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Theorem gsumcom2 17607
Description: Two-dimensional commutation of a group sum. Note that while  A and  D are constants w.r.t.  j ,  k,  C ( j ) and 
E ( k ) are not. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
gsum2d2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsum2d2.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsum2d2.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsum2d2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsum2d2.r  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
gsum2d2.f  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
gsum2d2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
gsum2d2.n  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
gsumcom2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
gsumcom2.c  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C )  <->  ( k  e.  D  /\  j  e.  E ) ) )
Assertion
Ref Expression
gsumcom2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  X ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, B    D, j, k    j, E    ph, j, k    A, j, k    j, G, k    U, j, k    C, k   
j, V    .0. , j,
k
Allowed substitution hints:    C( j)    E( k)    V( k)    W( j, k)    X( j, k)    Y( j, k)

Proof of Theorem gsumcom2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gsum2d2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsum2d2.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 gsum2d2.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
4 gsum2d2.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 snex 4641 . . . . . 6  |-  { j }  e.  _V
6 gsum2d2.r . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  C  e.  W )
7 xpexg 6593 . . . . . 6  |-  ( ( { j }  e.  _V  /\  C  e.  W
)  ->  ( {
j }  X.  C
)  e.  _V )
85, 6, 7sylancr 669 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  A )  ->  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
98ralrimiva 2802 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
10 iunexg 6769 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  A. j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
114, 9, 10syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  e.  _V )
12 gsum2d2.f . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )  ->  X  e.  B )
1312ralrimivva 2809 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B )
14 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  =  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
1514fmpt2x 6859 . . . 4  |-  ( A. j  e.  A  A. k  e.  C  X  e.  B  <->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) :
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
1613, 15sylib 200 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) : U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) --> B )
17 gsum2d2.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
18 gsum2d2.n . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
j  e.  A  /\  k  e.  C )  /\  -.  j U k ) )  ->  X  =  .0.  )
191, 2, 3, 4, 6, 12, 17, 18gsum2d2lem 17605 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) finSupp  .0.  )
20 relxp 4942 . . . . . . 7  |-  Rel  ( { k }  X.  E )
2120rgenw 2749 . . . . . 6  |-  A. k  e.  D  Rel  ( { k }  X.  E
)
22 reliun 4954 . . . . . 6  |-  ( Rel  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  <->  A. k  e.  D  Rel  ( { k }  X.  E
) )
2321, 22mpbir 213 . . . . 5  |-  Rel  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)
24 cnvf1o 6895 . . . . 5  |-  ( Rel  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  ->  (
z  e.  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) )
2523, 24ax-mp 5 . . . 4  |-  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) 
|->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )
26 relxp 4942 . . . . . . . 8  |-  Rel  ( { j }  X.  C )
2726rgenw 2749 . . . . . . 7  |-  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
)
28 reliun 4954 . . . . . . 7  |-  ( Rel  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  A. j  e.  A  Rel  ( { j }  X.  C
) )
2927, 28mpbir 213 . . . . . 6  |-  Rel  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)
30 relcnv 5207 . . . . . 6  |-  Rel  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )
31 nfv 1761 . . . . . . . 8  |-  F/ k
ph
32 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
<. x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
33 nfiu1 4308 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )
3433nfcnv 5013 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )
3534nfel2 2608 . . . . . . . . 9  |-  F/ k
<. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )
3632, 35nfbi 2017 . . . . . . . 8  |-  F/ k ( <. x ,  y
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) )
3731, 36nfim 2003 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ph  ->  ( <. x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
38 opeq2 4167 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  y  ->  <. x ,  k >.  =  <. x ,  y >. )
3938eleq1d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  y  ->  ( <. x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) ) )
4038eleq1d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  y  ->  ( <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
4139, 40bibi12d 323 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  y  ->  (
( <. x ,  k
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) ) )
4241imbi2d 318 . . . . . . 7  |-  ( k  =  y  ->  (
( ph  ->  ( <.
x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( <.
x ,  y >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) ) ) )
43 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ j
ph
44 nfiu1 4308 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ j U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
4544nfel2 2608 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j
<. x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )
46 nfv 1761 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j
<. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )
4745, 46nfbi 2017 . . . . . . . . 9  |-  F/ j ( <. x ,  k
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) )
4843, 47nfim 2003 . . . . . . . 8  |-  F/ j ( ph  ->  ( <. x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
49 opeq1 4166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  x  ->  <. j ,  k >.  =  <. x ,  k >. )
5049eleq1d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  x  ->  ( <. j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) ) )
5149eleq1d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  x  ->  ( <. j ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
5250, 51bibi12d 323 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  x  ->  (
( <. j ,  k
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. j ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) )  <->  ( <. x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) ) )
5352imbi2d 318 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  x  ->  (
( ph  ->  ( <.
j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. j ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( <.
x ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) ) ) )
54 gsumcom2.c . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C )  <->  ( k  e.  D  /\  j  e.  E ) ) )
55 opeliunxp 4886 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  ( j  e.  A  /\  k  e.  C ) )
56 opeliunxp 4886 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
k ,  j >.  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  <->  ( k  e.  D  /\  j  e.  E ) )
5754, 55, 563bitr4g 292 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( <. j ,  k
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. k ,  j >.  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
58 vex 3048 . . . . . . . . . 10  |-  j  e. 
_V
59 vex 3048 . . . . . . . . . 10  |-  k  e. 
_V
6058, 59opelcnv 5016 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
j ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  <->  <. k ,  j >.  e.  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
) )
6157, 60syl6bbr 267 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( <. j ,  k
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. j ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
6248, 53, 61chvar 2106 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  k
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  k >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
6337, 42, 62chvar 2106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( <. x ,  y
>.  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  <. x ,  y >.  e.  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
6429, 30, 63eqrelrdv 4931 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  =  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) )
65 f1oeq3 5807 . . . . 5  |-  ( U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  =  `' U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  ->  (
( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> `'
U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
6664, 65syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( z  e. 
U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  <->  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> `'
U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) ) )
6725, 66mpbiri 237 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
681, 2, 3, 11, 16, 19, 67gsumf1o 17550 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  o.  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) ) ) )
69 sneq 3978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  { z }  =  { <. x ,  y >. } )
7069cnveqd 5010 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  `' { z }  =  `' { <. x ,  y >. } )
7170unieqd 4208 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  U. `' { z }  =  U. `' { <. x ,  y
>. } )
72 opswap 5323 . . . . . . . . 9  |-  U. `' { <. x ,  y
>. }  =  <. y ,  x >.
7371, 72syl6eq 2501 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  U. `' { z }  =  <. y ,  x >. )
7473fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 U. `' {
z } )  =  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  <. y ,  x >. ) )
75 df-ov 6293 . . . . . . 7  |-  ( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x )  =  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 <. y ,  x >. )
7674, 75syl6eqr 2503 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 U. `' {
z } )  =  ( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x ) )
7776mpt2mptx 6387 . . . . 5  |-  ( z  e.  U_ x  e.  D  ( { x }  X.  [_ x  / 
k ]_ E )  |->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) )  =  ( x  e.  D ,  y  e.  [_ x  / 
k ]_ E  |->  ( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x ) )
78 nfcv 2592 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( { k }  X.  E )
79 nfcv 2592 . . . . . . . 8  |-  F/_ k { x }
80 nfcsb1v 3379 . . . . . . . 8  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ E
8179, 80nfxp 4861 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( { x }  X.  [_ x  /  k ]_ E )
82 sneq 3978 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  { k }  =  { x } )
83 csbeq1a 3372 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  x  ->  E  =  [_ x  /  k ]_ E )
8482, 83xpeq12d 4859 . . . . . . 7  |-  ( k  =  x  ->  ( { k }  X.  E )  =  ( { x }  X.  [_ x  /  k ]_ E ) )
8578, 81, 84cbviun 4315 . . . . . 6  |-  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)  =  U_ x  e.  D  ( {
x }  X.  [_ x  /  k ]_ E
)
86 mpteq1 4483 . . . . . 6  |-  ( U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  =  U_ x  e.  D  ( { x }  X.  [_ x  /  k ]_ E )  ->  (
z  e.  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)  |->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 U. `' {
z } ) )  =  ( z  e. 
U_ x  e.  D  ( { x }  X.  [_ x  /  k ]_ E )  |->  ( ( j  e.  A , 
k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) ) )
8785, 86ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) 
|->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) )  =  ( z  e.  U_ x  e.  D  ( { x }  X.  [_ x  / 
k ]_ E )  |->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) )
88 nfcv 2592 . . . . . 6  |-  F/_ x E
89 nfcv 2592 . . . . . 6  |-  F/_ x
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )
90 nfcv 2592 . . . . . 6  |-  F/_ y
( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )
91 nfcv 2592 . . . . . . 7  |-  F/_ k
y
92 nfmpt22 6359 . . . . . . 7  |-  F/_ k
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
93 nfcv 2592 . . . . . . 7  |-  F/_ k
x
9491, 92, 93nfov 6316 . . . . . 6  |-  F/_ k
( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x )
95 nfcv 2592 . . . . . . 7  |-  F/_ j
y
96 nfmpt21 6358 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )
97 nfcv 2592 . . . . . . 7  |-  F/_ j
x
9895, 96, 97nfov 6316 . . . . . 6  |-  F/_ j
( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x )
99 oveq2 6298 . . . . . . 7  |-  ( k  =  x  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x ) )
100 oveq1 6297 . . . . . . 7  |-  ( j  =  y  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x )  =  ( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x ) )
10199, 100sylan9eq 2505 . . . . . 6  |-  ( ( k  =  x  /\  j  =  y )  ->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  ( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x ) )
10288, 80, 89, 90, 94, 98, 83, 101cbvmpt2x 6369 . . . . 5  |-  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )  =  ( x  e.  D ,  y  e.  [_ x  / 
k ]_ E  |->  ( y ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) x ) )
10377, 87, 1023eqtr4i 2483 . . . 4  |-  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) 
|->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) )  =  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )
104 f1of 5814 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -1-1-onto-> U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C )  ->  (
z  e.  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) --> U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
) )
10567, 104syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -->
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
106 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) 
|->  U. `' { z } )  =  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( {
k }  X.  E
)  |->  U. `' { z } )
107106fmpt 6043 . . . . . 6  |-  ( A. z  e.  U_  k  e.  D  ( { k }  X.  E ) U. `' { z }  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)  <->  ( z  e. 
U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) : U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) -->
U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
108105, 107sylibr 216 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  U_  k  e.  D  ( { k }  X.  E ) U. `' { z }  e.  U_ j  e.  A  ( { j }  X.  C ) )
109 eqidd 2452 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } )  =  ( z  e. 
U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) )
11016feqmptd 5918 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  =  ( x  e.  U_ j  e.  A  ( {
j }  X.  C
)  |->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `
 x ) ) )
111 fveq2 5865 . . . . 5  |-  ( x  =  U. `' {
z }  ->  (
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  x
)  =  ( ( j  e.  A , 
k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) )
112108, 109, 110, 111fmptcof 6057 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  o.  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) )  =  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E ) 
|->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) `  U. `' { z } ) ) )
11312ex 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C )  ->  X  e.  B ) )
11414ovmpt4g 6419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C  /\  X  e.  B )  ->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
1151143expia 1210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C )  ->  ( X  e.  B  ->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X ) )
116113, 115sylcom 30 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A  /\  k  e.  C )  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X ) )
11754, 116sylbird 239 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  D  /\  j  e.  E )  ->  (
j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X ) )
1181173impib 1206 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D  /\  j  e.  E
)  ->  ( j
( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k )  =  X )
119118eqcomd 2457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D  /\  j  e.  E
)  ->  X  =  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) )
120119mpt2eq3dva 6355 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  X )  =  ( k  e.  D , 
j  e.  E  |->  ( j ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) k ) ) )
121103, 112, 1203eqtr4a 2511 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  o.  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) )  =  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  X ) )
122121oveq2d 6306 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X )  o.  ( z  e.  U_ k  e.  D  ( { k }  X.  E )  |->  U. `' { z } ) ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  X ) ) )
12368, 122eqtrd 2485 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  ( j  e.  A ,  k  e.  C  |->  X ) )  =  ( G  gsumg  ( k  e.  D ,  j  e.  E  |->  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045   [_csb 3363   {csn 3968   <.cop 3974   U.cuni 4198   U_ciun 4278   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   `'ccnv 4833    o. ccom 4838   Rel wrel 4839   -->wf 5578   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    |-> cmpt2 6292   Fincfn 7569   Basecbs 15121   0gc0g 15338    gsumg cgsu 15339  CMndccmn 17430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-cntz 16971  df-cmn 17432
This theorem is referenced by:  gsumcom  17609  gsumbagdiag  18600
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