G ) `  { X } ) )
5554snssd 4117 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  { X }  C_  (
(Cntz `  G ) `  { X } ) )
56 snidg 3998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  B  ->  X  e.  { X } )
5725, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  X  e.  { X } )
5857adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B
)  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  X  e.  { X } )
5958, 49fmptd 6033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( k  e.  A  |->  X ) : A --> { X } )
60 frn 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  A  |->  X ) : A --> { X }  ->  ran  ( k  e.  A  |->  X ) 
C_  { X }
)
6159, 60syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ran  ( k  e.  A  |->  X )  C_  { X } )
6245cntzidss 16699 . . . . . . . 8  |-  ( ( { X }  C_  ( (Cntz `  G ) `  { X } )  /\  ran  ( k  e.  A  |->  X ) 
C_  { X }
)  ->  ran  ( k  e.  A  |->  X ) 
C_  ( (Cntz `  G ) `  ran  ( k  e.  A  |->  X ) ) )
6355, 61, 62syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ran  ( k  e.  A  |->  X )  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  ( k  e.  A  |->  X ) ) )
64 f1of1 5798 . . . . . . . 8  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) )
-1-1-> A )
6564ad2antll 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-> A )
66 suppssdm 6915 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  A  |->  X ) supp  ( 0g `  G ) )  C_  dom  ( k  e.  A  |->  X )
6749dmmptss 5319 . . . . . . . . . 10  |-  dom  (
k  e.  A  |->  X )  C_  A
6867a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  dom  ( k  e.  A  |->  X )  C_  A
)
6966, 68syl5ss 3453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  X ) supp  ( 0g `  G ) ) 
C_  A )
70 f1ofo 5806 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) )
-onto-> A )
71 forn 5781 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -onto-> A  ->  ran  f  =  A
)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ran  f  =  A )
7372ad2antll 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ran  f  =  A
)
7469, 73sseqtr4d 3479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  X ) supp  ( 0g `  G ) ) 
C_  ran  f )
75 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f
) supp  ( 0g `  G ) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) supp  ( 0g `  G ) )
762, 3, 44, 45, 46, 47, 50, 63, 21, 65, 74, 75gsumval3 17235 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( ( k  e.  A  |->  X )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) )
77 eqid 2402 . . . . . . . 8  |-  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) )
782, 44, 4, 77mulgnn 16472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( ( # `  A
)  .x.  X )  =  (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  ( # `
 A ) ) )
7921, 25, 78syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( # `  A
)  .x.  X )  =  (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  ( # `
 A ) ) )
8043, 76, 793eqtr4d 2453 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
8180expr 613 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( (
# `  A )  .x.  X ) ) )
8281exlimdv 1745 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
) )
8382expimpd 601 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  (
( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( (
# `  A )  .x.  X ) ) )
84 fz1f1o 13681 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
85843ad2ant2 1019 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
8620, 83, 85mpjaod 379 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  Fin  /\  X  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  A  |->  X ) )  =  ( ( # `  A
)  .x.  X )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842    C_ wss 3414   (/)c0 3738   {csn 3972    |-> cmpt 4453    X. cxp 4821   dom cdm 4823   ran crn 4824    o. ccom 4827   -->wf 5565   -1-1->wf1 5566   -onto->wfo 5567   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   supp csupp 6902   Fincfn 7554   0cc0 9522   1c1 9523   NNcn 10576   ZZ>=cuz 11127   ...cfz 11726    seqcseq 12151   #chash 12452   Basecbs 14841   +g cplusg 14909   0gc0g 15054    gsumg cgsu 15055   Mndcmnd 16243  .gcmg 16380  Cntzccntz 16677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-hash 12453  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mulg 16384  df-cntz 16679
This theorem is referenced by:  gsumconstf  17278  mdetdiagid  19394  chpscmat  19635  chp0mat  19639  chpidmat  19640  tmdgsum2  20887  amgmlem  23645  lgseisenlem4  24008
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