MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumcom3fi Structured version   Unicode version

Theorem gsumcom3fi 19086
Description: A commutative law for finite iterated sums. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumcom3fi.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumcom3fi.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumcom3fi.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
gsumcom3fi.r  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
gsumcom3fi.f  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
Assertion
Ref Expression
gsumcom3fi  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  C  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  X ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, A    B, j, k    C, j, k    j, G, k    ph, j, k
Allowed substitution hints:    X( j, k)

Proof of Theorem gsumcom3fi
StepHypRef Expression
1 gsumcom3fi.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2402 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3 gsumcom3fi.g . 2  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 gsumcom3fi.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
5 gsumcom3fi.r . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
6 gsumcom3fi.f . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
7 xpfi 7745 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  e.  Fin )  ->  ( A  X.  C
)  e.  Fin )
84, 5, 7syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  X.  C
)  e.  Fin )
9 brxp 4973 . . . . . 6  |-  ( j ( A  X.  C
) k  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )
109biimpri 206 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C )  ->  j ( A  X.  C ) k )
1110adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  -> 
j ( A  X.  C ) k )
1211pm2.24d 143 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  -> 
( -.  j ( A  X.  C ) k  ->  X  =  ( 0g `  G ) ) )
1312impr 617 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j ( A  X.  C ) k ) )  ->  X  =  ( 0g `  G ) )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 13gsumcom3 19085 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  ( G  gsumg  ( k  e.  C  |->  X ) ) ) )  =  ( G 
gsumg  ( k  e.  C  |->  ( G  gsumg  ( j  e.  A  |->  X ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452    X. cxp 4940   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   Fincfn 7474   Basecbs 14733   0gc0g 14946    gsumg cgsu 14947  CMndccmn 17014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-iin 4273  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-of 6477  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-oi 7889  df-card 8272  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062  df-hash 12360  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-mre 15092  df-mrc 15093  df-acs 15095  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-mulg 16276  df-cntz 16571  df-cmn 17016
This theorem is referenced by:  mamuass  19088  mavmulass  19235  decpmatmul  19457
  Copyright terms: Public domain W3C validator