MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumccatsymgsn Structured version   Unicode version

Theorem gsumccatsymgsn 16049
Description: Homomorphic property of composites of permutations with a singleton. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumccatsymgsn.g  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
gsumccatsymgsn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
gsumccatsymgsn  |-  ( ( A  e.  V  /\  W  e. Word  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( W concat  <" Z "> ) )  =  ( ( G  gsumg  W )  o.  Z ) )

Proof of Theorem gsumccatsymgsn
StepHypRef Expression
1 gsumccatsymgsn.g . . . . 5  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
21symggrp 16023 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  Grp )
3 grpmnd 15668 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  Mnd )
5 gsumccatsymgsn.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
6 eqid 2454 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
75, 6gsumccatsn 15639 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  W  e. Word  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( W concat  <" Z "> ) )  =  ( ( G  gsumg  W ) ( +g  `  G
) Z ) )
84, 7syl3an1 1252 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  W  e. Word  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( W concat  <" Z "> ) )  =  ( ( G  gsumg  W ) ( +g  `  G
) Z ) )
943ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  W  e. Word  B  /\  Z  e.  B )  ->  G  e.  Mnd )
10 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  W  e. Word  B  /\  Z  e.  B )  ->  W  e. Word  B )
115gsumwcl 15636 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  W  e. Word  B )  ->  ( G  gsumg  W )  e.  B
)
129, 10, 11syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  W  e. Word  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( G  gsumg  W )  e.  B
)
13 simp3 990 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  W  e. Word  B  /\  Z  e.  B )  ->  Z  e.  B )
141, 5, 6symgov 16013 . . 3  |-  ( ( ( G  gsumg  W )  e.  B  /\  Z  e.  B
)  ->  ( ( G  gsumg  W ) ( +g  `  G ) Z )  =  ( ( G 
gsumg  W )  o.  Z
) )
1512, 13, 14syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  W  e. Word  B  /\  Z  e.  B )  ->  (
( G  gsumg  W ) ( +g  `  G ) Z )  =  ( ( G 
gsumg  W )  o.  Z
) )
168, 15eqtrd 2495 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  W  e. Word  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( G  gsumg  ( W concat  <" Z "> ) )  =  ( ( G  gsumg  W )  o.  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    o. ccom 4951   ` cfv 5525  (class class class)co 6199  Word cword 12338   concat cconcat 12340   <"cs1 12341   Basecbs 14291   +g cplusg 14356    gsumg cgsu 14497   Mndcmnd 15527   Grpcgrp 15528   SymGrpcsymg 16000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-hash 12220  df-word 12346  df-concat 12348  df-s1 12349  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-tset 14375  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-grp 15663  df-symg 16001
This theorem is referenced by:  gsmsymgrfixlem1  16050  gsmsymgreqlem1  16053
  Copyright terms: Public domain W3C validator