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Theorem gsumccat 16136
 Description: Homomorphic property of composites. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumwcl.b
gsumccat.p
Assertion
Ref Expression
gsumccat Word Word g ++ g g

Proof of Theorem gsumccat
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6303 . . . 4 ++ ++
21oveq2d 6312 . . 3 g ++ g ++
3 oveq2 6304 . . . . 5 g g
4 eqid 2457 . . . . . 6
54gsum0 16032 . . . . 5 g
63, 5syl6eq 2514 . . . 4 g
76oveq1d 6311 . . 3 g g g
82, 7eqeq12d 2479 . 2 g ++ g g g ++ g
9 oveq2 6304 . . . . 5 ++ ++
109oveq2d 6312 . . . 4 g ++ g ++
11 oveq2 6304 . . . . . 6 g g
1211, 5syl6eq 2514 . . . . 5 g
1312oveq2d 6312 . . . 4 g g g
1410, 13eqeq12d 2479 . . 3 g ++ g g g ++ g
15 gsumwcl.b . . . . . 6
16 gsumccat.p . . . . . 6
17 simpl1 999 . . . . . 6 Word Word
18 lennncl 12570 . . . . . . . . . . 11 Word
19183ad2antl2 1159 . . . . . . . . . 10 Word Word
2019adantrr 716 . . . . . . . . 9 Word Word
21 lennncl 12570 . . . . . . . . . . 11 Word
22213ad2antl3 1160 . . . . . . . . . 10 Word Word
2322adantrl 715 . . . . . . . . 9 Word Word
2420, 23nnaddcld 10603 . . . . . . . 8 Word Word
25 nnm1nn0 10858 . . . . . . . 8
2624, 25syl 16 . . . . . . 7 Word Word
27 nn0uz 11140 . . . . . . 7
2826, 27syl6eleq 2555 . . . . . 6 Word Word
29 simpl2 1000 . . . . . . . . 9 Word Word Word
30 simpl3 1001 . . . . . . . . 9 Word Word Word
31 ccatcl 12602 . . . . . . . . 9 Word Word ++ Word
3229, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . 8 Word Word ++ Word
33 wrdf 12558 . . . . . . . 8 ++ Word ++ ..^ ++
3432, 33syl 16 . . . . . . 7 Word Word ++ ..^ ++
35 ccatlen 12603 . . . . . . . . . . 11 Word Word ++
3629, 30, 35syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 Word Word ++
3736oveq2d 6312 . . . . . . . . 9 Word Word ..^ ++ ..^
3820nnzd 10989 . . . . . . . . . . 11 Word Word
3923nnzd 10989 . . . . . . . . . . 11 Word Word
4038, 39zaddcld 10994 . . . . . . . . . 10 Word Word
41 fzoval 11827 . . . . . . . . . 10 ..^
4240, 41syl 16 . . . . . . . . 9 Word Word ..^
4337, 42eqtrd 2498 . . . . . . . 8 Word Word ..^ ++
4443feq2d 5724 . . . . . . 7 Word Word ++ ..^ ++ ++
4534, 44mpbid 210 . . . . . 6 Word Word ++
4615, 16, 17, 28, 45gsumval2 16034 . . . . 5 Word Word g ++ ++
47 nnm1nn0 10858 . . . . . . . . . 10
4820, 47syl 16 . . . . . . . . 9 Word Word
4948, 27syl6eleq 2555 . . . . . . . 8 Word Word
50 wrdf 12558 . . . . . . . . . 10 Word ..^
5129, 50syl 16 . . . . . . . . 9 Word Word ..^
52 fzoval 11827 . . . . . . . . . . 11 ..^
5338, 52syl 16 . . . . . . . . . 10 Word Word ..^
5453feq2d 5724 . . . . . . . . 9 Word Word ..^
5551, 54mpbid 210 . . . . . . . 8 Word Word
5615, 16, 17, 49, 55gsumval2 16034 . . . . . . 7 Word Word g
57 nnm1nn0 10858 . . . . . . . . . 10
5823, 57syl 16 . . . . . . . . 9 Word Word
5958, 27syl6eleq 2555 . . . . . . . 8 Word Word
60 wrdf 12558 . . . . . . . . . 10 Word ..^
6130, 60syl 16 . . . . . . . . 9 Word Word ..^
62 fzoval 11827 . . . . . . . . . . 11 ..^
6339, 62syl 16 . . . . . . . . . 10 Word Word ..^
6463feq2d 5724 . . . . . . . . 9 Word Word ..^
6561, 64mpbid 210 . . . . . . . 8 Word Word
6615, 16, 17, 59, 65gsumval2 16034 . . . . . . 7 Word Word g
6756, 66oveq12d 6314 . . . . . 6 Word Word g g
6815, 16mndcl 16056 . . . . . . . . . 10
69683expb 1197 . . . . . . . . 9
7017, 69sylan 471 . . . . . . . 8 Word Word
7115, 16mndass 16057 . . . . . . . . 9
7217, 71sylan 471 . . . . . . . 8 Word Word
73 uzid 11120 . . . . . . . . . . 11
7438, 73syl 16 . . . . . . . . . 10 Word Word
75 uzaddcl 11162 . . . . . . . . . 10
7674, 58, 75syl2anc 661 . . . . . . . . 9 Word Word
7720nncnd 10572 . . . . . . . . . 10 Word Word
7823nncnd 10572 . . . . . . . . . 10 Word Word
79 1cnd 9629 . . . . . . . . . 10 Word Word
8077, 78, 79addsubassd 9970 . . . . . . . . 9 Word Word
81 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . 11
82 npcan 9848 . . . . . . . . . . 11
8377, 81, 82sylancl 662 . . . . . . . . . 10 Word Word
8483fveq2d 5876 . . . . . . . . 9 Word Word
8576, 80, 843eltr4d 2560 . . . . . . . 8 Word Word
8645ffvelrnda 6032 . . . . . . . 8 Word Word ++
8770, 72, 85, 49, 86seqsplit 12143 . . . . . . 7 Word Word ++ ++ ++
88 simpll2 1036 . . . . . . . . . 10 Word Word Word
89 simpll3 1037 . . . . . . . . . 10 Word Word Word
9053eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11 Word Word ..^
9190biimpar 485 . . . . . . . . . 10 Word Word ..^
92 ccatval1 12604 . . . . . . . . . 10 Word Word ..^ ++
9388, 89, 91, 92syl3anc 1228 . . . . . . . . 9 Word Word ++
9449, 93seqfveq 12134 . . . . . . . 8 Word Word ++
9577addid2d 9798 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
9683, 95eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . 11 Word Word
9796seqeq1d 12116 . . . . . . . . . 10 Word Word ++ ++
9877, 78addcomd 9799 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
9998oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11 Word Word
10078, 77, 79addsubd 9971 . . . . . . . . . . 11 Word Word
10199, 100eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10 Word Word
10297, 101fveq12d 5878 . . . . . . . . 9 Word Word ++ ++
103 simpll2 1036 . . . . . . . . . . . 12 Word Word Word
104 simpll3 1037 . . . . . . . . . . . 12 Word Word Word
10563eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word ..^
106105biimpar 485 . . . . . . . . . . . 12 Word Word ..^
107 ccatval3 12606 . . . . . . . . . . . 12 Word Word ..^ ++
108103, 104, 106, 107syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11 Word Word ++
109108eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10 Word Word ++
11059, 38, 109seqshft2 12136 . . . . . . . . 9 Word Word ++
111102, 110eqtr4d 2501 . . . . . . . 8 Word Word ++
11294, 111oveq12d 6314 . . . . . . 7 Word Word ++ ++
11387, 112eqtrd 2498 . . . . . 6 Word Word ++
11467, 113eqtr4d 2501 . . . . 5 Word Word g g ++
11546, 114eqtr4d 2501 . . . 4 Word Word g ++ g g
116115anassrs 648 . . 3 Word Word g ++ g g
117 simpl2 1000 . . . . . 6 Word Word Word
118 ccatrid 12613 . . . . . 6 Word ++
119117, 118syl 16 . . . . 5 Word Word ++
120119oveq2d 6312 . . . 4 Word Word g ++ g
121 simpl1 999 . . . . 5 Word Word
12215gsumwcl 16135 . . . . . . 7 Word g
1231223adant3 1016 . . . . . 6 Word Word g
124123adantr 465 . . . . 5 Word Word g
12515, 16, 4mndrid 16069 . . . . 5 g g g
126121, 124, 125syl2anc 661 . . . 4 Word Word g g
127120, 126eqtr4d 2501 . . 3 Word Word g ++ g
12814, 116, 127pm2.61ne 2772 . 2 Word Word g ++ g g
129 ccatlid 12612 . . . . 5 Word ++
1301293ad2ant3 1019 . . . 4 Word Word ++
131130oveq2d 6312 . . 3 Word Word g ++ g
132 simp1 996 . . . 4 Word Word
13315gsumwcl 16135 . . . . 5 Word g
1341333adant2 1015 . . . 4 Word Word g
13515, 16, 4mndlid 16068 . . . 4 g g g
136132, 134, 135syl2anc 661 . . 3 Word Word g g
137131, 136eqtr4d 2501 . 2 Word Word g ++ g
1388, 128, 137pm2.61ne 2772 1 Word Word g ++ g g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  c0 3793  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  cc 9507  cc0 9509  c1 9510   caddc 9512   cmin 9824  cn 10556  cn0 10816  cz 10885  cuz 11106  cfz 11697  ..^cfzo 11821   cseq 12110  chash 12408  Word cword 12538   ++ cconcat 12540  cbs 14644   cplusg 14712  c0g 14857   g cgsu 14858  cmnd 16046 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-word 12546  df-concat 12548  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094 This theorem is referenced by:  gsumws2  16137  gsumccatsn  16138  gsumspl  16139  gsumwspan  16141  frmdgsum  16157  frmdup1  16159  gsumwrev  16528  psgnunilem5  16646  psgnuni  16651  frgpuplem  16917  frgpup1  16920  psgnghm  18743  mrsubccat  29075
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