MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumclOLD Structured version   Unicode version

Theorem gsumclOLD 16506
Description: Closure of a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) Obsolete version of gsumcl 16503 as of 3-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumclOLD.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumclOLD.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumclOLD.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumclOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumclOLD.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumclOLD.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
gsumclOLD  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  B
)

Proof of Theorem gsumclOLD
StepHypRef Expression
1 gsumclOLD.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumclOLD.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2451 . 2  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
4 gsumclOLD.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 cmnmnd 16398 . . 3  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
7 gsumclOLD.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8 gsumclOLD.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
91, 3, 4, 8cntzcmnf 16433 . 2  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  F ) )
10 gsumclOLD.w . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
111, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10gsumzclOLD 16499 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3070    \ cdif 3425   {csn 3977   `'ccnv 4939   "cima 4943   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Fincfn 7412   Basecbs 14278   0gc0g 14482    gsumg cgsu 14483   Mndcmnd 15513  Cntzccntz 15937  CMndccmn 16383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-oi 7827  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-hash 12207  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-mnd 15519  df-cntz 15939  df-cmn 16385
This theorem is referenced by:  gsummhm2OLD  16542  gsumsubOLD  16555  gsum2dOLD  16571  prdsgsumOLD  16579  gsumdixpOLD  16808  tsmsgsumOLD  19830  tsmsidOLD  19831  gsumle  26382  gsumvsca1  26387  gsumvsca2  26388  xrge0tsmsd  26389  gsumesum  26646  esumlub  26647  sitgclg  26864
  Copyright terms: Public domain W3C validator