MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumclOLD Structured version   Unicode version

Theorem gsumclOLD 16710
Description: Closure of a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) Obsolete version of gsumcl 16707 as of 3-Jun-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumclOLD.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
gsumclOLD.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
gsumclOLD.g  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
gsumclOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
gsumclOLD.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
gsumclOLD.w  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
Assertion
Ref Expression
gsumclOLD  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  B
)

Proof of Theorem gsumclOLD
StepHypRef Expression
1 gsumclOLD.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 gsumclOLD.z . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2460 . 2  |-  (Cntz `  G )  =  (Cntz `  G )
4 gsumclOLD.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. CMnd )
5 cmnmnd 16602 . . 3  |-  ( G  e. CMnd  ->  G  e.  Mnd )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  Mnd )
7 gsumclOLD.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
8 gsumclOLD.f . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
91, 3, 4, 8cntzcmnf 16637 . 2  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  (
(Cntz `  G ) `  ran  F ) )
10 gsumclOLD.w . 2  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  {  .0.  } ) )  e. 
Fin )
111, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10gsumzclOLD 16703 1  |-  ( ph  ->  ( G  gsumg  F )  e.  B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    \ cdif 3466   {csn 4020   `'ccnv 4991   "cima 4995   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Fincfn 7506   Basecbs 14479   0gc0g 14684    gsumg cgsu 14685   Mndcmnd 15715  Cntzccntz 16141  CMndccmn 16587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-hash 12361  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-mnd 15721  df-cntz 16143  df-cmn 16589
This theorem is referenced by:  gsummhm2OLD  16746  gsumsubOLD  16759  gsum2dOLD  16784  prdsgsumOLD  16792  gsumdixpOLD  17034  tsmsgsumOLD  20368  tsmsidOLD  20369  xrge0tsmsd  27288
  Copyright terms: Public domain W3C validator