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Theorem gsumbagdiaglem 17897
Description: Lemma for gsumbagdiag 17898. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psrbag.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
psrbagconf1o.1  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
gsumbagdiag.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
gsumbagdiag.f  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
Assertion
Ref Expression
gsumbagdiaglem  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  ( Y  e.  S  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  Y
) } ) )
Distinct variable groups:    x, f,
y, F    x, V, y    f, I, x, y   
x, S    x, D, y    f, X, x, y   
f, Y, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, f)    D( f)    S( y, f)    V( f)

Proof of Theorem gsumbagdiaglem
Dummy variables  u  v  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  Y  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } )
2 breq1 4456 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  oR  <_ 
( F  oF  -  X )  <->  Y  oR  <_  ( F  oF  -  X )
) )
32elrab 3266 . . . . 5  |-  ( Y  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  X
) }  <->  ( Y  e.  D  /\  Y  oR  <_  ( F  oF  -  X )
) )
41, 3sylib 196 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  ( Y  e.  D  /\  Y  oR  <_  ( F  oF  -  X
) ) )
54simpld 459 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  Y  e.  D )
64simprd 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  Y  oR  <_  ( F  oF  -  X
) )
7 gsumbagdiag.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  I  e.  V )
9 gsumbagdiag.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  D )
109adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  F  e.  D )
11 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  X  e.  S )
12 breq1 4456 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  (
y  oR  <_  F 
<->  X  oR  <_  F ) )
13 psrbagconf1o.1 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  { y  e.  D  |  y  oR 
<_  F }
1412, 13elrab2 3268 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  S  <->  ( X  e.  D  /\  X  oR  <_  F ) )
1511, 14sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  ( X  e.  D  /\  X  oR  <_  F
) )
1615simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  X  e.  D )
17 psrbag.d . . . . . . . 8  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
1817psrbagf 17884 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  V  /\  X  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
198, 16, 18syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  X : I --> NN0 )
2015simprd 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  X  oR  <_  F )
2117psrbagcon 17892 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  e.  D  /\  X : I --> NN0  /\  X  oR  <_  F
) )  ->  (
( F  oF  -  X )  e.  D  /\  ( F  oF  -  X
)  oR  <_  F ) )
228, 10, 19, 20, 21syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  (
( F  oF  -  X )  e.  D  /\  ( F  oF  -  X
)  oR  <_  F ) )
2322simprd 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  ( F  oF  -  X
)  oR  <_  F )
2417psrbagf 17884 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  Y  e.  D )  ->  Y : I --> NN0 )
258, 5, 24syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  Y : I --> NN0 )
2622simpld 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  ( F  oF  -  X
)  e.  D )
2717psrbagf 17884 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  ( F  oF  -  X )  e.  D
)  ->  ( F  oF  -  X
) : I --> NN0 )
288, 26, 27syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  ( F  oF  -  X
) : I --> NN0 )
2917psrbagf 17884 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  F  e.  D )  ->  F : I --> NN0 )
308, 10, 29syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  F : I --> NN0 )
31 nn0re 10816 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  NN0  ->  u  e.  RR )
32 nn0re 10816 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  NN0  ->  v  e.  RR )
33 nn0re 10816 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  NN0  ->  w  e.  RR )
34 letr 9690 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  RR  /\  v  e.  RR  /\  w  e.  RR )  ->  (
( u  <_  v  /\  v  <_  w )  ->  u  <_  w
) )
3531, 32, 33, 34syl3an 1270 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  NN0  /\  v  e.  NN0  /\  w  e.  NN0 )  ->  (
( u  <_  v  /\  v  <_  w )  ->  u  <_  w
) )
3635adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  X
) } ) )  /\  ( u  e. 
NN0  /\  v  e.  NN0 
/\  w  e.  NN0 ) )  ->  (
( u  <_  v  /\  v  <_  w )  ->  u  <_  w
) )
378, 25, 28, 30, 36caoftrn 6570 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  (
( Y  oR  <_  ( F  oF  -  X )  /\  ( F  oF  -  X )  oR  <_  F )  ->  Y  oR  <_  F ) )
386, 23, 37mp2and 679 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  Y  oR  <_  F )
39 breq1 4456 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  oR  <_  F 
<->  Y  oR  <_  F ) )
4039, 13elrab2 3268 . . 3  |-  ( Y  e.  S  <->  ( Y  e.  D  /\  Y  oR  <_  F ) )
415, 38, 40sylanbrc 664 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  Y  e.  S )
4219ffvelrnda 6032 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( X `  z )  e.  NN0 )
4325ffvelrnda 6032 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
4430ffvelrnda 6032 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( F `  z )  e.  NN0 )
45 nn0re 10816 . . . . . . . 8  |-  ( ( X `  z )  e.  NN0  ->  ( X `
 z )  e.  RR )
46 nn0re 10816 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y `  z )  e.  NN0  ->  ( Y `
 z )  e.  RR )
47 nn0re 10816 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  z )  e.  NN0  ->  ( F `
 z )  e.  RR )
48 leaddsub2 10041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  RR  /\  ( Y `  z )  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR )  ->  (
( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  <_  ( F `  z )  <->  ( Y `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( X `
 z ) ) ) )
49 leaddsub 10040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  RR  /\  ( Y `  z )  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR )  ->  (
( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  <_  ( F `  z )  <->  ( X `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( Y `
 z ) ) ) )
5048, 49bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  RR  /\  ( Y `  z )  e.  RR  /\  ( F `  z )  e.  RR )  ->  (
( Y `  z
)  <_  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) )  <->  ( X `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( Y `
 z ) ) ) )
5145, 46, 47, 50syl3an 1270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  NN0  /\  ( Y `  z )  e.  NN0  /\  ( F `  z )  e.  NN0 )  ->  (
( Y `  z
)  <_  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) )  <->  ( X `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( Y `
 z ) ) ) )
5242, 43, 44, 51syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( ( Y `  z )  <_  ( ( F `  z )  -  ( X `  z )
)  <->  ( X `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( Y `
 z ) ) ) )
5352ralbidva 2903 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  ( A. z  e.  I 
( Y `  z
)  <_  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) )  <->  A. z  e.  I  ( X `  z )  <_  (
( F `  z
)  -  ( Y `
 z ) ) ) )
54 ovex 6320 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) )  e. 
_V
5554a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) )  e. 
_V )
5625feqmptd 5927 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  Y  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) ) )
57 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( F : I --> NN0  ->  F  Fn  I )
5830, 57syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  F  Fn  I )
59 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( X : I --> NN0  ->  X  Fn  I )
6019, 59syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  X  Fn  I )
61 inidm 3712 . . . . . . 7  |-  ( I  i^i  I )  =  I
62 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( F `  z )  =  ( F `  z ) )
63 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( X `  z )  =  ( X `  z ) )
6458, 60, 8, 8, 61, 62, 63offval 6542 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  ( F  oF  -  X
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) ) ) )
658, 43, 55, 56, 64ofrfval2 6552 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  ( Y  oR  <_  ( F  oF  -  X
)  <->  A. z  e.  I 
( Y `  z
)  <_  ( ( F `  z )  -  ( X `  z ) ) ) )
66 ovex 6320 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  z )  -  ( Y `  z ) )  e. 
_V
6766a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( ( F `  z )  -  ( Y `  z ) )  e. 
_V )
6819feqmptd 5927 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  X  =  ( z  e.  I  |->  ( X `  z ) ) )
69 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( Y : I --> NN0  ->  Y  Fn  I )
7025, 69syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  Y  Fn  I )
71 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  X
) } ) )  /\  z  e.  I
)  ->  ( Y `  z )  =  ( Y `  z ) )
7258, 70, 8, 8, 61, 62, 71offval 6542 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  ( F  oF  -  Y
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( F `  z )  -  ( Y `  z ) ) ) )
738, 42, 67, 68, 72ofrfval2 6552 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  ( X  oR  <_  ( F  oF  -  Y
)  <->  A. z  e.  I 
( X `  z
)  <_  ( ( F `  z )  -  ( Y `  z ) ) ) )
7453, 65, 733bitr4d 285 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  ( Y  oR  <_  ( F  oF  -  X
)  <->  X  oR 
<_  ( F  oF  -  Y ) ) )
756, 74mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  X  oR  <_  ( F  oF  -  Y
) )
76 breq1 4456 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
x  oR  <_ 
( F  oF  -  Y )  <->  X  oR  <_  ( F  oF  -  Y )
) )
7776elrab 3266 . . 3  |-  ( X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  Y
) }  <->  ( X  e.  D  /\  X  oR  <_  ( F  oF  -  Y )
) )
7816, 75, 77sylanbrc 664 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  Y ) } )
7941, 78jca 532 1  |-  ( (
ph  /\  ( X  e.  S  /\  Y  e. 
{ x  e.  D  |  x  oR 
<_  ( F  oF  -  X ) } ) )  ->  ( Y  e.  S  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  oR  <_  ( F  oF  -  Y
) } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118   class class class wbr 4453   `'ccnv 5004   "cima 5008    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533    oRcofr 6534    ^m cmap 7432   Fincfn 7528   RRcr 9503    + caddc 9507    <_ cle 9641    - cmin 9817   NNcn 10548   NN0cn0 10807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808
This theorem is referenced by:  gsumbagdiag  17898  psrass1lem  17899
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