Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumcom2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem gsumcom2 17607
 Description: Two-dimensional commutation of a group sum. Note that while and are constants w.r.t. , and are not. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d2.b
gsum2d2.z
gsum2d2.g CMnd
gsum2d2.a
gsum2d2.r
gsum2d2.f
gsum2d2.u
gsum2d2.n
gsumcom2.d
gsumcom2.c
Assertion
Ref Expression
gsumcom2 g g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem gsumcom2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d2.b . . 3
2 gsum2d2.z . . 3
3 gsum2d2.g . . 3 CMnd
4 gsum2d2.a . . . 4
5 snex 4641 . . . . . 6
6 gsum2d2.r . . . . . 6
7 xpexg 6593 . . . . . 6
85, 6, 7sylancr 669 . . . . 5
98ralrimiva 2802 . . . 4
10 iunexg 6769 . . . 4
114, 9, 10syl2anc 667 . . 3
12 gsum2d2.f . . . . 5
1312ralrimivva 2809 . . . 4
14 eqid 2451 . . . . 5
1514fmpt2x 6859 . . . 4
1613, 15sylib 200 . . 3
17 gsum2d2.u . . . 4
18 gsum2d2.n . . . 4
191, 2, 3, 4, 6, 12, 17, 18gsum2d2lem 17605 . . 3 finSupp
20 relxp 4942 . . . . . . 7
2120rgenw 2749 . . . . . 6
22 reliun 4954 . . . . . 6
2321, 22mpbir 213 . . . . 5
24 cnvf1o 6895 . . . . 5
2523, 24ax-mp 5 . . . 4
26 relxp 4942 . . . . . . . 8
2726rgenw 2749 . . . . . . 7
28 reliun 4954 . . . . . . 7
2927, 28mpbir 213 . . . . . 6
30 relcnv 5207 . . . . . 6
31 nfv 1761 . . . . . . . 8
32 nfv 1761 . . . . . . . . 9
33 nfiu1 4308 . . . . . . . . . . 11
3433nfcnv 5013 . . . . . . . . . 10
3534nfel2 2608 . . . . . . . . 9
3632, 35nfbi 2017 . . . . . . . 8
3731, 36nfim 2003 . . . . . . 7
38 opeq2 4167 . . . . . . . . . 10
3938eleq1d 2513 . . . . . . . . 9
4038eleq1d 2513 . . . . . . . . 9
4139, 40bibi12d 323 . . . . . . . 8
4241imbi2d 318 . . . . . . 7
43 nfv 1761 . . . . . . . . 9
44 nfiu1 4308 . . . . . . . . . . 11
4544nfel2 2608 . . . . . . . . . 10
46 nfv 1761 . . . . . . . . . 10
4745, 46nfbi 2017 . . . . . . . . 9
4843, 47nfim 2003 . . . . . . . 8
49 opeq1 4166 . . . . . . . . . . 11
5049eleq1d 2513 . . . . . . . . . 10
5149eleq1d 2513 . . . . . . . . . 10
5250, 51bibi12d 323 . . . . . . . . 9
5352imbi2d 318 . . . . . . . 8
54 gsumcom2.c . . . . . . . . . 10
55 opeliunxp 4886 . . . . . . . . . 10
56 opeliunxp 4886 . . . . . . . . . 10
5754, 55, 563bitr4g 292 . . . . . . . . 9
58 vex 3048 . . . . . . . . . 10
59 vex 3048 . . . . . . . . . 10
6058, 59opelcnv 5016 . . . . . . . . 9
6157, 60syl6bbr 267 . . . . . . . 8
6248, 53, 61chvar 2106 . . . . . . 7
6337, 42, 62chvar 2106 . . . . . 6
6429, 30, 63eqrelrdv 4931 . . . . 5
65 f1oeq3 5807 . . . . 5
6664, 65syl 17 . . . 4
6725, 66mpbiri 237 . . 3
681, 2, 3, 11, 16, 19, 67gsumf1o 17550 . 2 g g
69 sneq 3978 . . . . . . . . . . 11
7069cnveqd 5010 . . . . . . . . . 10
7170unieqd 4208 . . . . . . . . 9
72 opswap 5323 . . . . . . . . 9
7371, 72syl6eq 2501 . . . . . . . 8
7473fveq2d 5869 . . . . . . 7
75 df-ov 6293 . . . . . . 7
7674, 75syl6eqr 2503 . . . . . 6
7776mpt2mptx 6387 . . . . 5
78 nfcv 2592 . . . . . . 7
79 nfcv 2592 . . . . . . . 8
80 nfcsb1v 3379 . . . . . . . 8
8179, 80nfxp 4861 . . . . . . 7
82 sneq 3978 . . . . . . . 8
83 csbeq1a 3372 . . . . . . . 8
8482, 83xpeq12d 4859 . . . . . . 7
8578, 81, 84cbviun 4315 . . . . . 6
86 mpteq1 4483 . . . . . 6
8785, 86ax-mp 5 . . . . 5
88 nfcv 2592 . . . . . 6
89 nfcv 2592 . . . . . 6
90 nfcv 2592 . . . . . 6
91 nfcv 2592 . . . . . . 7
92 nfmpt22 6359 . . . . . . 7
93 nfcv 2592 . . . . . . 7
9491, 92, 93nfov 6316 . . . . . 6
95 nfcv 2592 . . . . . . 7
96 nfmpt21 6358 . . . . . . 7
97 nfcv 2592 . . . . . . 7
9895, 96, 97nfov 6316 . . . . . 6
99 oveq2 6298 . . . . . . 7
100 oveq1 6297 . . . . . . 7
10199, 100sylan9eq 2505 . . . . . 6
10288, 80, 89, 90, 94, 98, 83, 101cbvmpt2x 6369 . . . . 5
10377, 87, 1023eqtr4i 2483 . . . 4
104 f1of 5814 . . . . . . 7
10567, 104syl 17 . . . . . 6
106 eqid 2451 . . . . . . 7
107106fmpt 6043 . . . . . 6
108105, 107sylibr 216 . . . . 5
109 eqidd 2452 . . . . 5
11016feqmptd 5918 . . . . 5
111 fveq2 5865 . . . . 5
112108, 109, 110, 111fmptcof 6057 . . . 4
11312ex 436 . . . . . . . . 9
11414ovmpt4g 6419 . . . . . . . . . 10
1151143expia 1210 . . . . . . . . 9
116113, 115sylcom 30 . . . . . . . 8
11754, 116sylbird 239 . . . . . . 7
1181173impib 1206 . . . . . 6
119118eqcomd 2457 . . . . 5
120119mpt2eq3dva 6355 . . . 4
121103, 112, 1203eqtr4a 2511 . . 3
122121oveq2d 6306 . 2 g g
12368, 122eqtrd 2485 1 g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  cvv 3045  csb 3363  csn 3968  cop 3974  cuni 4198  ciun 4278   class class class wbr 4402   cmpt 4461   cxp 4832  ccnv 4833   ccom 4838   wrel 4839  wf 5578  wf1o 5581  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmpt2 6292  cfn 7569  cbs 15121  c0g 15338   g cgsu 15339  CMndccmn 17430 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-cntz 16971  df-cmn 17432 This theorem is referenced by:  gsumcom  17609  gsumbagdiag  18600
 Copyright terms: Public domain W3C validator